第八章点的一般运动与刚体的基本运动

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1、第一节 运动分析概述 第二节 描述点的一般运动的方法第三节 刚体的基本运动 第四节 问题讨论与说明 一、运动分析的内容一、运动分析的内容 运动分析是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质，提出对物体进行运动分析的一般方法。运动分析是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质，提出对物体进行运动分析的一般方法。 1、对于既定的运动，选择合适的参量进行数学描述，即列写运动方程。、对于既定的运动，选择合适的参量进行数学描述，即列写运动方程。 2、研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度与角加速度等。、研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度与角加速度等。 3、研究运动分解

2、与合成的规律。、研究运动分解与合成的规律。 二、运动分析的目的、意义二、运动分析的目的、意义 一是作为动力学的基础；二是作为机械设计和各专业专业课基础一是作为动力学的基础；二是作为机械设计和各专业专业课基础三、运动分析的模型及基本形式三、运动分析的模型及基本形式 （一）运动分析的基本模型（一）运动分析的基本模型 点：不计几何形状和尺寸的理想化物体。点：不计几何形状和尺寸的理想化物体。 刚体：具有确切的形状和大小，并且在外力作用永不变形的物体。刚体：具有确切的形状和大小，并且在外力作用永不变形的物体。 在研究空间站的轨道运动时，可以将其简化为点去研究。在研究空间站的姿态运动时，必需考虑在研究空间

3、站的轨道运动时，可以将其简化为点去研究。在研究空间站的姿态运动时，必需考虑它的大小及形状，即必需作为具有一定大小和形状的刚体研究。它的大小及形状，即必需作为具有一定大小和形状的刚体研究。 （二）运动分析基本形式（二）运动分析基本形式 1、点运动形式、点运动形式 分为直线运动和曲线运动分为直线运动和曲线运动 2、刚体的运动形式、刚体的运动形式 平移平移：刚体运动中，其上任意直线永远平行于自己的初始位：刚体运动中，其上任意直线永远平行于自己的初始位移。（如沿直线运动的活塞移。（如沿直线运动的活塞B） 定轴转动定轴转动：刚体运动中，其上或外延伸部分有一直线始终保：刚体运动中，其上或外延伸部分有一直线

4、始终保持不动。（如曲柄持不动。（如曲柄OA绕绕O点连杆点连杆AB绕绕B点的运动）点的运动） 平面运动平面运动：刚体运动中，其上各点到某一固定平面的距离保持不变。（如右图：刚体运动中，其上各点到某一固定平面的距离保持不变。（如右图OA、AB、B在在OAB平面的运动）平面的运动） 定点转动定点转动：刚体运动中，其上始终有一点永远保持不动。（例如，陀螺的运动）：刚体运动中，其上始终有一点永远保持不动。（例如，陀螺的运动） 一般运动一般运动：刚体最一般的运动。：刚体最一般的运动。 我们所讨论的是刚体的平移运动、定轴转动、平面运动。我们所讨论的是刚体的平移运动、定轴转动、平面运动。 四、运动学与工程运动

5、分析四、运动学与工程运动分析回目录回目录一、矢径法一、矢径法 设动点设动点M在空间作曲线运动，任选一固定点在空间作曲线运动，任选一固定点O作为参考点，则点作为参考点，则点M在任一瞬在任一瞬时的位置可用其位置矢量，即时的位置可用其位置矢量，即O点到点点到点M的矢径确定，即为点的矢量形式的运动的矢径确定，即为点的矢量形式的运动方程方程( )rr t 其速度为矢径对时间变化率，即其速度为矢径对时间变化率，即 0limtrdrvtdt 点的加速度为速度对时间的变化率，即点的加速度为速度对时间的变化率，即 220limtvdvd ratdtdt 二、直角坐标法二、直角坐标法 设动点设动点M在空间运动，通

6、过固定点在空间运动，通过固定点O 建立一直角坐标系，如图，则点建立一直角坐标系，如图，则点M在任一瞬时间的位置可以用它的坐标（在任一瞬时间的位置可以用它的坐标（x、y、z）唯一确定。在点）唯一确定。在点M 运动时，运动时，其坐标是时间其坐标是时间t的连续函数，即得到直角坐标法描述点运动的运动方程的连续函数，即得到直角坐标法描述点运动的运动方程123( )( )( )xf tyf tzf t 其速度为其速度为rxiyjzkdxdydzvijkdtdtdt 将速度向三个坐标轴方向分解，得速度的三个分量为将速度向三个坐标轴方向分解，得速度的三个分量为xyzdxvdtdyvdtdxvdt 加速度为加速

7、度为 222222yxzdvdvdvd xd yd zaijkijkdtdtdtdtdtdt 加速度在三个坐标轴上的分量为加速度在三个坐标轴上的分量为 222222xxyyzzdvd xadtdtdvd yadtdtdvd zadtdt三、自然法三、自然法 以动点的轨迹作为曲线坐标来确定点的位置的方法称为自然法。以动点的轨迹作为曲线坐标来确定点的位置的方法称为自然法。 （一）运动方程（一）运动方程 弧坐标随时间变化的函数，即弧坐标随时间变化的函数，即 ( )sf t （二）速度（二）速度 drdr dsvdtds dt 又因为又因为 drds所以所以dsvvdt即即点的速度的大小是弧坐标对时间

8、的一阶导数，方向沿轨迹的切线方向点的速度的大小是弧坐标对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线方向。 （三）加速度（三）加速度 根据加速度定义有根据加速度定义有 ()dvddvdavvdtdtdtdt可证明：可证明： dsndt 加速度表达式中右端第一项表示速度方向不变，仅加速度表达式中右端第一项表示速度方向不变，仅由于速度大小变化引起的速度变化率由于速度大小变化引起的速度变化率。它是。它是加加速度沿切线方向的一个分量速度沿切线方向的一个分量，称为，称为切向加速度切向加速度，即，即22dvd sadtdt 右端第二项表示速度大小不变，仅由于右端第二项表示速度大小不变，仅由于速度方向所改变的速度变化率

9、速度方向所改变的速度变化率，它是，它是加速度沿法线方向的加速度沿法线方向的一个分量一个分量，称为，称为法向加速度法向加速度，即，即22nvsann 所以，全加速度为所以，全加速度为 2nsaaasn 例例 设动点设动点 M 沿螺旋线沿螺旋线 z=2sin4t、y=2cos4t、z=4t 运动。求在任一瞬时的速度、加速度的大小及运动。求在任一瞬时的速度、加速度的大小及轨迹的曲率半径。（轨迹的曲率半径。（x、y、z 的单位为的单位为 m，时间，时间t的单位为的单位为 s） 解：解： 已知动点已知动点 M 的直角坐标形式的运动方程，可求点的直角坐标形式的运动方程，可求点 M 的速度在各坐标上的投影为

10、的速度在各坐标上的投影为 8cos48sin44xyzdxvtdtdyvtdtdxvdt 点点 M 的速度大小为的速度大小为 222xyzvvvv222(8cos4 )( 8sin4 )44 5()ttms 点点 M 的加速度在各坐标轴上的投影为的加速度在各坐标轴上的投影为32sin432cos40 xxyyzzdvatdtdvatdtdvadt 点点 M 的加速度的大小为的加速度的大小为222xyzaaaa222( 32cos4 )( 32sin4 )32()ttms 又因为又因为 0dvadt232nmaas 所以所以 22(4 5)2.5( )32nvma回目录回目录一、刚体的平行移动一

11、、刚体的平行移动 刚体在运动过程中，如果其体内任一直线始终保持与初始位置平行，刚体在运动过程中，如果其体内任一直线始终保持与初始位置平行，这种运动称为平行移动。这种运动称为平行移动。 如右图，平台在平行双曲柄机构带动下的运动，其体内任一直线始如右图，平台在平行双曲柄机构带动下的运动，其体内任一直线始终与原来位置平行。终与原来位置平行。 运动规律运动规律 在作平动的刚体上任选两点在作平动的刚体上任选两点 A、B，设其矢径分别为，设其矢径分别为rA、rB，得其，得其关系关系BAABrrr将等式两端对时间将等式两端对时间 t 求导，因为求导，因为 0ABdrdt所以可得所以可得 BAvv再对时间再对

12、时间 t 求导，可得求导，可得BAaa 结论：结论：刚体平动时，其上各点的轨迹完全相同，切在同一瞬时，其上各点的速度和加速度完全相刚体平动时，其上各点的轨迹完全相同，切在同一瞬时，其上各点的速度和加速度完全相同同。 因此，刚体作平动时，可用其形心的运动来代替刚体的运动，可以归结为点的运动研究。因此，刚体作平动时，可用其形心的运动来代替刚体的运动，可以归结为点的运动研究。二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 刚体定轴转动时，体内或其延拓部分始终有一条直线保持不动。如右图的刚体定轴转动时，体内或其延拓部分始终有一条直线保持不动。如右图的z轴。这一直线称为转轴。轴。这一直线称为转轴。 （一）运动方程

13、（一）运动方程 将一平面将一平面固定在地面不动，再选一平面固定在地面不动，再选一平面 与转动刚体固联在一起，平面与转动刚体固联在一起，平面 与刚体共同转动，所以平面与刚体共同转动，所以平面 的位置可确定刚体的转动位置。所以平面的位置可确定刚体的转动位置。所以平面 与固定平面与固定平面 的夹角的夹角可以确定刚体的位置。刚体转动时转角可以确定刚体的位置。刚体转动时转角随时间变化，是随时间变化，是时间时间t的单值连续函数，故可得刚体的转动方程为的单值连续函数，故可得刚体的转动方程为( )f t单位：单位： rad 正负：从正负：从z 轴的正向看，沿逆时针转动为正；反之为负。轴的正向看，沿逆时针转动为

14、正；反之为负。 （二）角速度（二）角速度 转角转角随时间随时间t的变化率，即角速度的变化率，即角速度。是转角。是转角对时间的一阶导数对时间的一阶导数ddt 单位单位 ：rad/s 26030nn工程上有：工程上有： （三）角加速度（三）角加速度 角速度角速度随时间随时间t的变化率，即角加速度的变化率，即角加速度。是角速度。是角速度对时间的一阶导数，转角对时间的一阶导数，转角对时间的二阶导对时间的二阶导数数22dddtdt正负规定：与角速度方向一致时为正，刚体作加速转动；与角速度方向相反时为负，作减速转动。正负规定：与角速度方向一致时为正，刚体作加速转动；与角速度方向相反时为负，作减速转动。 （

15、四）刚体内各点的速度与加速度（四）刚体内各点的速度与加速度 点点M 的运动方程为的运动方程为 sR 任一瞬时，点任一瞬时，点 M 的速度的速度 v 的大小为的大小为 dsdvRRdtdt其方向沿轨迹的切线方向，即垂直与半径其方向沿轨迹的切线方向，即垂直与半径OM，指向与，指向与转向一致。转向一致。 任一瞬时，点任一瞬时，点 M 的切向加速度为的切向加速度为 dvdaRRdtdt其方向沿轨迹的切线方向，指向与其方向沿轨迹的切线方向，指向与转向一致。转向一致。 点点 M 的法向加速度为的法向加速度为 22nvaRR其方向沿指向圆心。其方向沿指向圆心。 点点 M 的全加速度为的全加速度为 2222n

16、aaaR a其与其与OM 的夹角为的夹角为 2tannaa 例例 如图搅拌机的主动轮如图搅拌机的主动轮同时带动齿轮同时带动齿轮、 转动，搅杆转动，搅杆BAC 用销钉用销钉A、B与齿轮与齿轮、 连接。连接。设主动轮的转速设主动轮的转速 n=950r/min，AB=O2O3，O2A=O3B=25cm，各轮的齿数分别为，各轮的齿数分别为Z1=20，Z2=Z3=50。 求：搅拌杆上点求：搅拌杆上点C 的运动轨迹和速度大小。的运动轨迹和速度大小。 解：解： 根据题意，根据题意，AB=O2O3，O2A=O3B，说明：，说明：AB与与O2O3相平行，搅拌杆相平行，搅拌杆BAC在工作过程中将始终与其初始位置平

17、行，其运动为平动。因此搅拌在工作过程中将始终与其初始位置平行，其运动为平动。因此搅拌杆上点杆上点 C 的轨迹和速度应与点的轨迹和速度应与点 A 的相同。点的相同。点 A 的轨迹是一半径为的轨迹是一半径为25cm的圆。的圆。 齿轮齿轮上的上的M1 点和齿轮点和齿轮 上点上点M2 的速度相等即的速度相等即 12MMvv 由于由于 111MvR22MvR所以所以 1122RR 由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比 122211RzRz 根据上式可得根据上式可得 1122212229.95/30AzznvO AO AO Am szz

18、例例 圆轮绕定点圆轮绕定点O转动，并在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳子下端悬一物体转动，并在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳子下端悬一物体A。设该轮。设该轮的半径的半径 R=0.2m，其转动方程为，其转动方程为 ， 角的单位为角的单位为rad，时间，时间t的单位为的单位为s。 求：当求：当 t =1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M 的速度和加速度及物体的速度和加速度及物体A的速度和加速度。的速度和加速度。24tt 解：由转动方程可求圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度解：由转动方程可求圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度 24dtdt 2ddt 当当 t =1s时，有时，有 2 1 42

19、/rad s 22/rad s 因此，轮缘上任一点因此，轮缘上任一点M的速度和加速度为的速度和加速度为0.2 20.4/vRm s22220.2 ( 2)0.4/0.2 ( 2)0.8/naRm saRm s M 点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为 222220.40.80.894/naaam s222arctanarctan26 342 A点的速度和加速度分别和轮缘上点点的速度和加速度分别和轮缘上点M点的速度和加速度相等，即点的速度和加速度相等，即AMvvAMaa0.4/Avm s20.4/Aam s 回目录回目录一、与物理学中运动学的比较一、与物理学中运动学的比较 在物理学中已有

20、的一些特殊运动形式的基础上，建立全面、系统和比较深入的点和刚体模型的运在物理学中已有的一些特殊运动形式的基础上，建立全面、系统和比较深入的点和刚体模型的运动形式。动形式。 二、建立点的运动方程与研究点的运动几何性质二、建立点的运动方程与研究点的运动几何性质 建立点的运动方程与研究点的运动几何性质，二者之间既有密切联系，又有一定的区别。建立点的运动方程与研究点的运动几何性质，二者之间既有密切联系，又有一定的区别。 点的运动方程完全包括了点的运动几何性质。但是如果有了运动方程，不作物理上的分析，那还点的运动方程完全包括了点的运动几何性质。但是如果有了运动方程，不作物理上的分析，那还只停留在数学公式

21、上，仍不能真正的了解点的运动形象。因此，所谓只停留在数学公式上，仍不能真正的了解点的运动形象。因此，所谓“点的运动分析点的运动分析”，包含了这两，包含了这两方面内容。另外，研究点的运动形象，也可以采用其它方法而不必建立运动方程。方面内容。另外，研究点的运动形象，也可以采用其它方法而不必建立运动方程。 研究点的运动几何性质的方法：在点的运动轨迹上，画出并分析几个特定瞬时位置的研究点的运动几何性质的方法：在点的运动轨迹上，画出并分析几个特定瞬时位置的v、a关系。关系。用离散的二者关系，表达连续的运动过程。用离散的二者关系，表达连续的运动过程。 三、描述点运动方法的比较三、描述点运动方法的比较 矢径

22、法用变矢量及其导数描述点的运动，所得结果紧凑、简明，理论上具有概括性，切与坐标系矢径法用变矢量及其导数描述点的运动，所得结果紧凑、简明，理论上具有概括性，切与坐标系的选择无关；在分析实际力学问题时，需将变矢量及其导数转换为标量及其导数形式。直角坐标法是的选择无关；在分析实际力学问题时，需将变矢量及其导数转换为标量及其导数形式。直角坐标法是一种广泛应用的方法；弧坐标法应用与轨迹已知的前提下，该法在理论上将速度矢量的大小变化率和一种广泛应用的方法；弧坐标法应用与轨迹已知的前提下，该法在理论上将速度矢量的大小变化率和方向变化率加以方向变化率加以“分离分离”，其理论意义大于实际以赢利为目的。，其理论意义大于实际以赢利为目的。 四、点的运动学的两类应用问题四、点的运动学的两类应用问题 第一类是给定运动方程（轨迹），确定速度和加速度，或者给出约束条件，确定运动方程，进而第一类是给定运动方程（轨迹），确定速度和加速度，或者给出约束条件，确定运动方程，进而确定速度和加速度；第二类问题是已知加速度和运动初始条件，求速度和运动方程（轨迹）。确定速度和加速度；第二类问题是已知加速度和运动初始条件，求速度和运动方程（轨迹）。