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1、.数列与数学归纳法专题上海市久隆模范中学 石英丽经典例题【例1】已知数列的前项和为，且.（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解：(1) 当时，；当时，所以.又，所以数列是以15为首项，为公比的等比数列.(2) 由(1)知：，得从而；由得， ，最小正整数.【例2】 等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（1）由已知得，故（2）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【例3】已知公差不为0的等差数列的首项为a,设数列的前n项和为
2、成等比数列.（1）求数列的通项公式及；（2）记，当时，试比较与的大小解：（1）设等差数列的公差为d，由，得.因为，所以所以.（2）因为，所以.因为，所以.当，即.所以，当.【例4】已知，点在函数的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项和Sn，并证明=1.解：（1）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（2）由（）知（*）=由（*）式得（3）.又.又.【例5】已知数列满足，且对任意都有.（1）求；（2）设，证明：是等差数列；（3）设，求数列的前项和.解：(1)由题意， 再令. (2)当时，由已知(以)可得.于是，即.所以是以6
3、为首项，8为公差的等差数列.(3)由(1)(2)解答可知.另由已知(令)可得.那么，于是.当时，；当时，.两边同乘以，可得.上述两式相减得.所以.综上所述，数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4分，满分40分）1.列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是.2.等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_.3.函数,等差数列的公差为.若,则.4.知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于.5.知数列的首项，其前项的和为，且，则.6.知等比数列满足，且，则当时，.7.差数列的前n项和为，已知，,则.8.全体正整数排成一个三角
4、形数阵：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为.9.是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则=. 10.知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为_.二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11.设数列满足.（1）求的通项公式； （2）设，记,证明.12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前n项和.13.设为非零实数，.（1）写出并
5、判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设，求数列的前n项和.14.设数列的前n项和为，且方程有一根为（1）求； （2）的通项公式15.已知有穷数列：，().若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.（1）设请写出的所有可能的结果；（2）求证：对于一个项的数列操作T总可以进行次；（3）设求的可能结果，并说明理由.数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1. 2 ；
6、2.； 3.6； 4. 85； 5. ；6.；7.10 ；8.；9.9 （提示 81，54，36，24）；10.4 5 32；二、解答题11.设数列满足（1）求的通项公式； （2）设，记,证明解：（1）由题设即是公差为1的等差数列。 又，故所以（2）由（I）得，12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前n项和解：（1）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意.因此所以公式， 故（2）因为=所以当n为偶数时，当n为奇数时
7、，综上所述，13.设为非零实数，（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设，求数列的前n项和解：（1），因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2） (1)错位相减法得.14.设数列的前n项和为，且方程有一根为（1）求； （2）的通项公式解：(1)当时，有一根为，于是，解得.当时，有一根为于是，解得(2)由题设，.当时，代入上式得由(1)知由可得由此猜想下面用数学归纳法证明这个结论(i)时已知结论成立(ii)假设时结论成立，即.当时，由得故时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知对所有正整数都成立于是当时，.又n1时，所以的通项公式15.已知有穷数列：，
8、().若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.（1）设请写出的所有可能的结果；（2）求证：对于一个项的数列操作T总可以进行次；（3）设求的可能结果，并说明理由.解：（1）有如下的三种可能结果：（2），有且所以，即每次操作后新数列仍是数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）（3）由（2）可知中仅有一项.对于满足的实数定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律.因为，且，所以，即该运算满足交换律；因为.且.所以，即该运算满足结合律.所以中的项与实施的具体操作过程无关.选择如下操作过程求： 由（1）可知；易知；所以；易知经过4次操作后剩下一项为.综上可知：. v
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