高等数学 第十二章 无穷级数

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1、第十二章 无穷级数【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。【教学难点】1、 比较判别法的极限形式；2、 莱布尼茨判别法；3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、 函数项级数的收敛域及和函数；5、 泰勒级数；6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。第一节 常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3 + +

2、 un + 叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比. 解 如果q1, 则部分和 . 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散.

3、如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为 a-a+a-a+ , 当|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述，级数 例2 证明级数 1+2+3+ +n+ 是发散的. 证 此级数的部分和为 . 显然, , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 的收敛性. 提示: . 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. 性质2 如果级数收敛于和s, 则级数也收敛, 且其和为ks. 性质3 如果, 则. 性质4

4、 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss. 性质5 如果、, 则. 性质6 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的. 性质7 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数 （1-1)+（1-1) + 收敛于零, 但级数1-1+1-1+ 却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件: 性质8 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零

5、, 即. 应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 是发散的. 证： 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散. 小结1.常数项级数的概念；2. 常数项级数的性质；第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界. 定理2(比较审敛法) 设和都是正项级数, 且unvn(k0, nN). 若收敛, 则收敛; 若发散, 则发散. 证 设级数收敛于和s, 则级数的部分和 s

6、n=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和数列sn有界, 由定理1知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾. 推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当nN时有unkvn(k0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当nN时有unkvn(k0)成立, 则级数发散. 例1 讨论p-级数 的收敛性, 其中常数p0. 提示: 级数的部分和为 . 因为, 所以级数收敛. p-级数的收敛性: p-级数当p1时收敛, 当p1时发散. 例2 证明级数是发散的. 证 因

7、为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, (1)如果(0lN时, 有不等式 , 即, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r: , 则当r1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 例6 判别级数的收敛性. 例

8、7 判别级数的收敛性. 提示: , 比值审敛法失效. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r: , 则当r1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的. 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为 + . 例9判定级数的收敛性. 定理6(极限审敛法) 设为正项级数, (1)如果, 则级数发散; (2)如果p1, 而, 则级数收敛. 例10 判定

9、级数的收敛性. 解 因为, 故, 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例11 判定级数的收敛性. 解 因为 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为, 其中. 例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 定理7（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1. 简要证明: 设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=

10、u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2nu1), 所以收敛. 设s2ns(n), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1s(n), 所以sns(n). 从而级数是收敛的, 且snu1. 因为 |rn|=un+1-un+2+ 也是收敛的交错级数, 所以|rn|un+1. 例12 证明级数收敛, 并估计和及余项. 三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛: 若级数收敛, 则称级数绝对收敛; 若级数收敛, 而级数发散, 则称级条件收敛. 例13 级数是绝对收敛的, 而级数是条件收敛的. 定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定

11、收敛. 值得注意的问题: 如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散, 则我们可以断定级数必定发散. 这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数也是发散的. 例14 判别级数的收敛性. 例15 判别级数的收敛性. 小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2. 利用正项级数审敛法；3. 任意项级数审敛法：Leibniz判别法。第三节 幂函数一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列un(x), 由这函数列构成的表达式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 称为定义在区间I上的(

12、函数项)级数, 记为. 收敛点与发散点: 对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数收敛, 则称点x0是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称点x0是级数的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数的和函数, 并写成. un(x)是的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数un(x)的和函数, 并写成s(x)=un(x). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数的前

13、n项的部分和记作sn(x), 函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收敛域上有或sn(x)s(x)(n) . 余项: 函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项. 函数项级数un(x)的余项记为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收敛域上有. 二、幂级数及其收敛性 幂级数: 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a0+

14、a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常数a0, a1, a2, , an , 叫做幂级数的系数. 幂级数的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 幂级数的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 幂级数 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|1时它是收敛的; 当|x|1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有. 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一

15、切x使这幂级数发散. 提示: anxn是的简记形式. 简要证明 设anxn在点x0收敛, 则有anx0n0(n) , 于是数列anx0n有界, 即存在一个常数M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因为 , 而当时, 等比级数收敛, 所以级数|anxn|收敛, 也就是级数anxn绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得

16、 当|x|R时, 幂级数发散; 当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+, 这时收敛域为(-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径 . 简要证明: . (1)如果0r+, 则只当r|x|1时幂级数

17、收敛, 故. (2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的, 故R=+. (3)如果r=+, 则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0. 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 解 因为, 所以收敛半径为. 当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1. 例2 求幂级数的收敛域. 例3 求幂级数的收敛半径. 例4 求幂级数的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径， 幂级数的一般项记为. 因为 , 当4|x|21即时级数发散, 所以收敛半径为.提示: . 例5 求幂级数的收敛域. 解 令t=x-1

18、, 上述级数变为. 因为 , 所以收敛半径R=2. 当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2t2. 因为-2x-12, 即-1x3, 所以原级数的收敛域为-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有加法: , 减法: , 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(-R, R)及(-R, R)内收敛, 则在(-R, R)与(-R, R)中较小的区间内有加法: anxn+bnxn =(an+bn)xn , 减法: anxn-bnxn =(a

19、n-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续. 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例

20、6 求幂级数的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为-1, 1). 设和函数为s(x), 即, x-1, 1). 显然s(0)=1. 在的两边求导得 . 对上式从0到x积分, 得 . 于是, 当x 0时, 有. 从而. 因为 , 所以, 当x0时, 有, 从而 . 提示: 应用公式, 即. . 例7 求级数的和. 小结1.求幂级数收敛域和收敛半径的方法；2. 幂级数的性质。第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 要解决的问题: 给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这

21、样的幂级数, 我们就说, 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x). 泰勒多项式: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f(x)近似等于 , 其中(x介于x与x0之间). 泰勒级数: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x), f(x), , f (n)(x), , 则当n时, f(x)在点x0的泰勒多项式 成为幂级数 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛?

22、如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? 定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零, 即 . 证明 先证必要性. 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数, 即 , 又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和, 则在U(x0)内sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再证充分性. 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立. 因为f(x)

23、的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛, 并且收敛于f(x). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x0=0, 得 , 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f (x)=a1+2a2x+3a3

24、x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+ + n(n-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 应注意的问题: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个

25、级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 二、函数展开成幂级数 展开步骤: 第一步 求出f (x)的各阶导数： f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值： f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 写出幂级数：, 并求出收敛半径R. 第四步 考察在区间(-R, R)内时是否Rn(x)0(n). 是否为零. 如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(-R, R)内有展开式 (-RxR). 例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数. . 例2 将函数f(x)=sin x 展开成

26、x的幂级数. . 例3 将函数f(x)=(1+ x)m展开成x的幂级数, 其中m为任意常数. . 间接展开法: 例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数. . 例5 将函数展开成x的幂级数. (-1x1).注: 收敛半径的确定: 由-1-x21得-1x1. 例6 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数. 解 因为, 而是收敛的等比级数(-1x1)的和函数: . 所以将上式从0到x逐项积分, 得 . 例7 将函数f(x)=sin x展开成的幂级数. 解 因为 , 并且有 , , 所以 . 例8 将函数展开成(x-1)的幂级数. 提示: ,. , , 收敛域的确定: 由和得. 展

27、开式小结: , , , , .小结1.函数的幂级数展开式；2.常用函数的幂级数展开式；练习题(A)用定义判断下列级数的敛散性1 ；2；3。判断下列正项级数的敛散性4；5；6；7；8；9；10。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11；12；13；14；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15；16；17；18；19；20；求下列级数的和函数21；22；将下列函数展开成的幂的级数23，；24，；25，；26，；(B)用定义判断下列级数的敛散性1；2；3；判断下列正项级数的敛散性4；5；6，()；7，其中()，均为正数；8，()；9；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛

28、或绝对收敛10；11；12；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13；14，(,)；15；16；求下列级数的和函数17；18；19；20求证：；将下列函数展开成的幂的级数21，；22，；23，；(C)1用定义判断下列级数的敛散性2设，判断级数的敛散性。判断下列正项级数的敛散性3；4；5；6判断级数的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7；8；求下列级数的和910展开为幂级数，并推出。11求级数的收敛区间及和函数。(A)1解：，(),原级数发散。2解：，()，原级数收敛且和为。3解： ，()，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数发散。5解：，由比值判别法知，原级数收敛。6解：，原级数发散

29、。7解：，而发散，由比较判别法知原级数发散。8解：，由比值判别法知，原级数收敛。9解：，由比值判别法知，原级数收敛。10解：，而，故，由比值判别法知，原级数收敛。11解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12解：，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13解：，原级数发散。14解：此为交错级数，()而级数发散，故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15解：，当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16解：，收敛区间为。17解：，。18解：，。故当，即时收敛，当或时发散，当

30、时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。19解：，当时，即时收敛，当，即或时发散，。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20解：，当时，原级数，发散。故收敛区间为。21解：设，。22解：设，则 ，即，。23解：，。24解： ，。25解：， 。26解：，即 (B)1解：, ，原级数收敛且和为。2解：，原级数收敛且和为。3解：，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数收敛。5解：，由根值判别法知原级数收敛。6解：当充分大时有，而，故，由根值判别法知原级数收敛。7解：，当，即 时，原级数收敛；，即 ，原级数发散，当时不定。8解：当时，级数发散。 当时，()，而收敛，级数发散。9解：，

31、收敛，由比较判别法知级数收敛。10解：，故也发散，故也非条件收敛。11解：，而发散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12解：，而发散，发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13解：，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。14，当时，原级数发散，故收敛区间为，其中。15解：，当，即时，原级数收敛，当，即或时，原级数发散，当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2，收敛区间为。16解：，当，即，原级数收敛。当时，原级数收敛，当时

32、，原级数发散。故原级数的收敛区间为。17解：，但 ，故有，。18解：，而 ，。19解：， ，故，。20证明：考虑级数，逐项微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解： ，()。23解： ，。 (C)1解： ,故原级数收敛，且和为。2证：，由比较判别法知原正项级数收敛。3解：，由比值判别法知，原级数发散。4解：考虑函数，由得，易知时的最大值，所以当地，但为收敛的几何级数，原级数也收敛。5解：，有；而当时，有，当时，而级九可判别其是收敛的，原级数收敛。6解：因为已知级数 条件收敛的级数。设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，故原级数收敛且和为。7解：，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散，故原级数收敛域为。8解：，由于，而当，故；当时，原级数为，由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。9解：当时，级数收敛。设，则，两边积分得：，()；再积分一次 ，()；，即原级数的和。10解：， 因为当时，又当时，故展开式对所有的均成立，在展开式中令，得。11解：，()，故当，即当时级数收敛，当时级数发散，因此原级数收敛区间为，且 ，。