第1章时域离散信和时域离散系统整理ppt

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1、 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言引言1.2 离散时间信号离散时间信号1.3 离散时间系统离散时间系统 1.4 离散时间系统的描述方法离散时间系统的描述方法 1.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.1 1.1 引言引言1、一维信号与多维信号、一维信号与多维信号 2、模拟信号（时域连续信号）、时域离散信号与、模拟信号（时域连续信号）、时域离散信号与数字信号数字信号 本章主要讲述时域离散信号和系统的表示与

2、描本章主要讲述时域离散信号和系统的表示与描述；学习信号与系统的时域分析法。述；学习信号与系统的时域分析法。几个基本概念：几个基本概念： 3、模拟系统（时域连续系统）、时域离散系统与、模拟系统（时域连续系统）、时域离散系统与数字系统数字系统 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号连续信号连续信号 ( )(),(1.2.1)at nTax tx nTn 对模拟信号对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，得到 ( )ax t( )ax t( )ax t0t1s 第第1章章 时域离散信号和时域离散系

3、统时域离散信号和时域离散系统 X0 2 4 6 8 10 12 14 2()axnTnT每隔每隔0.125s抽样一次得到抽样一次得到 1()axnT每隔每隔0.0625s抽样一次得到抽样一次得到 2()axnT0 1 2 3 4 5 6 7 1()axnTnT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X采样间隔可以不写，形成采样间隔可以不写，形成 信号。信号。( )x n 称为序列，称为序列，对于具体信号，对于具体信号， 也代表第也代表第n个序个序列值。需要说明的是，这里列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义。取整数，非整数时无定义。( )x n( )x n

4、在数值上，在数值上， 等于信号的采样值，即等于信号的采样值，即 (1.2.2) ( )x n( )()ax nx nTn 如果如果 是通过观测得到的一组离散数据，则可以用是通过观测得到的一组离散数据，则可以用集合符号表示，例如：集合符号表示，例如： ( )x n( )1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0, 4.116x nn 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1. 单位采样序列单位采样序列(n) 1.2.1 1.2.1 常用的典型序列常用的典型序列 1,0(1.2.3)0,0nnn101231n (n) (t)t0( a )( b ) 图图1.2.1单位

5、采样序列和单位冲激信号单位采样序列和单位冲激信号 (a)单位采样序列；单位采样序列； (b)单位冲激信号单位冲激信号单位采样序列和单位冲激信号如图单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) 1,0(1.2.4)0,0nu nnu(n)01231n图图1.2.2 单位阶跃序列单位阶跃序列单位阶跃序列如图单位阶跃序列如图1.2.2所示。所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 与与 之之间的关系：间的关系： 0( )()ku nnk(1.2.6)令

6、令n-k=m，代入上式右边得到，代入上式右边得到(1.2.7)()()nmu nm ( )u n( )n (1.2.5) ( )( )(1)nu nu n 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X3. 矩形序列矩形序列RN(n) R4(n)01231n图图1.2.3 矩形序列矩形序列当当N=4时，时，R4(n)的波形如图的波形如图1.2.3所示。所示。上式中上式中N称为矩形序列的长度。称为矩形序列的长度。1,01()(1 .2 .8 )0 .NnNRnn其 它矩形序列可用矩形序列可用单位单位阶跃序列表示：阶跃序列表示： ( )( )()NRnu nu nN 第第1章

7、章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X4. 实指数序列实指数序列 其波形如图其波形如图1.2.4所示。所示。 ( )( )nx na u na为实数( )ax nn如果1，的幅度随 的增大而增大，称为发散序列。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X( )na u nn01a0 1 2 3 4 5 ( )na u nn1a 0 1 2 3 4 5 6 7 8图图1.2.4 实指数序列实指数序列 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X5. 正弦序列正弦序列式中式中 称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它称为正弦序

8、列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。间变化的弧度数。( )sin()x nn可得可得 (1.2.10)T ( )sin()( )( )sin()aat nTx ttx nx tnT若，则在数值上有 如果正弦序列是由模拟信号如果正弦序列是由模拟信号 采样得到的，即采样得到的，即 ( )ax t 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X6. 复指数序列复指数序列njenx)(0)(式中式中 为数字域频率。为数字域频率。0njenx0)(设设=0，分别用极坐标和实部虚部表

9、示如下式：，分别用极坐标和实部虚部表示如下式： 由于由于n取整数，下面等式成立：取整数，下面等式成立：00(2)0,1,2,.jMnjneeM00( )cossinx nnjn 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X7. 周期序列周期序列 ( )(), ( )nNx nx nNnx nN 如果对所有 存在一个最小正整数 ，使下面等式成立（1.2.12）则称序列为周期性序列，周期为 。( )sin()4x nn例如：例如：数字频率为数字频率为 正弦序列正弦序列如图如图1.2.5所示。所示。/4 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图

10、1.2.5 正弦序列正弦序列 sin()4nn0 1 2 3 45 6 7 89 10 11 图图1.2.5表明表明sin()4n是周期为是周期为8的周期序列的周期序列.)8(4sin)(nnx可表示为可表示为:也称正弦序列，也称正弦序列， 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性0000 ( )sin() ()sin() sin()x nAnx nNAnNAnN设那么k Nk N式中式中 与与 均取整数，且均取整数，且 的取值要保证的取值要保证 是是最小的正整数最小的正整数.00 ( )(), 22 x nx nNnNkNk

11、 如果 则要求即 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X对具体正弦序列，对具体正弦序列， 有以下三种情况：有以下三种情况：02 Nk0002211 2 kN（）当为整数时， 取 ，为最小整数。正弦序列是以为周期的周期序列。该正弦序列周期为该正弦序列周期为16。002sin()1688n例如， 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X00222 PPQQkQNPP（ ）当不是整数，是一个有理数时，设 =,式中 、 是互为素数的整数； 当 取 时，为最小整数。 正弦序列是以为周期的周期序列。取取k=2,该正弦序列周期为该正弦序列周期为5。0

12、04425sin()552n例如， 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X对于复指数序列对于复指数序列 的周期性也有同样的分析结的周期性也有同样的分析结果。果。0jne023 kN（ ）当是无理数，任何整数 都不能使正整数。因此，此时的正弦序列不是周期序列。不是周期序列。不是周期序列。1sin()4n例如， 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X( )( ) ()mx nx mn m(1.2.13) 式中式中 1,00,0nmnmnm对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即即例

13、如：例如： 的波形的波形如图如图1.2.6所示所示( )x n 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列用单位采样序列移位加权和表示序列4 5 6 7-1 0 1 2 3-2n)(nx可以用可以用(1.2.13)式表示成：式表示成：( )( ) ()220.51211.524256mx nx mn mnnnnnnnn（）（） （） （） （） （） （） （） 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.2.2 1.2.2 序列的运算序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是在

14、数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。所示。1.乘法和加法乘法和加法 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 图图1.2.7 序列的加法和乘法序列的加法和乘法 nx1(n)0 1 2 432nx2(n)0 1 2 341.5nx1(n)+x2(n)0 1 2 433.5nx1(n).x2(n)0 1 2 343 第第1章章 时域离散信号和时域

15、离散系统时域离散信号和时域离散系统 X2. 移位、翻转及尺度变换移位、翻转及尺度变换 设序列设序列x(n)用图用图1.2.8(a)表示，表示， 移位序列移位序列x(n-n0)(当当n0 =2时时)用图用图1.2.8(b)表示；表示； 当当n0 0时称为时称为x(n)的延时序列；当的延时序列；当n0 0时，序列右移；时，序列右移；n0时，序列左移；时，序列左移；二、卷积和的计算二、卷积和的计算 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X44( )( )()my nR m R nm例例1.3.4设设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(

16、n)。解解 : 按照按照(1.3.7)式，式，其其乘积值的非零区间，要求乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两同时满足下面两个不等式：个不等式： 0m3 n-3mn R4(m)的非零值区间为：的非零值区间为：0m3， R4(n-m)的非零值区间为：的非零值区间为：0n-m3， 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X方法：求和上限取两个不等式上限中的小者；求和下方法：求和上限取两个不等式上限中的小者；求和下限取两个不等式下限中的大者。限取两个不等式下限中的大者。另外，由前两个不等式还可得出另外，由前两个不等式还可得出n的取值范围，也即输的取值范围，也即输出出y(n)

17、的非零区间：的非零区间： 0n6当当 n-30, 即即 n3 时，下限取时，下限取0；此时上限取；此时上限取n。当当 n-30, 即即 n3 时，下限取时，下限取n-3；此时上限取；此时上限取3。由此得出求和的上下限。由此得出求和的上下限。因此，因此，03303, ( )1146, ( )17nmm nny nnny nn 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.3.2R4(n)0123n0 1mR4( m) 2 3R4(n)0123nmR4(m)0 123mR4(1 m) 2111110 123mR4(2 m)11023ny(n)1112344567卷积过

18、程以及卷积过程以及y(n)波形波形如图如图1.3.2所示，所示，103( )7460nny nnnn其它y(n)用公式表示为用公式表示为 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X例例已知已知00nnnn,0)(，nnh其它10Nn,0)(0，nnnx求它们的卷积。求它们的卷积。解：解：mmnhmxnhnxny)()()()()( mn00)(mx0)(mnh10NmnnmNn1当当当当或或求和上限为求和上限为 n求和下限求和下限 1,1)2(,1) 1 (000NnNnnnNnn取时当取时当 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X nn

19、0而而这是输出的非零区间。这是输出的非零区间。,0nn 100Nnnn110000)(nnnnnnmmnnmny1100)(NnnNNnNnmmnnmny10Nnn0)(ny 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X线性卷积服从交换律、结合律和分配律。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。12121212( )* ( )( )* ( )( )* ( )*( ) ( )*( )*( )( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nx nh nh nx nh nh nx nh nh nx nh nx nh n三、卷积的性质三、卷积的性质 第第1

20、章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.3.3 卷积的结合律和分配律卷积的结合律和分配律 h1(n)h2(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）* 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 结论结论1: 两系统级联两系统级联,其等效系统的单位采样响应等其等效系统的单位采样响应等于两系统分别的单位采样响应的卷积于两系统分别的单位采样响应的卷积. 结论结论2: 并联系统的等效单位采样响应等于两系统并联系统的等

21、效单位采样响应等于两系统分别的单位采样响应的之和分别的单位采样响应的之和.再考查下式，再考查下式，( )( ) ()mx nx mnm)()(nnx 可以得到可以得到: )()()(00nnnxnnx 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X例例1.3.5 在图在图1.3.4中，中，h1(n)系统与系统与h2(n)系统级联，设系统级联，设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4)， h2(n)=anu(n)， |a|1 求系统的输出求系统的输出y(n)。 图图1.3.4 例例1.3.5框图框图 h1(n)h2(n)y(n)x(n)m(n) 第第1章章 时域

22、离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Xm(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n) - u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)先求第一级的输出先求第一级的输出m(n)，再求，再求y(n)。解解:y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n)=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X n=0 y(n)=1 n=1 y(n)=a+1 n=2 y(n)=a2+a+1 n=3 y(n)=a3+ a2+a+1 n=4 y(n)=a4+ a3+

23、a2+a n=5 y(n)=a5+a4+ a3+ a2 .y(n)=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2) +a n-3 u(n-3)各离散时间点的值分别为各离散时间点的值分别为 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.3.4 1.3.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 如果如果n时刻的输出还取决于时刻的输出还取决于n时刻以后的输入时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为系统被称为非因果系非因果系统统。 如果系统如果系统n时刻的输出，只取决于时刻的输出，只

24、取决于n时刻以及时刻以及n时刻以前的输入序列，而和时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为为因果系统因果系统。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：统的单位取样响应满足下式： h(n)=0， n0 (1.3.13) 满足满足(1.3.13)式的序列称为因果序列。式的序列称为因果序列。( )nh n (1.3.14) 所谓所谓稳定系统稳定系统，是指系统

25、有界输入，系统输出，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。也是有界的。 线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为单位取样响应绝对可和，用公式表示为 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1001( )limlim1NNnnNNnnnah naaa解：解： 由于由于n0时，时，h(n)=0，所以系统是因果系统。，所以系统是因果系统。 例例1.3.6 设线性时不变系统的单位取样响应设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析

26、该系统的因果稳定性。 只有当只有当|a|1时时 1()1nh na 因此系统稳定的条件是因此系统稳定的条件是 |a|1；|a|1时，系统不稳定。时，系统不稳定。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 如果系统不稳定，如果系统不稳定，h(n)的模值随的模值随n加大而加大而增大，增大，则称为发散序列。则称为发散序列。 系统稳定时，系统稳定时，h(n)的模值随的模值随n加大而减小，此时加大而减小，此时序列序列h(n)称为收敛序列。称为收敛序列。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k

27、 u nk h(n)=u(n) 因果系统因果系统例例1.3.7 设系统的单位取样响应设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意，求对于任意输入序列输入序列x(n)的输出的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳，并检验系统的因果性和稳定性。定性。解：解：( )( )nky nx k(1.3.15) 因为当因为当n-k0时，时，u(n-k)=0；n-k0时，时，u(n-k)=1，因此，求和限为，因此，求和限为kn，所以，所以 下面分析该系统的稳定性：下面分析该系统的稳定性：0( )( )nnh nu n 该系统为非稳定系统。该系统为非稳定系统。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散

28、信号和时域离散系统 X1.4 1.4 离散时间系统的描述方法离散时间系统的描述方法 描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法输入输出描述法。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 一个一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：阶线性常系数差分方程用下式表示： (1.4.1)NiiMiiinyainxbny10)()()(1.4.11.4.1线性常系数差分方程线性常

29、系数差分方程或者或者 (1.4.2)NiiMiiinyainxb00)()(10a差分方程的阶数差分方程的阶数:用用y(n-i)项中项中i的取值最大与最小之差确定的取值最大与最小之差确定. 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.4.2 1.4.2 线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： (1)经典解法。经典解法。 (2)递推解法。递推解法。 (3)变换域方法。变换域方法。 第

30、第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X解解 (1) 设初始条件设初始条件 y(-1)=0 将将x(n)=(n)代入代入 y(n)=ay(n-1)+x(n)得得 y(n)=ay(n-1)+ (n)例例1.4.1 设系统用差分方程设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输描述，输入序列入序列x(n)=(n)，求输出序列，求输出序列y(n)。n=0时，时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时，时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时，时，y(2)=ay(1)+(2)=a2 n=n时，时，y(n)=an当当n0时时 第第1章章 时域离散信号和时域离

31、散系统时域离散信号和时域离散系统 X由由y(n)=ay(n-1)+ (n)推出推出 y(n-1)=a -1y(n) - a-1(n)n= -1 y(-2) =0n=-2 y(-3) = 0n0 y(n) = 0当当n0时时y(n)=anu(n)综合考虑综合考虑n0和和n0两种情况，得两种情况，得 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Xn=0时，时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时，时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=n时，时，y(n)=(1+a)an(2)设初始条件设初始条件y(-1)=1n0n0 y(n-1)=a -1y(n) - a

32、-1(n)n= -1 y(-2) = a-1 n= -2 y(-3) = a-2n0 y(n)=a ny(n)=(1+a)an u(n) + a nu(-n-1) y(n)=ay(n-1)+ (n)综合考虑综合考虑n0和和n0两种情况，得两种情况，得 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X例例1.4.3 设系统用一阶差分方程设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描描述，初始条件述，初始条件y(-1)=1。试分析该系统是否是线性非。试分析该系统是否是线性非时变系统。时变系统。 注注: 如果系统具有线性非时变性质，必须满足：如果系统具有线性非时变性质，

33、必须满足： 若若 y(n)=Tx(n) 且且 y1(n)=Tx1(n) y2(n)=Tx2(n) 则则 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) 系统为线性系统系统为线性系统 和和 y(n-n0)=Tx(n-n0) 系统为非时变系统系统为非时变系统问题：可以直接用上面的定义判断吗？问题：可以直接用上面的定义判断吗？ 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X设输入信号分别为：设输入信号分别为： x1(n)=(n)， x2(n)=(n-1) x3(n)=(n)+(n-1) 。 解解:(1)将将x1(n)=(n)代入代入y(n)=ay(n-1)+

34、x(n) 得得 y1(n)=ay1(n-1)+(n)用递推法并考虑用递推法并考虑y1(-1)=1可得可得 y1(n)=(1+a)an u(n) + a nu(-n-1)y1(n-1)=(1+a)an-1 u(n-1) + a n-1u(-n)用用n-1代替代替n得：得： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X(2)将将 x2(n)=(n-1)代入代入y(n)=ay(n-1)+x(n) 得，得， y2(n)=ay2(n-1)+(n-1)用递推法并考虑用递推法并考虑 y2(-1)=1可得可得 y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+a(n) +anu(-n

35、-1) 因此该系统不是时不变系统因此该系统不是时不变系统Tx1(n) =T(n) =y1(n)Tx1(n-1) =T(n-1)= y2(n) y1(n-1)考察系统的时不变性考察系统的时不变性 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X(3) 将将 x3(n)=(n)+(n-1)代入代入 y(n)=ay(n-1)+x(n) 得得 y3(n)=a y3(n-1)+(n)+(n-1)用递推法并考虑用递推法并考虑 y3(-1)=1 可得可得 y3(n)= (1+a)(n) +(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+anu(-n-1) =(1+a)an u(n) + a

36、nu(-n-1) +(1+ a2)a n-1 u(n-1)+a(n) +anu(-n-1) =(1+2a) (n) +(an-1+ an +2 an+1 )u(n-1)+2 an u(-n-1)y1(n)+y2(n)= Tx1(n)+Tx2(n)= T(n)+T(n-1)考察系统的线性性质考察系统的线性性质 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 XT(n)+T(n-1) =y1(n)+y2(n) y3(n)= Tx1(n)+x2(n) =T(n)+(n-1)即即该系统不是该系统不是线性线性系统系统 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X

37、1.5 1.5 模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法 预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)图图1.5.1 模拟信号数字处理框图模拟信号数字处理框图 模拟信号数字处理过程模拟信号数字处理过程: 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 一一. .采样定理采样定理1.5.1 1.5.1 采样定理及采样定理及A/DA/D变换器变换器1、矩形脉冲抽样、矩形脉冲抽样 图中图中S为电子开关，每为电子开关，每隔隔T闭合一次，闭合时闭合一次，闭合时间间T。连续信号连续信号抽样信号抽样信号 相乘相乘 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域

38、离散系统 X2、理想抽样、理想抽样( )()( )( )( )( ) ()naaanP ttnTx tx tP tx ttnT图中图中naanTtnTxtx)()()(由由函数的性质可得函数的性质可得连续信号连续信号抽样信号抽样信号抽样脉冲抽样脉冲 相乘相乘 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X设设 (1.5.3) ()( )aaXjFT x t kskTtPFTjP)(2)()()()(tPFTjP()( )aaXjFT x t 其中其中在频域研究此问题。在频域研究此问题。 采样间隔应取多大，才能保证在采样过程中，不采样间隔应取多大，才能保证在采样过程中，不丢

39、失信息？丢失信息？ 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X式式(1.5.3)的推导的推导nnTttP)()( 是周期函数是周期函数,可以展成傅里叶级数可以展成傅里叶级数,即即 ntjnnnseanTttP)()(式中式中Ts2011()sTjntnnatnT edtTT0()( ),0nTtnTtn注: 在区间，即。傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X()2()ssjntjtnjntsnneedtedtn 1()( )sjntnPjFT P tFTeT tjnnse先对先对 作傅里叶变换作傅里叶变换

40、,有有:1( )()sjntnnP ttnTeT因此因此代入上式，得：代入上式，得：对对 作傅里叶变换，有作傅里叶变换，有 1( )sjntnP teTkskTtPFTjP)(2)()(证明证明 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X()2()sjntsedtn 证明：证明：2()12()2ssjntj tsnnede 的傅里叶逆变换为：由傅里叶变换的唯一性，可得：由傅里叶变换的唯一性，可得：()sjntsen 的傅里叶变换为2即：即：2()sjntjtseedtn 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1 ()askXjkT )()

41、(21)()()(jPjXtPtxFTjXaaadjPjXa)()(21dkTjXksa)(2)(21 ksadkjXT)()(1采样信号的频谱：采样信号的频谱： 式中，式中， 称为采样角频率，单位是弧度称为采样角频率，单位是弧度/秒，秒，2sT .3 . 5 . 1)()(所示的关系如图与jXjXaa2()( )()skP jFT P tkT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.5.3 采样信号的频谱采样信号的频谱 如果如果)2,(2cscsff 即基带谱和其它周期延拓形成基带谱和其它周期延拓形成的谱不重叠（如图（的谱不重叠（如图（c）. 设设xa(t

42、)是带限信号，是带限信号，最高截止频率为最高截止频率为 ，其频谱其频谱 。 如图如图1.5.3(a)所示。所示。c()aXj12/T1/T1/T否则，基带谱和其它周期延拓否则，基带谱和其它周期延拓形成的谱重叠（如图（形成的谱重叠（如图（d）. 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X()G j 1,210,2ssT 3、恢复原连续信号、恢复原连续信号 )(jXa()aY j )(tya()G j1F T()( ),aaXjxt如果想从恢复设计如下系统设计如下系统图中图中 为傅里叶逆变换，为傅里叶逆变换， 的表达式如下：的表达式如下： 1F T()G j()()()a

43、aYjXjG j 11( )( ),2( )()1( )( ),2aacsaaaacsy tx ty tF T Yjy tx t 低通滤波器，低通滤波器，通带截止频率通带截止频率为为/2s 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Xfs/2称为折叠频率称为折叠频率要求：要求：低通滤波器的带宽：低通滤波器的带宽：图图1.5.4 采样恢复采样恢复 2ssfT2sc 2 2scscff 即或 xa(t)的最高的最高截止频率截止频率 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X (1) (1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采对连续信号进行等间隔

44、采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)(1.5.5)表示。表示。4 4、采样定理的表述、采样定理的表述)(txa (2) (2)设连续信号设连续信号xa( (t) )属带限信号，最高截止频率为属带限信号，最高截止频率为cc，如果采样角频率，如果采样角频率s22c，那么让采样信号，那么让采样信号 通过一个增益为通过一个增益为T T，截止频率为，截止频率为s/2s/2的理想低通滤波的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号器，可以唯一地恢复出原连续信

45、号xa( (t) )。否则。否则( (即，即，s22c) )会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。无失真地恢复原连续信号。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X( )( )()aat nTx nx tx nT ( )( )()() ()aaannx tx ttnTx nTtnT在数值上在数值上( )x n(),axnT ( ),ax t与与的关系的关系( )axt( )()aat nTx tx nT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.5.5 A/DC原理框图原

46、理框图 采样量化编码xa(t)x(n)二、二、A/DA/D转换器转换器: : A/DC(Analog/DigitalConverter)完成将模拟信完成将模拟信号转换成数字信号号转换成数字信号. 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1()sin(2),850sin(2)20081sin()28asxnTfnTTfnn例如：模拟信号例如：模拟信号 ， f=50Hz;选选取采样频率取采样频率fs=200Hz，将，将t=nT代入代入xa(t)中，得到采中，得到采样数据：样数据：( )sin(2)8ax tft 当当n=0，1，2，3，时，得到序列时，得到序列x(n)如

47、下：如下：x(n)=0.382683, 0.923879, -0.382683, - 0.923879量化编码量化编码 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X1.5.2 1.5.2 将数字信号转换成模拟信号将数字信号转换成模拟信号 g(t)( txa)(tya 为抽样信号为抽样信号, g(t)是低通滤波器是低通滤波器, ya(t)为恢复的为恢复的模拟信号模拟信号.)( txa图中图中一、理想信号恢复一、理想信号恢复( )( )* ( )aaytx tg t ( ) ()axg td 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X因为因为s=2

48、fs=2/T，因此，因此g(t)也可以用下式表示：也可以用下式表示：11( ) ()()2jtg tF T G jG jed2/2/21ssdTetj2/)2/sin(ttssTtTttg/)/sin()(1.5.7)波形如下图所示。波形如下图所示。1、低通滤波器的时域表达式。、低通滤波器的时域表达式。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.5.6 内插函数内插函数g(t)波形波形 TtTttg/)/sin()(g(t)称为内插函数称为内插函数-6-4-20246-0.4-0.200.20.40.60.8101T2T3T-Tg(t)t第一、函数最大值为第一

49、、函数最大值为1，出现在出现在 t = 0处。处。第二、函数的第一零点第二、函数的第一零点位于位于 t =T处。处。第三、波形的主瓣宽度第三、波形的主瓣宽度为为2T，旁瓣宽度为，旁瓣宽度为T。特点：特点： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X() () ()anx nTnTg td naanTtnTxtx)()()( )( )( )aay tx tg t ( )()axg td2、低通滤波器的输出、低通滤波器的输出即即 由由 采样获得采样获得 ( )ax t( )ax t输入信号为输入信号为sin( ()/)( )()()/aantnTTy tx nTtnTT(

50、) ()anx nT g t nT() () ()anx nTnT g td 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Xsin( ()/ )()()/( )antnTTx nTatnTTx t ( )ax t( )ax t如果由如果由 采样获得采样获得 时满足采样定理，则时满足采样定理，则( )( )aay tx t即即叠加过程如下图所示。叠加过程如下图所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 Xsin( ()/)( )()()/aantnTTx tx nTtnTT-2-1012345678-101234524420( )ax tt02

51、46810120244420t()axnT-2-10123456780244402t(0) ( )axg t-2-10123456780244420t( ) ()ax T g tT-2-10123456780244420t(2 ) (2 )axT g tT图图1.5.7 理想恢复理想恢复 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X图图1.5.8 D/AC方框图方框图 解码零阶保持平滑滤波x(n)xa(t)xa(nT)xa(t)二、数模转换二、数模转换解码是将数字信号转换成时域离散信号解码是将数字信号转换成时域离散信号.平滑滤波是滤出多余的高频成分平滑滤波是滤出多余的高

52、频成分. 零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。因此相当于进行常数内插。 零阶保持器的单位冲激函数零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如以及输出波形如图图1.5.9所示。所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X01Th(t)t024681012010203040500T2T 3Tt()ax nT024681012010203040500T2T 3Tt( )ax t( )()( ) () ()aaan

53、x tx nTh tx nT h tnT图图1.5.9 零阶保持器的输出波形零阶保持器的输出波形 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X0/2()( )sin(/2)/2TjtjtjTH jh t edtedtTTeT (1.5.10) 其幅度特性和相位特性如图其幅度特性和相位特性如图1.5.10所示。所示。对对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：进行傅里叶变换，得到其传输函数： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X-8-6-4-202468-0.200.20.40.60.810T()H jT2T4T0arg()H j2T2T4

54、T图图1.5.10 零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X例例: 模拟信号数字处理系统框图如下模拟信号数字处理系统框图如下,假设假设T满足采样定满足采样定理理,把把xa(t)到到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器的整个系统等效成一个模拟滤波器,如果如果h(n)的截止频率为的截止频率为c=/8 rad,1/T=10kHz,求整个等效系求整个等效系统的截止频率统的截止频率fc.取样器取样器 (周期周期T)h(n)D/A理想低通滤波器理想低通滤波器(截止频率截止频率/T(弧度弧度/秒秒)xa(t)x(n)y(n)y(t) 第

55、第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X解解:由由 将数字滤波器的截止频率折算为模拟截止频率将数字滤波器的截止频率折算为模拟截止频率,得得:/88ccTTT 最后一级理想低通滤波器的截止频率为最后一级理想低通滤波器的截止频率为/T(弧度弧度/秒秒),大大于于/8T,所以整个等效系统的截止频率所以整个等效系统的截止频率c= /8T.HzTTfcc62516100001618212T 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 XP27 习题习题12.(1)设连续信号的周期为设连续信号的周期为T0. 对正弦信号的周期对正弦信号的周期T0有如下关系式有

56、如下关系式: cos2ft022fT02110.05220Tsff故故 解解: 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X(2)naanTttxtx)()()(nnTtfnT)()2cos(nnTtnT)()40cos(nnTtft)()2cos(采样信号的表达式：采样信号的表达式： 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X(3)54cos()()(ntxnxnTta 设周期为设周期为N, 对离散序列对离散序列cos0n,其周期满足下式其周期满足下式: 0N=2k故故kkkN2554220取取 k=2, N=5x(n)的波形如下图所示。的波

57、形如下图所示。 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X)(nxn01234567计算得计算得 x(0)=0 x(1)=0.59 x(2)=-0.95 x(3)=0.95 x(4)=-0.59 图中虚线为图中虚线为( )cos(2)2axtft)254cos()(nnx 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X如果如果T=0.005s, 则则)5cos()()(nnTxnxakkkN105220取取k=1, N=10 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X41/4()40G j G(j)xa(t)ya(t)T

58、例：一个理想采样系统，采样频率例：一个理想采样系统，采样频率s=8，采样后经，采样后经理想低通理想低通G(j)还原，还原，今有两输入信号今有两输入信号xa1(t)=cos2t, xa2(t)=cos5t,问输出信号问输出信号ya1(t),ya2(t)的波形是什么？画出波形，并说明的波形是什么？画出波形，并说明ya1(t),ya2(t)相对于相对于xa1(t)，xa2(t)有无失真，是什么失真？有无失真，是什么失真？ 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X解：解： 两输入信号的频谱分别为：两输入信号的频谱分别为：1() (2 )(2 )aXj 2() (5 )(5

59、)aXj 采样后信号的频谱与原模拟信号的关系为采样后信号的频谱与原模拟信号的关系为111() () (28 )(28 )aaskkXjXjkTkkT 2() (58 )(58 )akXjkkT 式中式中412sT 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X经低通滤波器后输出分别为：经低通滤波器后输出分别为：11() (2 )(2 ) (2 )(2 )4aYjT 21() (3 )(3 ) (3 )(3 )4aYjT 对应的时域信号为：对应的时域信号为：)2cos()(1ttya2( )cos(3)aytt 输出信号输出信号 出现失真，因为采样频率低于该出现失真，因为采样频率低于该信号频率的两倍，故出现频谱混叠。信号频率的两倍，故出现频谱混叠。2( )ayt 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X 第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 X第一章习题第一章习题3.3.5.(1) (2)5.(1) (2)6.(2) (4)6.(2) (4)8.(2) (3)8.(2) (3)11.11.