数的概念的扩展实用教案

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1、N一、数的概念的产生和扩展一、数的概念的产生和扩展(kuzhn)过程过程 原始社会，由于计数的需要产生了自然数原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念的概念(ginin)(ginin)，随着文字的产生和发展，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：出现了记数的符号：1 1、2 2、3 3、4 4、 ，进，进而建立了自然数的概念而建立了自然数的概念(ginin)(ginin)。自然数的。自然数的全体构成自然数集全体构成自然数集. . 此时只有自然数，其它的数如正数、负数、此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数分数甚至连零都还没有出现，人们的一切甚至连零都还没有出现，人们的一切活动也都用自然

2、数表示，在计算时也只能进行活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行(jnxng)(jnxng)加法和乘法运算。加法和乘法运算。第1页/共28页第一页，共28页。一、数的概念一、数的概念(ginin)的产生和扩展过程的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断但随着生产活动的不断(bdun)(bdun)发展，有些发展，有些活动就无法用数来表示了：活动就无法用数来表示了： 如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏(snhui)(snhui)了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几斗粮食？还有几斗粮食？ 这一问题在当时是无法用数学解决的，这

3、一问题在当时是无法用数学解决的， 因为因为 5 510 10 N N 数集（自然数集）面临着数集（自然数集）面临着 第一次扩展第一次扩展第2页/共28页第二页，共28页。一、数的概念一、数的概念(ginin)的产生和扩展过程的产生和扩展过程 自然数集如何自然数集如何(rh)(rh)扩展呢？扩展呢？引进引进(ynjn)“新数新数”：0和正负整数，组和正负整数，组成新数集成新数集整数集整数集 Z = 0， 1， 2， 确定数集扩展的原则：确定数集扩展的原则：第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，第二，要保留原

4、有数集的性质，特别是它的运算性质， 同时又增加一些新的运算性质。同时又增加一些新的运算性质。引入新概念引入新概念:零零和正负整数和正负整数,数数集集N扩展了扩展了!于是：于是： 5 510105 5 Z Z 第3页/共28页第三页，共28页。N一、数的概念的产生一、数的概念的产生(chnshng)和扩展过程和扩展过程Z 在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示了，但类似运算表示了，但类似 “ “三担粮食均分给三担粮食均分给(fn i)(fn i)七人，每人可得多少担粮食？七人，每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法的问题仍然无法解决。解决。因为因为

5、(yn wi) 3(yn wi) 37 7 Z Z同学思考同学思考:此时怎么办？此时怎么办？第4页/共28页第四页，共28页。一、数的概念的产生一、数的概念的产生(chnshng)和扩展过程和扩展过程数集（整数数集（整数(zhngsh)(zhngsh)集）第集）第二次扩展二次扩展表示新数的符号：如表示新数的符号：如 有理数有理数Q=0， 1， 2， ， -13,0.72425 13,0.72425 根据数集扩展的原则根据数集扩展的原则(yunz)，引入新数，引入新数“分数分数”及及引入新概念引入新概念:分数分数数集数集Z又扩展了又扩展了!第5页/共28页第五页，共28页。N一、数的概念的产生和

6、扩展一、数的概念的产生和扩展(kuzhn)过程过程ZQ第6页/共28页第六页，共28页。一、数的概念一、数的概念(ginin)的产生和扩展过程的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在公元前集的建立，大约是在公元前五世纪左右，由当时古希腊五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家伟大的数学家毕达哥拉毕达哥拉斯和其创立的非常斯和其创立的非常(fichng)(fichng)有名的毕达哥拉有名的毕达哥拉斯学派最终完成。斯学派最终完成。第7页/共28页第七页，共28页。一、数的概念的产生和扩展一、数的概念的产生和扩展(kuzhn)过程过程 当时毕达哥拉斯学派认为：当时毕达哥

7、拉斯学派认为：“万物皆数万物皆数”（指整数），（指整数）， 数数是现实的基础，是严整性和次序是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制的根据，是在宇宙体系里控制(kngzh)(kngzh)着的永恒的关系。宇着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或宙间一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和整数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么分数，除此以外，没有别的什么数了。数了。 第8页/共28页第八页，共28页。一、数的概念的产生一、数的概念的产生(chnshng)和扩展过程和扩展过程 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派(xupi)(xupi)学派学派(xupi)

8、(xupi)的一项重大贡献：的一项重大贡献：证明证明(zhngmng)(zhngmng)了了勾股定理勾股定理第9页/共28页第九页，共28页。一、数的概念的产生一、数的概念的产生(chnshng)和扩展过程和扩展过程 不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为为1 1正方形的对角线长正方形的对角线长m m既不是既不是(b shi)(b shi)整数也不是整数也不是(b shi)(b shi)分数，是当时人们还没有认识的新数分数，是当时人们还没有认识的新数 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个论，动摇了

9、这个(zh ge)(zh ge)学派的基础，为此引学派的基础，为此引起了他们的恐慌引起了第一次数学危机。起了他们的恐慌引起了第一次数学危机。 为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。伯斯扔进地中海。第10页/共28页第十页，

10、共28页。一、数的产生和扩展一、数的产生和扩展(kuzhn)过程概念的过程概念的 希伯斯发现希伯斯发现(fxin)(fxin)：若：若： x2 = 2 x2 = 2 则：则： x x Q Q 为解方程为解方程 x2 = 2 引入引入 “2的平方根概念的平方根概念”，并用符号，并用符号 “ ” 表示表示 于是，于是，x2=2 x = 同时把它（即同时把它（即 ）称为无理数）称为无理数222从而引发从而引发(yn f)： 数集数集（有理数集）第三次扩展（有理数集）第三次扩展第11页/共28页第十一页，共28页。一、数的概念一、数的概念(ginin)的产生和扩展过程的产生和扩展过程数集（有理数集）第

11、三次扩展数集（有理数集）第三次扩展(kuzhn)(kuzhn) 引进引进“新数新数”：无理数：无理数 及其符号表示方及其符号表示方法法 如如 ： 实数实数R=0， 1， 2， - -2 ,7 ,2 ,7 ,引入新概念引入新概念(ginin):无理数无理数,数集数集Q进一步扩展了进一步扩展了!第12页/共28页第十二页，共28页。N一、数的概念一、数的概念(ginin)的产生和扩展过程的产生和扩展过程ZQR第13页/共28页第十三页，共28页。通过上述数的概念的扩展过程通过上述数的概念的扩展过程(guchng)，可以看到：可以看到：1、数的概念扩展的动力：、数的概念扩展的动力： 解决实际问题数学

12、内部矛盾的需要解决实际问题数学内部矛盾的需要 2、数的概念、数的概念(ginin)发展了，数集也发展了，数集也就扩展了就扩展了3、因而可以说：数集是随着新数的概念、因而可以说：数集是随着新数的概念(ginin)的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾运算在原数集内不能适用的矛盾一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程第14页/共28页第十四页，共28页。复习复习(fx)回回顾顾数系的扩充数系的扩充(kuchng)自然数自然数整整 数数有理数有理数实实 数数用图形用图形(txng)表示为：表示为：NZ ZQ QR R第1

13、5页/共28页第十五页，共28页。新课引入新课引入对于一元二次方程 没有实数根。012 x12x即：在实数范围内，i12 i第16页/共28页第十六页，共28页。虚数单位 ：i i12i （1）； （2） i第17页/共28页第十七页，共28页。复数(fsh)的定义：我们把形如a+bi (a,bRa+bi (a,bR，i i是虚数单位) )的数叫做(jiozu)(jiozu)复数。全体复数所形成的集合叫做(jiozu)(jiozu)复数集，一般用字母C C表示。我们通常用字母 表示复数，即 biaz ),(RbRa 其中 称为虚数单位。i第18页/共28页第十八页，共28页。复数(fsh)(f

14、sh)的分类： 对于(duy)复数，当且仅当b=0时，复数a+bi是实数a； 当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。第19页/共28页第十九页，共28页。复数集与其它集合(jh)的关系：N Z Q R C 图形(txng)表示：NZ ZQ QR RC 第20页/共28页第二十页，共28页。 例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并且指出它们是实数还是虚数，如果是虚数还应指出是否为纯虚数：i23)2(i 43 (1)7)3(2)(i4根据(gnj)复数的概念，复数a+bi 中， b=0时叫实数； b0时叫虚数； a=0且b0时

15、叫纯虚数。分析分析(fnx)：注意： ，虚数单位的平方是实数！ 12i例题例题(lt)分析分析第21页/共28页第二十一页，共28页。例2 实数m取什么(shn me)数值时，复数z=m+1+(m1)i是：(1)实数(shsh)？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 因为mR，所以m+1，m1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。分析：解： (1)当m1=0，即m=1时，复数(fsh)z是实数； (2)当m10，即m1时，复数(fsh)z是虚数； (3)当m+1=0，且m10时，即m=1时，复数(fsh)z 是纯虚数。 第22页/共28页第二十二页，共28页。例3 计

16、算(j sun)、化简：ii 2)1(5)3(iii 3)2(43272)4(iiii分析：分析： 紧扣虚数单位的概念： ，它仍然满足四则运算。21i iii3817)( 24i1)1(02)(i)3(解：iiiiiinnnn3424144, 1, 1)(Nn通过计算发现，虚数单位的乘方具有周期性：第23页/共28页第二十三页，共28页。 1.计算：计算： 2. 指出下列复数中的实部和虚部，并观察是否有指出下列复数中的实部和虚部，并观察是否有纯虚数。纯虚数。 3. 实数实数 取何值时，复数取何值时，复数 是：是：（1）实数）实数 （2）虚数）虚数 （3）纯虚数）纯虚数 （4）零）零iii5)3

17、()5()(12350(2)2350iiiii 321)(i 4)2(35)3(37)4(immmm)3() 65(22m动手做一做动手做一做第24页/共28页第二十四页，共28页。小结小结(xioji)： 虚数单位 :i （1） ; （2）实数与它进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。 （3）周期性：21i )(, 1, 13424144Nniiiiiinnnn第25页/共28页第二十五页，共28页。小结小结(xioji)： 形如 的数叫复数，a 叫复数的实部Re z， b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 ( ,)abi a bR 复数 与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ：biab=0时是实数(shsh)； b0时是虚数； a=0，b0时，是纯虚数。 复数(fsh)定义：第26页/共28页第二十六页，共28页。五、回顾五、回顾(hug)与小结与小结正整数正整数(zhngsh)零零负整数负整数(zhngsh) 有理数有理数实数实数b=0 无理数无理数整数整数(zhngsh) 分数分数C复数复数z=a+bi（a、b R）虚数虚数b 0纯虚数纯虚数 （a=0）非纯虚数（非纯虚数（a 0）第27页/共28页第二十七页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第28页/共28页第二十八页，共28页。