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1、导热微分方程的推导Jacob傅立叶定律其中，分别为x，y，z坐标轴上的单位矢量。为导热率（单位）。其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流（单位），与该处的温度梯度成正比，但方向相反。一导热微分方程的推导依据1依据根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；，物体在单位时间内获得的热量；，物体在单位时间内内能的增加；，物体对外界所做的功。对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功可忽略不计，上式变为：2一般性假设(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；(2) 热导率、比热容和密度均为已知；(3) 物体内具有内热源，强度（单位），表示单位
2、体积、单位时间内放出的热量二直角坐标系下导热微分方程的推导考察时间内微元体中：导入与导出净热量 + 内热源发热量 = 热力学能的增加1. 导入与导出微元体的净热量（1）时间内、沿x 轴方向、经垂直于x轴 的热量导入表面导入的热量： (单位)同理，时间内、沿x 轴方向、经垂直于x轴 的热量导出表面导出的热量： (单位)，分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位。请注意，事实上这里有： ，所以导入与导出的热量差为： (单位)同理：（2）时间内、沿y 轴方向、经垂直于y轴 的两表面导入导出的热量差： (单位)（3）时间内、沿z 轴方向、经垂直于z轴 的两表面导入导出的热量差： (单位)2 微元体自
3、身的发热量时间内，微元体自身的发热量：3微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）时间内，微元体温度升高耗费的能量：根据前面所述的能量守恒，有：即整理得：又因为傅立叶定律，即，所以：， ， ，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：三柱坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：解释如下：沿着方向的温度梯度：，容易理解；沿着方向的温度梯度：，我们把它写成，注意分母是沿着方向的微小增量，或许就容易理解了；沿着方向的温度梯度：，这个很好理解，不多解释。依据能量守恒，最后可得出柱坐标系中的导热微分方程：四球坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出球坐标系下的傅立叶定律：解释如下：沿着方向的温度梯度：，容易理解；沿着方向的温度梯度：，写成的形式，可能就容易理解了，注意分母正是沿着方向的微小增量。（千万不要以为，沿着方向的温度梯度是）；沿着方向的温度梯度：，写成的形式，就容易理解了。注意分母是什么？对着上面的图看一看，就理解了。再根据能量守恒，就可以得出球坐标系下的导热微分方程：参考文献1 传热学，韩风双，百度文库资料；2 热应力，严宗达，王洪礼，高等教育出版社。
导热微分方程的推导_by Jacob
