北师大版数学必修五：解三角形的实际应用导学案含答案

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1、 第5课时解三角形的实际应用1.掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.3.学会解三角形应用题的一般步骤.中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开始走出近海,深入远海进行演习,实力在不断增强,为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障.2005年7月11日,是中国伟大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同梦想.问

2、题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经非常先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是根据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角:和仰角:,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常出现.问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)abc=;(2)R为ABC外接圆的半径,则sin A=,sin B=,sin C=;(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cos A=,cos B=,cos C=.问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(

3、1):理解题意,分清已知与未知,画出示意图.(2):根据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是根据题意,从实际问题中抽象出,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如、等,要注意解的实际意义以及题目中给出的精确度.1.若P在Q的北偏东4450,则Q在P的().A.东偏北4510B.东偏

4、北4550C.南偏西4450D.南偏西45502.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的航行速度是每小时().A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里3.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为m.4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50,且到A的距离为2,C点的俯角为70,且到A的距离为3,求 B、C间的距离.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能

5、到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶A的俯角为45,已知塔高AB=20 m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截

6、住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.某观测站C在目标A的南偏西25方向,从A出发有一条南偏东35走向的公路,在C处测得与C相距31 km的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去,走了20 km后到达D处,此时测得CD距离为21 km,求此人在D处距A的距离.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿

7、直线CB前往B处救援,求cos .1.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则、的关系为().A.B.=C.+=90D.+=1802.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为().A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10 n mile,BAC=60,ABC=75,则B,C间的距离是n mile.4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30、45,且A、B两点之间的距离为60 m,

8、求树的高度h.(2013年江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题变式(我来改编):第5课时解三角形的实际应用知识体系梳理问题1:从正北方向顺时针到目标

9、方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题2:(1)sin Asin Bsin C(2)(3)问题3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验问题4:一个或几个三角形坡角仰角俯角方位角基础学习交流1.C根据P在Q的北偏东4450,可以判断Q在P的南偏西4450,故选C.2.C如图所示,依题意有BAC=60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10(海里),在RtABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).3.5轴截面如图,则光源高度h=5

10、(m).4.解:根据题意得:BAC=120,AB=2,AC=3,BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=4+9-223cos 120=19,BC=.重点难点探究探究一:【解析】在ACD中,ADC=30,ACD=120,CAD=30,AC=CD=.在BDC中,CBD=180-45-(45+30)=60,由正弦定理,可得BC=2sin(30+45)=2sin 30cos 45+2cos 30sin 45=.在ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA,AB2=()2+()2-2cos 75=5+-(3+)(cos 30cos 45-sin 30sin 45)=

11、5,AB=.故两目标A,B间的距离为千米.【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=.同理cos 75=.熟记后可直接应用.探究二:【解析】如图,过点C作CEDB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,tan 60=,BD=x(m).在AEC中,x-20=x,解得x=10(3+) m.故山

12、高CD为10(3+) m.【小结】(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得=,解得sin =.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角的正弦值为.【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题时,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转

13、化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点.思维拓展应用应用一:如图,CAD=25+35=60.在BCD中,由余弦定理,得cos B=.故sin B=.在ABC中,由正弦定理,得AC=24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,即312=AB2+242-2AB24cos 60,AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15 km.应用二:在BCD中,CBD=-,由正弦定理得=,所以BC=.在RtABC中,AB=BCtanACB=.应用三:如图所示,在ABC中,

14、AB=40,AC=20,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sinACB=sinBAC=.由BAC=120,知ACB为锐角,故cosACB=.故cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30=-=.或由cos =sin B及正弦定理有sin B=sin 120=.基础智能检测1.B根据仰角与俯角的定义可知=.2.B由题意知ACB=120,AC=BC=a.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=2a2-2a2(-)=3a2,AB=a.3.5在

15、ABC中,由正弦定理可得=,即BC=5.4.解:由正弦定理得:=,PB=,h=PBsin 45=(30+30)m.全新视角拓展(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由正弦定理=,得AB=sin C=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50)=20037(t-)2+,因0t,即0t8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.