新编高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修22
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1、新编数学北师大版精品资料【成才之路】高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1反证法是()A从结论的反面出发,推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法答案A解析反证法是先否定结论,在此基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定原结论的真实性2否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解答案C3应用反证法导出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用:结论相反判断,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论()ABC D答案C4“M不是N的子集”的充分必要条件是()A若xM,则xNB若xN,
2、则xMC存在x1M且x1N,又存在x2M且x2ND存在x0M且x0N答案D解析按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素所以,要使M不是N的子集,只需存在x0M,但x0N.故选D.5“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A自然数a、b、c都是奇数B自然数a、b、c都是偶数C自然数a、b、c中至少有两个偶数D自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数答案D解析恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数,其二是至少有两个偶数6若a、b、c不全为零,必须且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c中只有一个是0Da、b、c中至少有一个不为0答案D解析a、b、c
3、不全为零,即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7某同学准备用反证法证明如下问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)f(x2)|x1x2|,求证|f(x1)f(x2)|.那么其反设应该是_答案如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)f(x2)|x1x2|,则|f(x1)f(x2)|解析根据题意知,反证法解题是从假设原命题不成立开始,把结论的否定作为条件,连同其他条件一起经过推断,得出与已知条件或已有原理相矛盾,从而肯定原命题的正确性这里进行假设时,注意把函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)f(1)剥离出来作为已知条
4、件8用反证法证明命题“若p1p22(q1q2),则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中,至少有一个方程有实数根”时,应假设为_答案两个方程都没有实数根三、解答题9求证:一个三角形中至少有一个内角不小于60.证明已知A、B、C为ABC的三个内角求证:A、B、C中至少有一个不小于60.证明:假设ABC的三个内角A、B、C都小于60,即A60,B60,C60,三式相加得ABC0,则三个数,()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2答案C解析假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又()()()2226,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取xy
5、z1,可排除A、B.2(2014山东理,4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为:没有实根反证法的假设为原命题的否定3设a、b、c为一个三角形的三边,S(abc),若S22ab,试证S2aCS2a DS2a答案C解析对“0.将p两边平方,得ap2b2p,所以.因为a、b、p均为有理数,所以必为有理数,这与已知条件矛盾,故假设错误所以必为无理数点评数学中的有些命题,所给条件不足以从正面证明结论
6、正确,可采用反证法,否定结论,由此推出与已知或假设矛盾,证得结论8已知函数f(x)ax(a1)(1)证明:函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)0没有负实数根分析(1)可直接用定义证明单调性;(2)应用反证法要注意准确作出反设证明(1)任取x1,x2(1,),不妨设x10.ax2x11,且ax10,所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110,x210,所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函数f(x)在(1,)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0,则ax0.又0ax01,所以01,即x02,与假设矛盾故x00不成立,故方程f(x)0没有负实数根点评本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明,即x0,1x0时,f(x)f(0)1,故当x0时,f(x)0,所以无负实数根
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