高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;4 第2课时 向量平行的坐标表示 Word版含答案

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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第2课时向量平行的坐标表示核心必知向量平行定理与坐标表示定理语言叙述坐标表示性质定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例设a(x1，y1)，b(x2，y2)，(y10且y20)若ab，则判定定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行设a(x1，y1)，b(x2，y2)若，则ab问题思考1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则一定有，对吗？提示：不对因为若x20或y20，则不成立2设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则向量a，b的坐标一定具有什么关系？反之成立吗？提示：若ab，则一定有x1y2x2y10，反之也成

2、立即：abx1y2x2y10.讲一讲1(1)下列向量与a(1，3)共线的是()Ab(1，2)Bc(1，3)Cd(1，3) De(2，6)(2)已知(7，2)，则一定共线的三点是()AA、B、D BA、B、CCB、C、D DA、C、D尝试解答(1)法一：e(2，6)2(1，3)2a，由向量共线定理知，e与a共线故选D.法二：，由向量平行的判定定理知，ea.即e与a共线故选D.B不正确同理可判定，C、D均不正确故选A. 答案(1)D(2)A判断两个向量是否平行(共线)方法有两种：(1)利用向量共线定理进行判断，即ab(b0)ab(R)(2)利用向量平行的坐标表示进行判断，即：设a(x1，y1)，b

3、(x2，y2)，若(或)，则ab，也可直接利用x1y2x2y1是否等于0进行判断1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)法一：(2)(6)340，且(2)40，与共线且方向相反法二：2，与共线且方向相反讲一讲2(1)已知向量a(1，2)，b(1，0)，c(3，4)，若为实数，(ab)c，则()A.B.C1D2(2)已知e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，当ab时，实数_尝试解答(1)a(1，2)，b(1，0)ab(1，2)(1，0)(1，

4、2)又(a2b)c，324(1)0，得.故选B.(2)a2e1e2(2，0)(0，1)(2，1)be1e2(，0)(0，1)(，1)，ab，2(1)0，得2.答案(1)B(2)2解决此类问题的关键是正确进行坐标运算，合理使用待定系数法首先利用向量共线的条件建立方程或方程组，再解所列的方程或方程组求出参数的值练一练2. 向量a(1，2)，b(2，3)，若manb与a2b共线(其中m，nR，且n0)，则等于()A B. C2 D2解析：选Amanb(m，2m)(2n，3n)(m2n，2m3n)，a2b(1，2)(4，6)(3，8)，manb与a2b共线，8(m2n)3(2m3n)0，得.讲一讲3设

5、梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，4)，D(2，1)，且ABDC，AB2CD，求点C的坐标尝试解答ABDC，AB2CD，.设C(x，y)，则(x，y)(2,1)(x2，y1)而(3,4)(1,2)(4,2)，(4,2)2(x2，y1)，即解得点C的坐标为(4，2)向量平行的综合应用，主要体现为向量的工具性作用，解决该类问题应注意从整体上进行把握，如首先应理解并掌握向量平行(共线)的含义及其判定与性质定理，其次应明确其坐标表示而正确地进行向量的线性运算的坐标表示，也是解答此类问题的关键练一练3如图，向量(x，y)，若，试求x，y满足的关系x(y2)y(x4)0.化简得x2y0.如

6、图，已知点A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O(0，0)，试求AC与BO的交点D的坐标(22)1(2)(3)0，解得.(2，2)(，)D点的坐标为(，)错因错解在于将向量的坐标运算及两向量共线的坐标表示弄错向量的坐标应等于终点的坐标减去始点的坐标；两向量共线的坐标表示应是x1y2x2y10.3(22)(1)(2)0.解得.(2，2)(，)故D点的坐标为(，)1下列各组向量共线的是()Aa1(2，3)，b1(4，6)Ba2(2，3)，b2(3，2)Ca3(1，2)，b3(7，14)Da4(3，2)，b4(6，4)解析：选C，a3b3.2已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2

7、a3b等于()A(5，10)B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选Bab，1m2(2)0，得m4，2a3b2(1，2)3(2，4)(2，4)(6，12)(4，8)3如果向量a(k，1)，b(4，k)共线且方向相反，则k等于()A2 B2C2 D0解析：选B向量a与b共线，k24，得k2，又a与b反向，k2.4已知A(4，1)，B(1，)，C(x，)，若A、B、C共线，则x_(x1)3，解得x1.答案：15已知向量a(sin ，)，b(cos ，1)，且ab，则锐角的值是_解析：ab，.答案：6已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时，它们同向还是反向？解

8、：法一：kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)，由(k3，2k2)(10，4)得，解得k.当k时，kab与a3b平行，0，kab与a3b反向法二：由法一知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k，此时kab(3，2)(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向一、选择题1下列向量组中，能作为基底的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，7)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(，)

9、解析：选B能作为基底的向量不共线，可判定A、C、D中的两向量均共线，所以不能作为基底，对于B，由于，所以e1，e2不共线，故选B.2若平面向量a(1，x)和b(2x3，x)互相平行，其中xR，则|ab|()A2 B2或2C2或0 D2或10解析：选B由ab得xx(2x3)0，x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，ab(2，0)，|ab|2；当x2时，a(1，2)，b(1，2)，ab(2，4)，|ab|2.3已知向量a(2，3)，b(1，2)，若mab与a2b平行，则实数m等于()A. BC2 D2解析：选Bmab(2m1，3m2)，a2b(4，1)，若mab与a2b平行，则3m2，

10、即2m112m8，解之得m.4已知向量(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 BkCk1 Dk1解析：选C若A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线(k1)2k0，得k1.二、填空题5已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_解析：因为a2b(，3)，由a2b与c共线，有，可得k1.答案：16若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则等于_解析：(2，b2)A，B，C三点共线，(a2)(b2)40.整理得.答案：7已知a(3，2)，b(2，1)，若ab与ab(R)平行，则_解析：ab(3，2)(

11、2，1)(32，21)ab(3，2)(2，1)(32，2)(ab)(ab)(32)(2)(21)(32)0.解得，1.答案：18已知向量a(1，1)，b，x(0，)，若ab，则x的值是_解析：ab，a(1，1)，b，sin x.又x(0，)，x或.答案：或三、解答题9如果向量i2j，imj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线解：法一：A、B、C三点共线，即、共线存在实数，使得.即i2j(imj)于是m2.即m2时，A、B、C三点共线法二：依题意知i(1,0)，j(0,1)则(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)而、共线，1m1(2)0.m2，当m2时，A、B、C三点共线10已知向量：a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求3ab2c；(2)求满足ambnc的实数m和n；(3)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)3ab2c3(3，2)(1，2)2(4，1)(9，6)(1，2)(8，2)(918，622)(0，6)(2)ambnc，m，nR，(3，2)m(1，2)n(4，1)(m4n，2mn)解得m，n.(3)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，又(akc)(2ba)，(34k)2(5)(2k)0.k.