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1、椭圆知识点知识点1】椭圆的概念：在平面内到两定点 Fi、F2的距离的和等于常数 伏于IF1F2I)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点 焦点间的距离叫做焦距.当动点设为M时，椭圆即为点集P =| MF1 -|MF2 =2a?注意：若(p& | PF2 |= FF2 ),则动点P的轨迹为线段F1 F2;若(PFi |+|PF2 |c|FiF2 ),则动点P的轨迹无图形。知识点2】椭圆的标准方程2 2焦点在x轴上椭圆的标准方程：冷占=1 ab .0 ,焦点坐标为(c, 0), (-c, 0)a b22焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：二芈=1 a b 0焦点坐标为(0, c,) (0, - c)
2、b a知识点3】椭圆的几何性质：标准方程2 2二宅 T (ab0) a b2 2召吟T 2沁0)图形y1J畀丿，X 卞I性质范围a乞x兰ab兰y兰b对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0, - b), B2(0, b)A1 (0, a) , A2(0, a)B1( b,0) , B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为空焦距1 F1F2 |=2c离心率e=- 備aa, b, c的关系c2 = a2- b2规律:(1) 椭圆焦点位置与乂 , y2系数间的关.系：焦点在分母大的那个轴上(2) 椭圆上任意一点M 一到焦点F .的所有距离中，长
3、轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离 为a+ c,最小距离为 a c.c c2(3) 在椭圆中，离心率e2a V a(4) 椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就接近于圆离心率公式：在 F1PF2中，/PF1F =:,PF2F1 二 1 ,e _ sin(a + P ) sin a +sin P二、椭圆其他结论若Po(xo, yo)在椭圆2 2笃每=1 上,则过F0的椭圆的切线方程是a bxoxyoy,-b2 -若已知切线斜率K,切线方程为y = kx二a2k2b2若Po(xo, yo)在椭圆2 2笃每=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为a bPi、P2,则切
4、点弦Pi P2的直线方程b2椭圆(a b 0)的左右焦点分别为Fi, F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2二,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF24、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，2b2通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短旦-a6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M , A2Pxxyoy2n Ia和A1Q交于点N ,则MF丄NF。*22匕27、AB是椭圆 务- =1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y)为AB的中点，则 匕 煤 二-二,aba即Kabb x2a y。8、若Po(x,y
5、o)在椭圆2 .2 a b2 2x ya b9、若Po(xo, yo)在椭圆2 x2y =1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 今.辿旦 竺a=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b2a2 b2x)xyy_ a2 b210、若P为短轴顶点，知识点4】椭圆中的焦点三角形：I F1F2 I = 2c定 义:I PF1 I + I PF2 I = 2a余弦定理：I Fi F2 I 2= I PFi I 2+ I PF2 I 2-2 I PFi I I PF2 I cos 0( /F1PF2二 0)2 2点P是椭圆上任意一点，面积公式：在椭圆 笃告=1 ( a b 0)中，焦点分别为F1、a2b2时2，
6、则S *二明2知识点5】点(X0,y)与椭圆务-a2-y2 =1(ab0)的位置关系： b2y。22点P在椭圆内部=智a b：1点P在椭圆外部 2 2 2=(m k n)x 2kbnx b -1=0 =1知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：一y = kx b 直线斜率存在时22、mx +ny直线与椭圆相交=:0直线与椭圆相切=0直线与椭圆相离=0，b)y2 x2芦了 = 1(a0 , b0)图形幷性质范围xa 或 xwa, y Rx R, ywa 或 y a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1( a,0), A2(a,0)A1 (0, a), A2(0, a)渐近线by=_xaay =
7、x b离心率e =, e (1 ,+s)其中 c=/a2+ b2ay实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|= 2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|= 2b ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2= a2 + b2(c a 0, c b 0)规律:1双曲线为等轴双曲线 ？双曲线的离心率 e=“ .：2?双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）.2.区分双.曲线中的.a，b ，c大小关系与椭圆一a，b，c关系.，在椭圆中. a2 = b2+c2,而在双曲线中c2=. a2 土 b2.（2）双.曲线的离心率大于一.i,而椭圆的离心率一
8、 e. .（0,1）.在双曲线中双曲线的离心率 e越大开口越阔.知识点4】双曲线中的焦点三角形：余弦定理:I F1F2 I 2= I PFi I 2+ I PF2 I 2-2 I PFi I I PF2 I cos 0( /F1PF2二 0)2 2面积公式：在双曲线 笃爲=1( a b 0)中，焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上任意一点 a bF1PF2 ,S ?1PF2 则b2etan 2知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：2 2设直线丨：y =kx - m(m = 0)，双曲线笃-爲=1(a 0, b 0)联立解得a b八 22,2、 22 ,2 22, 2小(b -a k )x -
9、2a mkx-a m -a b 022 2b(1 )若b -a k =0即k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点ab(2)若 b - a k =0 即 k 时，：-(-2a mk) -4(b - a k )(-a m - a b ) a 厶 0 =直线与双曲线相交，有两个交点； 二=0 =直线与双曲线相切，有一个交点； 二-: 0 =直线与双曲线相离，无交点；知识点6】弦长公式:AB I =、1 k2 |为x2 |= . 1 k2 p (x-! x2)24% x2/T1仏AB=1+芦- J1 二 2 | |V kY k |a|(其中k为直线斜率)知识点7】中点弦问题(点差法)：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。点P在椭圆上二x2卡
椭圆双曲线知识点总结
