第7章多项式环

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1、第 7章 多项式环 1 一元多项式环观察下列表达式有什么不同之处：x3x21,其中 x 是一个符号；（1）2i 3i 21 ,其中 i=1 ；（2）2A3A21 I ,其中 A10 。（3）201由 i 2 = 1 及 A2I ，从（ 2）、（3）式分别得出i3i 21i1 ,（4）22A3A21 IA3 I .（5）22（ 4）的左右两边相等，但所含有的关于 i 的项却不相同；同样（ 5）的左右两边相等，但所含有的关于 A 的项却不相同。对于x3x212 ，当 x 是一个符号时，只能是x3x21x3x2122 ，即相等的两个表达式含有相同的项，此时称x3x212 为一个多项式，而i 3i 2

2、1 ,A3A2 1 I 都不能称为多项式。221. 多项式的定义设 K 是一个数域， x 是一个不属于 K 的符号（也称 x 为不定元）。任意给定一个非负整数n, 在 K 中任意取定 a0 , a1,K , an K ，称表达式an xnan 1 xn 1 L a1 x a0（6）为数域 K 上的一个一元多项式， 其中 ai xi称为 i 次项，常数项 a0 也称为零次项。两个一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数对应相等。系数全为零的多项式称为零多项式，记为0(00xn0xn 1L 0x0) 。2. 多项式的次数：用 f (x) 表示（ 6）式中的多项式。如果 an 0 ，则称 an xn

3、 为多项式 f (x) 的首项，称 n 为 f (x) 的次数，记为deg f (x)deg fn.亦即，一元多项式的次数就是系数不为零的项的最高次数。当首项系数an1时，也称 f (x) 为首一多项式（补充） 。零多项式的次数规定为，即 deg0；非零常数是零次多项式，次数为零。约定：n,()(),()n.3. 多项式的运算记数域 K 上的所有一元多项式组成的集合为nmK x 。在 K x 中任取 f ( x)ai xi ，g ( x)bi xi ，i0i 0不妨设 nm ，则nf (x) g( x)(ai bi ) xi ,其中 im 时， bi 0i0n maibj )xs ,f ( x

4、)g( x)(s 0i j s称 f (x)g ( x) 是 f ( x) 与 g ( x) 的和与差，称 f (x) g(x) 是 f ( x) 与多项式的加法与乘法满足下列运算法则：f , g, h（ 7）（ 8）g( x) 的积。K x ，有1加法交换律：fggf ；2加法结合律： ( f g) hf( g h) ；3加法有零元： 0f f0；4加法有负元：设n，定义 f (x)nf ( x)aixi( ai ) xi ，称 f (x) 为i 0i 0f ( x) 的负元，它满足f(f )(f )f0.5乘法交换律：fggf ；6乘法结合律： ( fg )hf (gh) ；7乘法有零单位

5、元1： 1 ff 1f ；8乘法对加法满足左、右分配律：f ( gh)fgfh ；( gh) fgfhf 。注意 试比较整数的加法与乘法、矩阵的加法与乘法，和多项式的加法与乘法的相似之处。又再比较它们和向量的运算之间的差别。命题 1（次数定理）任给 f ( x), g( x)K x ，都有deg( fg) maxdeg f ,deg g ；（10）deg( fg )deg fdeg g.（11）9乘法消去律：（ 1）由 fg0f0 或 g0 ；等价于由 f0, g0fg0.（ 2）由 fgfh 且 f0gh.证明：（ 1）由 fg0 有 deg( fg )deg0 ，即 deg fdeg g。

6、由n,() (),( )n.这只能是deg f或 deg g，即 f 0 或 g 0 。（2） fgfhf (g h) 0 。由（ 1）当 f 0 时可推出 g h0 ，即 g h 。4. 环的定义 设 R 是一个非空集合，如果它有两个代数运算，一个叫做加法，记作 a b ，另一个叫做乘法，记作 ab ；并且这两个运算满足下面 6 条运算法则： a, b,c R ，有1加法交换律：2加法结合律：abba ；( ab)ca(bc) ；3加法有零元：存在 0 R，使得 0 a a 0；4加法有负元：对于 a ， R 中有元素 d ，使得 ad0 ，称 d 是 a 的负元，记作 da ，从而有 a(

7、 a)0；5乘法结合律： ( ab)c a(bc) ；6乘法对加法满足分配律：a(bc)abac ；(bc) abaca 。则称 R 是一个环。最典型的环有：整数集合 Z 、全体一元多项式的集合 K x 和全体 n 阶方阵的集合 M n (K ) ，分别称为整数环、一元多项式环和全阵环。子环：环 R的一个子集如果也构成一个环，则称它为 R 的一个子环。子环的判定定理： 环 R 的一个非空子集 R1 成为一个子环的充分必要条件是， R1 对于 R 的减法与乘法都封闭，即a, bR1abR1 , abR1 。给定 A M n ( K )aAmam 1Am 1 L a A a I为A的一个多项式，称

8、 m10它是由多项式 am xmam 1xm 1La1xa0 将 x 换成 A 得到的。A 的多项式全体记为KA，即K A am Am am 1 Am 1L a1Aa0 I m N, ai K ,i 0,1,K ,m 。不难验证 K A 满足环定义中的6 条，因而 K A 是一个环，且是 M n (K ) 的子环。5.K x 的“通用性质”“通用性质”不要求详细掌握，只要求了解，具体含义见教材第 7 页中间一段的文字解释：设 R 是一个有单位元的交换环，则 K x 中所有通过加（减）法和乘法表示的关系式，在不定元x 用 R中的任何一个元素 t 代人后仍然保持成立。分别取 RK x 和 RK A

9、 ，举例说明。例 1令 A设 B是数域IkB ， kK 上的 n 阶幂零矩阵，其幂零指数为K.证明 A 可逆，并且求 A 1 。l. 2整除性与带余除法1. 整除的定义设 f (x), g( x)K x ，如果存在 h( x)K x ，使得 f (x)h( x) g( x)K x ，则称 g( x) 整除 f (x) ，记作 g(x) | f (x) ；否则，称 g(x) 不能整除 f (x) ，记作因式与倍式：当g( x) 整除 f ( x) 时，称 g( x) 为 f (x) 的因式，称f (x) 为 g( x) 的倍式。注：1 0 | f ( x) 当且仅当 f ( x)0 ，即只有 0

10、 |0 ，当 f (x)0 时， 0 不整除 f ( x) ；2f ( x) K x ，都有 f ( x) |0 ；3 b K , b 0 ， f ( x) K x ，都有 b | f ( x) 。用 K * 表示 K 中全体非零常数组成的集合。2. 多项式的相伴：在 K x 中， 如果同时有 f ( x) | g(x) ，g(x) | f ( x) 成立，则称f ( x) 与 g( x) 相伴，记作f ( x) g( x) 。命题 1在 K x 中， f (x) g( x) 当且仅当存在 c K * ，使得f (x) cg( x).命题 2在 K x 中，如果 g( x) | fi ( x)

11、, i1,2,K , s ，则对于任意ui ( x) K x, i 1,2,K , s ，有g( x) |(u1( x) f1( x) u2 ( x) f 2 (x) Lus ( x) f s ( x).3. 带余除法：当 g ( x) 不能整除 f ( x) 时，有定理 3（带余除法定理）对于 K x 中的任意两个多项式f (x)与 g(x) ，其中 g( x)0 ，在 K x 中都存在唯一的一对多项式h( x) 与 r ( x) ，使得f (x) h( x) g( x) r (x) ，其中 deg r ( x) deg g( x).（3）（3）式中的 h( x) 称为 g( x) 除 f

12、( x) （或 f ( x) 被 g(x) 除）的商式， r ( x) 称为 g( x) 除 f ( x) 的余式。证明分存在性和唯一性两部分证明。（1）存在性记 deg g (x)m,deg f (x)n.注意 g( x)0 有 m 0.1 当 m0时， g( x)b,bK * 。取 h(x)1f (x) ， r ( x)0 ，有bf ( x)1 f ( x) g (x)0 ， deg0deg g(x) 0.b定理成立。2 当 m0 ，且 deg f ( x)nmdeg g(x) 时。取 h(x) 0 ， r ( x) f (x) ，f ( x)0 g (x) f ( x) ， deg f

13、( x)ndegg( x)m.定理成立。3 当 m 0 ，且 deg f ( x) n m 时。对 n 作数学归纳法。假设对次数小于 n 的多项式，命题的存在性部分成立。现在看次数为 n 的多项式 f (x) 。采用“首项消去法” 。设 f (x) ， g( x) 的首项分别是 an xn ,bmxm 。于是 anbm1 xn m g (x) 的首项是an xn （与 f ( x) 的首项相同）。令f1 ( x) f ( x) anbm1xn m g(x) ，（4）则 deg f1 (x)n. 根据归纳假设，存在h1( x), r1 ( x)K x ，使得f1 (x)h1 (x) g( x)

14、r1( x) ，且 deg r1 (x) deg g( x).(5)将（ 5）式代入 (4) 式，得f (x) f1 ( x) anbm1 xn m g (x)h1 (x) anbm1xn m g( x) r1( x).（6）令 h( x)h1 (x)anbm1xn m ， r (x)r1 (x) ，则f (x) h(x) g (x) r (x) ，且 deg r ( x) deg g( x).（ 7）根据数学归纳法原理，定理3 的存在性部分得证。（2）唯一性。 设 h( x), r ( x), h ( x), r ( x)K x ，使得f (x) h( x)g (x) r (x) ，且 de

15、gr (x)deg g( x).（8）f (x) h ( x) g( x)r ( x) ，且 degr ( x)deg g( x).（9）从（ 8），（9）得 h( x)h (x) g( x) r ( x)r ( x).（10）于是由次数定理有degh( x) h ( x)deg g( x)degr ( x)maxdeg r (x),deg r ( x)deg g( x).从而 degh( x) h ( x) 0， 只能 deg(h( x) h ( x)r ( x)（11），于是h( x)h (x)0 ，即 h( x)h ( x).从而又有 r ( x)r ( x).唯一性得证。定理 3（带余

16、除法定理） 对于 K x 中的任意两个多项式 f (x) 与 g ( x) ，其中 g ( x) 0 ，在 K x 中存在唯一的一对多项式 h( x), r (x) ，使得f ( x) h( x)g (x) r (x) ，且 deg r ( x) deg g( x).（ 3）（ 3）式中的 h( x) 称为 g( x) 除 f (x) （或 f ( x) 被 g (x) 除）的商式， r (x) 称为 g( x) 除 f ( x) 的余式。例 1 用 g ( x) 除 f (x) ，求商式和余式，其中f (x)2x33x25 ，g( x)x22x1。推论 4设 f ( x), g( x)K x

17、 ，且 g( x)0 ，则g( x) | f ( x) 当且仅当 g(x) 除 f ( x) 的余式为零。注意：推论 4 给出了判断两个多项式是否整除的方法，即用带余除法，只要余式为零，则它们整除，否则，不整除。4. 综合除法： 当除式 g( x) 是一次多项式 x a 的形式时，带余除法可以简化为所谓的“综合除法” 。它主要的简化步骤是：将带余除法中含有不定元 x 的运算过程，简化为只需用 f ( x) 的系数和 a 进行运算的过程。例2设 f ( x)2x46x33x22x5,g( x)x2 ，求 g( x) 除 f ( x) 的商式和余式。本节最后，设 f ( x), g( x) K x

18、 , F 是一个包含数域 K 的数域（称 F 是 K 的扩域，如复数域 C 实数域 R 有理数域 Q ）。此时， f ( x) 和 g(x) 也可以看做是 F x 中的多项式。问： f ( x) 与 g( x) 在 K x 中做带余除法的商和余式，和 f ( x) 与 g(x) 在 F x 中做带余除法的商和余式是否相同？答案是肯定的：即商和余式是相同、不变的。理由如下：设在K x 中做带余除法的结果如下f (x) h( x) g( x) r ( x) ，且 degr ( x) deg g ( x).（3）其中 f ( x), g ( x), h( x), r ( x)K x ， h(x) 为

19、商式， r ( x) 为余式。由于 FK ，因此f ( x), g(x), h( x), r ( x) 也可以看做 F x 中的多项式，因而（ 3）式也可以看做是在 F x 中进行的。但是，由带余除法定理，满足（ 3）式的 h( x) 和 r (x) 是唯一的。因此，无论在 K x中还是在 F x 中， g( x) 除 f (x) 的商式和余式都是 h(x) 和 r (x) 。即“带余除法的结果不因数域的扩大而改变。 ”由于g ( x) | f ( x) 当且仅当 g( x) 除 f (x) 的余式为零。由此又可得命题 5设 f ( x), g( x)K x ，数域 FK ，则在 K x 中，

20、 g(x) | f ( x)在 F x 中， g( x) | f ( x) 。即“多项式的整除性不因数域的扩大而改变。”3最大公因式在整数中， 2，3，6 都是 12 与 18 的公因数，其中 6 是最大公因数，记为（ 12，18）=6. 其它公因数 2，3 与最大公因数 6 之间满足关系： 2| 6, 3 | 6 ，即一般的公因数总是最大公因数的因数。可见，这里的“最大”不是指数的大小，而是按整除关系来比较。另外6 还可以写成12 与 18 的组合形式： 6=-112+118.在多项式的运算中，也有类似这样的现象。1. 公因式：在 K x 中，如果 c(x) 既是 f ( x) 的因式，又是

21、 g( x) 的因式，则称 c( x) 是 f ( x) 与 g (x) 的公因式。2. 最大公因式：如果 d (x) 同时满足两个条件 d ( x) 是 f ( x) 与 g( x) 的一个公因式； 对于 f ( x) 与 g(x) 的任何一个公因式 c( x) ，都有 c( x) | d ( x) ，则称 d (x) 是 f (x) 与 g( x) 的一个最大公因式。注意：两个多项式的最大公因式不是唯一的。因为如果 d (x) 是 f ( x) 与 g(x) 的一个最大公因式，则 d ( x) 乘以任何一个非零常数后也是最大公因式。特殊情形： 0 与 0 的最大公因式只能是0；f ( x)

22、 是 f (x) 与 0 的一个最大公因式。3. 最大公因式的性质命题 1 设 f ( x), g( x), p(x), q( x)K x ，如果 f ( x) 与 g(x) 的所有公因式组成的集合（记为 A ）等于 p( x) 与 q( x) 的所有公因式组成的集合（记为 B ）， 则 f ( x) 与 g( x) 的最大公因式的集合（记为 C ）等于 p(x) 与 q(x) 的最大公因式的集合（记为 D）。 即相当于由 A B推出 C D 。证明 见附页推论 2 设 f ( x), g( x)K x ， a,b 是 K 中非零常数，则 f ( x)与 g(x) 的最大公因式的集合等于af

23、( x) 与 bg( x) 的最大公因式的集合。引理 1在 K x 中，如果有等式f (x)h( x) g( x) r (x) ，（这里不要求 degr ( x)deg g( x) ），则 f ( x) 与 g( x) 的最大公因式的集合等于g( x) 与 r (x) 的最大公因式的集合。f ( x) 与4. 最大公因式的存在性及求法定理 3对于 K x 中的任意两个多项式f (x) 与 g( x) ，都存在它们的一个最大公因式d( x) ，并且 d (x) 可以表示成f (x)与g(x)的一个组合，即有K x中的多项式u(x)与v(x)，使得d(x)u(x) f (x)v(x)g( x).（

24、2）证明 见附页两个给定多项式的最大公因式不是唯一的，但由最大公因式的定义，两个最大公因式一定是相伴的，于是任何两个最大公因式之间只差一个非零常数倍。约定：g( x) 的首项系数为1 的最大公因式记为 ( f ( x), g (x) ，它是由f ( x) 和 g(x) 唯一决定的。例 1设f ( x) x3x2 7 x 2 ，g (x) 3x25x 2求 ( f (x), g( x) ，并且把它表示成f ( x) 与 g( x) 的组合。例 2设f ( x) x43x3x24x 3， g(x)3x3 10x22x 3求 ( f (x), g( x) ，并且把它表示成 f ( x)与 g( x)

25、 的组合。5. 多项式的互素： K x 中两个多项式 f (x) ， g( x) ，如果( f ( x), g( x)1，则称 f ( x) 与 g( x) 互素。如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式。定理 4（互素的判定定理）K x 中两个多项式 f ( x) 与 g( x)互素的充分必要条件是，存在K x 中的多项式 u(x) ， v( x) ，使得u ( x ) f ( x ) v ( x ) g ( x)1.（ 3）互素的性质定理性质 1在 K x 中，如果 f ( x) | g(x) h(x) ，且 ( f ( x), g( x)1，则 f (x) | h(

26、x) 。性质 2在 K x 中，如果 f ( x) | h(x) ， g( x) | h(x) ，且 ( f (x), g( x)1 ，则 f ( x) g(x) | h( x) 。性质 3在 K x 中，如果 ( f ( x), h(x)1 ， ( g ( x), h( x)1，则 ( f ( x)g( x), h(x) 1.6. 多个多项式的最大公因式与互素定义在 K x 中，如果多项式 c(x) 能整除多项式f1 ( x), f 2 ( x),K , f n ( x) 中的每一个，那么c(x) 叫做这 n 个多项式的一个公因式。设d ( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x),K

27、, f n (x) 的一个公因式，且 d( x) 具有性质： f1 (x), f 2 (x),K , f n (x) 的每一个公因式都是 d ( x)的因式，则称d( x) 为 f1 (x), f 2 ( x),K , f n (x) 的一个最大公因式。n 个多项式 f1 ( x), f 2 (x),K , f n ( x) 的最大公因式一定存在，且在相伴意义下是唯一的，用 ( f1 ( x), f2 ( x),K , f n ( x) 表示首项系数为 1 的那个最大公因式。求法如下：( f1(x), f2 (x), f3(x)( f1(x), f2(x), f3(x).( f1(x), f2

28、(x),K , fn 1(x), fn(x)( f1(x), f2(x),K , fn 1(x), fn (x).当 ( f1 (x), f2 ( x), K , f n ( x)1 时，称 f1 ( x), f2 ( x),K , fn ( x) 互素（ n 个多项式互素）。注意： n 个多项式互素与两两互素不同。两两互素一定n 个多项式互素，但 n 个多项式互素不一定两两互素。例如，设f1 ( x)x1 ， f2 (x)x23x2(x1)(x2) ， f 3 ( x)x1.则 f1 (x), f2 (x), f3 (x) 互素，但 f1 (x) 与 f 2 ( x) 不互素。前面有“带余除

29、法的结果不因数域的扩大而改变。 ” “多项式的整除性不因数域的扩大而改变。 ”由于最大公因式可由多次带余除法（辗转相除法）得到，而互素又是最大公因式为 1 的特殊情况，所以有：命题 5两个（及 n 个）多项式的首项系数为 1 的最大公因式以及多项式的互素性不因数域的扩大而改变。但要注意， f (x) 与 g(x) 的普通公因式通常是随域的扩大而改变的。例如f ( x)x21 ，g ( x)x3x2x1( x21)(x1) ，在实数域中的公因式是x21，而在复数域中的公因式是xi和 xi ，在两种数域中的公因式各不一样。但无论是在实数域中还是在复数域中，f ( x)与g(x)的最大公因式都是x2

30、1，不随域的扩大而改变。本节总结公因式：最大公因式：不唯一；相伴； ( f ( x), g( x) 表示首项系数为 1 的那个最大公因式（唯一） ；可用带余除法求最大公因式。互素： ( f ( x), g( x) 1 ；互素的判定定理： f ( x) 与 g( x) 互素的充分必要条件是， 存在 u( x) ，v( x) ，使得u( x) f (x)v(x)g( x)1.互素的性质定理性质 1在 K x 中，如果 f ( x) | g(x) h(x) ，且 ( f ( x), g( x)1，则 f (x) | h( x) 。性质 2在 K x 中，如果 f ( x) | h(x) ， g( x

31、) | h(x) ，且 ( f (x), g( x)1 ，则 f ( x) g(x) | h( x) 。性质 3在 K x 中，如果 ( f ( x), h(x)1， ( g( x), h( x)1，则( f ( x)g( x), h( x)1.两两互素一定 n 个多项式互素，但 n 个多项式互素不一定两两互素。“带余除法的结果不因数域的扩大而改变。 ” “多项式的整除性不因数域的扩大而改变。 ” “多项式的首项系数为 1 的最大公因式不因数域的扩大而改变。” 但普通公因式随域的扩大而改变。“互素性不因数域的扩大而改变。 ” 4 不可约多项式，唯一因式分解定理不可约多项式类似于整数中的素数（或

32、质数）1不可约多项式的定义 K x 中一个次数大于零的多项式 p( x) ，如果它在 K x 中的因式只有零次多项式和 p( x) 的相伴元，则称 p( x) 是数域 K 上的一个不可约多项式；否则称 p( x) 是可约多项式。2. 不可约多项式的性质性质 1 K x 中不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f ( x) 的关系只有两种：或者 p(x) | f (x) ，或者 p( x) 与 f ( x) 互素。（与素数的性质类似）性质 2K x 中，如果p( x) 不可约，且p( x) | f ( x) g (x) ，则或者 p( x) | f (x) ，或者 p( x) | g(x) 。（

33、与素数的性质类似）性质 3 K x 中， p( x) 不可约当且仅当 p( x) 不能分解成两个次数较 p( x) 的次数低的多项式的乘积。（与素数的性质类似）推论： K x 中的每个1 次多项式一定是不可约多项式。3. 唯一因式分解定理： K x 中每个次数大于零的多项式f (x) 都能唯一地分解成数域K 上有限多个不可约多项式的乘积。唯一性是指除了因式的先后顺序外，因式分解的结果只有一个。（类似于任何整数都能分解成有限多个素数的乘积）如：7222233由唯一因式分解定理， K x 中的任何一个多项式 f (x) 都可以分解成如下形式f (x) cp1r1 (x) p2r2 (x) L pm

34、rm ( x) ，（7）其中 c 是 f ( x) 的首项系数，p1( x), p2 ( x),L , pm ( x) 是不同的首项系数为 1 的不可约多项式， r1, r2 ,L , rm 是正整数。（7）式称为 f (x) 的标准分解式。由于 K x 中的任何一个多项式都有形如（ 7）的分解形式，因此我们可以用这种分解式来解题，特别是证明题。例如，要求 f ( x) 与 g ( x) 的最大公因式，可以设f (x) ap1k1 ( x)L plkl( x) plkl 11 ( x)L pmkm ( x) ，g( x) bp1t1 ( x) L pltl ( x)qltl11 (x) L q

35、sts ( x) ，则( f ( x), g ( x) p1min k1,t1 (x) L plmin kl , tl ( x).这就是因式分解的理论意义：即可以用因式分解求两个多项式的最大公因式。但这种求法的实际意义并不大，原因是：没有一个统一的方法去求一个多项式的所有不可约因式（见教材） 。而求最大公因式真正通用而且用有效的方法还是前面已有的辗转相除法。本节虽然给出了不可约多项式的定义及性质，但实际上并没有给出一个判断任何一个多项式是否可约的通用方法。但对于次数比较低的多项式（5 次以下），可以用反证法来判断。例 1证明 x22 在有理数域上不可约。f ( x)cp1r1 ( x) p2r

36、2 ( x) Lpmrm (x) 5 重因式1. 重因式的定义：在 K x 中，不可约多项式 p(x) 称为多项式f (x) 的 k 重因式，如果pk (x) | f ( x) ，但 pk 1( x) 不整除f ( x) 。当 k 1 时，p( x) 称为 f ( x) 的单因式，即 p( x) | f ( x) ，但 p2 ( x) 不整除 f (x) ；当 k 1 时， p( x) 统称为 f ( x) 的重因式。例如，设实数域上的多项式f (x)(x1)( x1)2 ( x21)3 ，则 x1是单因式， x1是 2 重因式， x21是 3 重因式 .由定义，如果f ( x) 的标准分解式

37、为f ( x)cp1r1 ( x) p2r2 ( x)Lpmrm ( x) ，则 pi ( x) 是 f (x) 的 r i 重因式。其中指数 ri 1 的那些不可约因式是单因式，指数 ri 1的那些不可约因式是重因式。2. 如何判断 f ( x) 有无重因式由于没有一般的方法求一个多项式的标准分解式，因此，必须寻找别的方法来判断一个多项式有没有重因式。这里采用最大公因式的方法。由于最大公因式需要两个多项式，因此引入 f ( x) 的导数 f ( x) 。设f (x)an xnan 1 xn 1La1 xa0 ，定义f ( x)nan xn 1( n1)an 1 xn 2La1 ，与数学分析中

38、的导数定义一样。定理 1在 K x 中，如果不可约多项式p( x) 是 f ( x) 的一个k （ k 1 ）重因式，则 p(x) 是 f ( x) 的一个 k 1重因式。特别， f ( x) 的单因式不是 f ( x) 的因式。证明推论 2在 K x 中，不可约多项式p(x) 是 f ( x) 的重因式的f ( x)充分必要条件为：p( x) 是 f ( x) 与 f ( x) 的公因式。证明推论 3 f (x) 有重因式的充分必要条件是： f (x) 与 f (x) 有次数大于零的公因式，即 f ( x) 与 f ( x) 不互素。定理 3f (x) 没有重因式的充分必要条件是：f (x)

39、 与 f ( x)互素。定理 3 表明，判断一个多项式有没有重因式，只要计算 ( f ( x), f (x) 。而求最大公因式有统一的方法：辗转相除法，所以有统一的方法辗转相除法判断一个多项式有没有重因式。例 1判断 f ( x)x33x24 在有理数域中有无重因式。例 2证明： Q (x) 中的多项式x 2xnf ( x) 1 xL2!n !没有重因式。由于多项式的互素性不因数域的扩大而改变，因此有命题 4一个多项式有无重因式不因数域的扩大而改变。前面指出，求一个给定多项式的不可约因式分解是一个很难的问题，特别是当多项式的次数很高时。如果能够降低多项式的次数且不改变它的不可约因式，则能大大降

40、低分解因式的难度。这里给出一种方法：3. 去掉不可约因式重数的方法设 f ( x) 的标准分解式为rrrf ( x)cp11 ( x) p22 ( x)Lpmm ( x) ，根据定理 1 得r11r21rm 1( x)h( x) ，f ( x) p1( x) p2( x)L pm其中 h( x) 不能被任何 pi( x) 整除， i1,2,K , m. 于是( f ( x), f ( x)p1r11 ( x) p2r21 ( x) Lpmrm 1 ( x).因此用 ( f (x), f ( x) 去除 f ( x) 所得的商是cp1 (x) p2 ( x)L pm ( x) ，把它记作 g(

41、x) ，即g ( x)f (x)cp1 (x) p2 (x) Lpm (x) 。( x)( f ( x), f此时， g( x) 与 f ( x) 有完全相同的不可约因式（不计重数） ， g( x) 的次数比 f ( x) 的次数要低且没有重因式。通过求 g(x) 的因式分解即能得到 f ( x) 的因式分解，步骤如下：（ 1）先求 f (x) ；（ 2）求最大公因式 ( f (x), f (x) ；（ 3）用带余除法求 ( f (x), f (x) 除 f ( x) 的因式即得 g(x) ；（ 4）求出 g( x) 的全部不可约因式 pi ( x) ，它们也就是 f ( x) 的全部不可约因

42、式（不计重数） ；（4）对每一个不可约因式pi ( x) ，用 pi ( x) 反复去除f ( x) 即得 pi ( x) 是 f ( x) 的几重因式。例 3设f ( x) x53x42x32x23x 1，在 Q x 中求一个没有重因式的多项式g(x) ，使它与 f (x) 有完全相同的不可约因式（不计重数） ，然后求 f (x) 的标准分解式。总结：定理 3f (x) 没有重因式的充分必要条件是：f ( x) 与 f (x) 互素。命题 4一个多项式有无重因式不因数域的扩大而改变。 6多项式的根，复数域上的不可约因式前面： K x 中每个次数大于零的多项式都能唯一分解成 K x 上不可约因

43、式的乘积，由此看出不可约因式起着非常重要的作用。而且知道， K x 中的每个一次多项式都是不可约的，于是需要进一步研究的是， K x 中有没有次数大于 1 的不可约多项式。显然，如果 p(x) 是次数大于 1 的不可约多项式， 则 p(x) 没有一次因式。由此，首先要研究 K x 中的一个多项式有一次因式的充分必要条件。1. 余数定理：在 K x 中，用 xa 去除 f ( x) 的余式是 f ( a) 。证明推论 2在 K x 中， xa 整除 f ( x) 当且仅当 f (a)0 。注：由余数定理不仅知道，用 x a 去除 f ( x)的余式是 f (a) ，而且由前面的知识，还可以用综合

44、除法求f (a) 。例 1设 f ( x)x56x411x32x212x8Q x ，求 f (2)。受推论 2 中出现 f (a)0 的启发，引出多项式的根的概念。2. 多项式的根：设 K 是一个数域， R 是一个包含 K 的有单位元的交换环，f ( x)K x ， cR ，如果 f (c)0 ，则称 c 是f ( x) 在 R 中的一个根。f (x) 在复数域中的根称为复根，在实数域中的根称为实根，在有理数域中的根称为有理根。有时候实系数多项式除了在实数域中求它的根外，还需要在复数范围内求根；同样，有理系数多项式除了求有理根外，还需要在实数、复数范围内求根，这就是根的定义中为什么要求 R包含

45、 K的原因。由推论 2：在 K x 中， xa 整除 f ( x) 当且仅当 f(a) 0 ；及根的定义： f ( x) K x ， aR ，如果 f (a) 0，则称 a 是f ( x) 在 R 中的一个根。有定理 3 在 K x 中， x a 整除 f (x) 当且仅当 a 是 f ( x) 在 K 中的一个根。即多项式 f ( x) 在 K x 中有一次因式的充分必要条件是 f (x) 在 K 中有根。 一个一次因式恰好对应一个根。由于一次因式有重数概念，于是有3. 根的重数：如果 x a 是 f (x) 的 k 重因式，则 a K 称为 f (x) 的一个 k 重根。当 k 1 时，

46、a 称为单根；当 k 1 时， a 称为重根（不考虑具体重数） 。注：由重因式的定义，有a 是 f ( x) 的 k 重根x a 是f (x) 的 k 重因式；(x a)k| f (x) ， (x a)k 1 不整除 f ( x) ；(x a) | f ( x),( xa) | f ( x),L ,( x a) | f ( k 1) ( x),但( x a) 不整除 f (k ) ( x) ；f (a)f ( a) Lf ( k 1) ( a) 0, 但 f ( k) (a)0.以上过程可以用综合除法去实现。例 2 设f ( x) x56x411x32x2 12 x 8 ，判断 a2 是 f

47、( x) 的几重根？由一次因式与根的关系：一个一次因式恰好对应一个根，得 f ( x) 在 K 中的根的个数（重根按重数计算） ，等于 f ( x) 的因式分解中一次因式的个数（重因式按重数计算） ，这个数目不会超过 f ( x) 的次数。于是有定理 4K x 中的 n 次多项式在K 中至多有 n 个根（重根按重数计算）。推论 5设 K x 中两个多项式 f (x) 与 g( x) 的次数都不超过 n 。如果 K 中有 n 1个不同元素 a1 , a2 ,L , an 1 ，使得 f (ai )g(ai ) ，i 1,2,K , n 1，则 f (x) g( x) 。证明3. 多项式函数前面提

48、到的多项式中的x 只是一个符号或不定元，如果让 x 取数域 K 中的数，则得到多项式函数。设 f ( x) K x ，对于 K 中的每一个数 a ， x 用 a 代入得 f (a) K .于是 K x 的一个多项式 f ( x) 确定了 K 到 K 的一个映射即 K 上的一个函数，称为由多项式 f ( x) 确定的多项式函数，用f 表示，即f : KKa af (a),aK .问： K x 中两个不相等的多项式f ( x) 与 g (x) ，它们所确定的函数是否相等？回答是肯定的。定理 6如果数域 K 上的两个多项式f ( x) 与 g (x) 不相等，则它们确定的K 上的多项式函数f 与 g

49、 也不相等。证明定理 8（代数基本定理） 每个次数大于零的复系数多项式在复数域中至少有一个根。定理 10每一个次数大于零的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式。定理 11（复系数多项式的唯一因式分解定理）每个次数大于零的复系数多项式，在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积：f (x) a( x c1 )r1 ( x c2 )r2 L (x cm )rm ，（2）其中 a 是 f ( x) 的首项系数，c1 , c2 ,K ,cm 是互不相同的复数，r1 , r2 ,K , rm 是正整数。推论 12每个 n 次复系数多项式恰有 n 个复根（重根按重数计算）。根与系数的关系：设 f ( x) 是首项系数为 1 的 n 次复系数多项式，它的 n 个复根记为 c1 ,c2 ,K , cn （它们可以有相同的） ，于是在复数域上f (x) 有因式分解f ( x) ( x c1)( x c2 )L ( x cn ) 。（3）又设f ( x)xnan 1xn 1La1 xa0 ，（4）将（ 3）式右端乘出来，并与（ 4）的右端相比较，得根与系数的关系如下：an 1L Lak(c1c1Lcn ),LLLLL( 1)k