新版高中数学北师大版选修2－3同步导学案：1.2.2 排列的应用

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1、新版数学北师大版精品资料第2课时排列的应用1进一步加深对排列概念的理解(重点)2掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题(难点)基础初探教材整理排列的综合应用阅读教材P10“例2”“例3”“例4”部分，完成下列问题1解简单的排列应用题的基本思想2解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解1用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_【解析】从2,4中取一个数作为

2、个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2A48个【答案】482从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有_种【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4A240种选派方案【答案】240质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多

3、少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A54360，所以共有60种不同的送法(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是555125，所以共有

4、125种不同的送法1没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可2对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解再练一题1(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有_种不同的分法(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有_种【解析】(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题故不同分法的种数为A1098720.(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A54360.【答案】(1)720(2)60排队问题7名师生站成一排

5、照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论【自主解答】(1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA2 160(种)(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法AA1 440(种)(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老

6、师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法AA144(种)(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2420(种)解决排队问题时应注意的问题1对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列2对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式进行排列3对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可4“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优

7、先再练一题23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端【解】(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有AA2 880种不同站法(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法故共有AA240种不同站法探究共研型数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩

8、余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成248(种)不同的偶数探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在09这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从19这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？【提示】先找出十位数字比2大的数，再找出十

9、位数字是2，个位数字比5大的数即可用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则另外，还可以用间接法求解【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA288(个)六位奇数法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA28

10、8(个)六位奇数法三：排除法6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A3A3A288(个)(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个故符合题意的六位数共有A2AA504(个)法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个故共有符合题意的六位数AAAA504(个)解排数字问题常见的解题方法1“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位

11、置优先填充如“0”不排“首位”2“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏3“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数4“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好再练一题3用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则240 135是第几项【解】(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类

12、，个位上的数字是5的五位数，有AA个故满足条件的五位数的个数共有AAA216(个)(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2，3，4，5，共AA个；第二类，形如14，15，共有AA个；第三类，形如134，135，共有AA个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：AAAAAA270(个)(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，240 135的项数是A3A1193，即240 135是数列的第193项构建体系16名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A36B120C720D2

13、40【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A720.【答案】C2要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A1 440种B960种C720种D480种【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA960种不同的排法【答案】B3用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有_个. 【导学号：62690010】【解析】先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA144个【答案】144

14、4(2016莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_【解析】分3步进行分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2种排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2种排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A6种排法则共有22624种排法【答案】245从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分成以下两类：第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；第2

15、类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A2A240种法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA240种我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮流放映方法有()A25种B55种CA种D53种【解析】其

16、不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即A.【答案】C2某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A6种B9种C18种D24种【解析】先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有3618(种)【答案】C3在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种B48种C96种D144种【解析】先排除A，B，C外的三个程序，有A种不同排法，再排程序A，有A种排法，最后插空排入B，C，有AA种排法，所以共有AAAA96种不同的编排方法【答案】C4生

17、产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A24种B36种C48种D72种【解析】分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法由分类加法计数原理，共有A2A36种不同的安排方案【答案】B5(2016韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的

18、五位偶数共有()A288个B240个C144个D126个【解析】第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；第2类，个位数字是4，有AA个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数由分类加法计数原理，可得共有2AAAA240个数【答案】B二、填空题6从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有_个【解析】若得到二次函数，则a0，a有A种选择，故二次函数有AA33218(个)【答案】187将序号分别为1,2,3,4,5

19、的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A42496(种)【答案】968用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是_. 【导学号：62690011】【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法由分步乘法计数原理

20、得，共有A2AA40种不同的排法【答案】40三、解答题9喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影照(排成一排)(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【解】(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA144种排法(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA480种排法10(2016上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1

21、,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A432124种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有42496种能力提升1将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A10种B12种C9种D8种【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的

22、排列方法【答案】B2(2016武汉调研)安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A180B240C360D480【解析】不同的排法种数先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4480种【答案】D3安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A20种排法，其余5天再进行排列，有A120种排法，所以共

23、有201202 400种安排方法法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A76543215 040种方法，其中不符合要求的有AAAAAA2 640种方法，所以共有5 0402 6402 400种方法【答案】2 4004(2016西安月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)女生互不相邻【解】(1)法一：元素分析法先排甲有6种，再排其余人有A种，故共有6A241 920(种)排法法二：位置分析法中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA336730241 920(种)排法法三：等机会法.9个人全排列有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A241 920(种)法四：间接法A3A6A241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人共有AA10 080(种)排法(3)插空法先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA2 880(种)排法