完整版初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含标准答案解析

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1、初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如a（a 0）的式子。二次根式必须满足：含有 二次根号“ 一 ”被开方数a必须是非负数。非负性2、最简二次根式：满足：被开方数不含分母；被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成 分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数 或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式（1）Ga）式子 一 有意义的x的取值范围是（）I-LA. X寺且 xm 1 B. xm 1C

2、. 心二 D. x且复工13. 下列计算错误的是（）A.十 w G : B.C.：- I D.-：- 一:4. 估计：_ ： |的运算结果应在（）A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 a（a 0）（ 2）. a2 a（3）乘法公式 Jab 、a? b（a 0,b0）I a va（4）除法公式b b（a 0，b0）4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被 开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的 先算括号里的 常考题：一选择题（共14小题）1 下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A. VH

3、 B.顷 C.會 D. V4a+4若.|,.= (x+y) 2,则 x- y 的值为(-1 B. 1C. 2 D. 3A.6.A.7. A.8.A.9.k、5 如果：-匕1 - 2比则（ ）是整数，则正整数n的最小值是（）4 B. 5C. 6 D. 7化简.：| . -1的结果是（）- B.:C.D.:k、m、n为三整数，若.-=k 一 7=15，Ti =6 i丨，则下列有关于 m、n的大小关系，何者正确？（）A. kv m=n B. m=nv k C. mv nv kD. mv kv n11 .把 mJ-XL根号外的因式移入根号内得（E)A .血 B .LLIV -rr C. VirD .

4、V-irA. 7B.- 7 C. 2a- 15 D.无法确定10.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）1,J0a 1012 .已知 L I是正整数，则实数n的最大值为（）A . 12 B . 11 C. 8 D . 313 .若式子 ，-有意义，则点P （a，匕）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D .第四象限14 .已知m=1+Vl，n=1-庾，贝M弋数式J +nJ聞的值为（）A . 9 B . 3 C. 3 D . 5二 .填空题（共13小题）15 .实数a在数轴上的位置如图所示，则|a- 1|+.：=.-116 .0 1 $ 2?的结果是.17 .18 .19 .20 .

5、计算： -化简：一； （ :. ）- - L - 3|=.如果最简二次根式；与小“-宋是同类二次根式，则a=. 定义运算“ 勺运算法则为：xy三丨贝9（ 26） 8三 化简|v X-4Xx（ 1-二）0的结果是.21 / 1921 .-.I :=.22 三角形的三边长分别为.一,，川r，则这个三角形的周长为cm.23. 如果最简二次根式， 与.能合并，那么a=.24. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2和6，那么矩形内阴影部分的面 积是.(结果保留根号)25 . 实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简 L(+7(=. -1 C 22326计算.27. 已知a、b为有理数，m、n分别表示的

6、整数部分和小数部分，且 amn+bn(2=1，贝U 2a+b=.三.解答题(共13小题)28. 阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:2Vs+V3 ?参照(四)式得(3)化简:29.计算:苗+i怯+笛+馅+.(- 1) C !+1)-( - )2+|1 - ：| -( n-2) 0+,:2 =兰宀三)二2后1) 苗+1 (血+1)岛1) C-/3)2-!2以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：r 2 1 3-1=如宀1布+1)(V3-D1V3+1岛+1|V3+1|=- 1 (四)(1)请用不同的方法

7、化简30. 先化简，再求值：冷廿近)-(3-6)，其中旦Iu31. 先化简，再求值：，其中x=1砸,y=1-近.x-y 时 yx2-2xyy232.先化简,33.已知a= I，求b 5+2 /.:：x+2l-2a+a2 再求值:2a-1中，I :.的值.34.对于题目化简并求值:,其中a=,甲、乙两人的解答不同.甲的解答:21乙的解答:=12+a_请你判断谁的答案是错误的，为什么？35. 一个三角形的三边长分别为.、丄,(1) 求它的周长(要求结果化简)；(2) 请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.36. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了 三斜求积术”即已知

8、三角 形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：2 2 2-（其中 a b、c为三角形的三边长,s为面积).而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=.I 一 i (其中 p=，.)(1) 若已知三角形的三边长分别为 5, 7，8,试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s；(2) 你能否由公式推导出公式？请试试.37. 已知：x冷(V7十馆)，尸斗(听卫)，求代数式x2-xy+y2值.38. 计算或化简：(“上一丄；(2)且bJb) 士(a 0, b 0).39. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如I |的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m , ab=n，使得祐

9、）叫血产m，.-I 1 =】i,那么便有：“丄，；厂乜厂二.i h（ab）.例如：化简一二解：首先把.I , :化为叮=；右孑，这里m=7, n=12,由于4+3=7, 4X 3=12即 I -十=7, .X -；=.;mi =（摹门=2+. -丄且 xm 1 B. xm 1C.1x,_：=D.-且复工122 22【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.【解答】解：根据题意得，2x+1 0且x- 1工0，解得X-丄且XH 1 .2故选A.【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0; 二次根式的被开方数 是非负数.3. （2007?荆州）下列计算错误的是（）A

10、、厂二丫B.C.D.-：- 一：【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断.【解答】解：A、严=7 一:，正确；B、= | : =2 :;,正确；C、 ：一卄一 i=3 i+5 =8 ，正确；D、，故错误.故选D.【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式.二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.4. （2008?芜湖）估计:I的运算结果应在（）A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【分析】先进行二次根式的运

11、算，然后再进行估算.+ ，而 4viK5,【解答】解: V,原式运算的结果在8到9之间；故选C.夹逼法【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算, 是估算的一般方法，也是常用方法.5. （2011?台）如果11=1 - 2&,则（）B.C a2D.A. a 0,从而得出a丄2a的取值范围即可.【解答】解： 二 1 - 2a0,解得aw丄.2故选：B.【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握.6. （2009?荆门）若二 二（x+y） 2,则 x-y 的值为（）A. - 1 B. 1C. 2 D. 3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可求出

12、x、y的值，再代入代数式即可.【解答】解：T. I = （x+y） 2有意义， x- 10 且 1 - x0，二 x=1，y= - 1， x- y=1 -（ - 1） =2.故选：C.【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子一 1 （a 0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.7. （2012秋？麻城市校级期末） * II是整数，则正整数n的最小值是（）A . 4 B . 5C. 6 D . 7【分析】本题可将24拆成4X 6,先把 I化简为2.，所以只要乘以6得出 62即可得出整数，由此可得出n的值.【解答】解：戸I =2. I .,当 n

13、=6 时，ii=6,原式=2=12, n的最小值为6 .故选：C .【点评】本题考查的是二次根式的性质.本题还可将选项代入根式中看是否能开 得尽方，若能则为答案.8. （2013?佛山）化简：:1 :-的结果是（）A .苛L B . f ；= C.D .【分析】分子、分母同时乘以（I ：+1）即可.【解答】解：原式岛m亦.故选：D .【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方 差公式是解答问题的关键.9. （2013?台湾）k、m、n 为三整数，若-=k | 口，厂 i=15 , ,: 1=6 ,则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A. kv m=n B

14、. m=nv k C. mv nv kD. mv kv n【分析】根据二次根式的化简公式得到k, m及n的值，即可作出判断.【解答】解： =3，=15二，r =6. 口，可得：k=3，m=2，n=5，则 mvkvn.故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解 本题的关键.10. （2011?菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 后为（）0a 10A. 7 B.- 7 C. 2a- 15 D.无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a-4）和 （a- 11）的取值范围，再开方化简.【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5v

15、av10，所以a-40，a- 11 v 0，=a 4+11 - a，=7.故选A.【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概 念.11. （2013秋?五莲县期末）把门； 一根号外的因式移入根号内得（）A. 1-：厂 B. * 一川 C._i D.叮一【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答.【解答】解：.一成立，丄0，即卩 mv0,m原式=-J （f） 2 （= - .Vm故选：D.【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键.二次根式成立的条件：被开方数大于等于0,含分母的分母不为0.12. （2009?绵阳）已知.是正整数，则实

16、数n的最大值为（）A. 12 B. 11 C. 8 D. 3【分析】如果实数n取最大值，那么12 -n有最小值；又知| - |是正整数，而 最小的正整数是1,贝L】 等于1,从而得出结果.【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11.故选B.【点评】此题的关键是分析当.等于最小的正整数1时，n取最大值.13. （2005?辽宁）若式子. 有意义，则点P （a，在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0,对a、b的取值范围进行判断.【解答】解：要使这个式子有意义，必须有-a0，ab0， av 0，bv 0，点（a，b）

17、在第三象限.故选C.【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号.14. （2013?上城区一模）已知 m=1心:，n=1-逅，贝M弋数式/+口乙3临的值 为（ ）A. 9 B. 土 3 C. 3 D. 5【分析】原式变形为寸（血口）2-5rnn，由已知易得m+n=2，mn= （1+胚）（1-应） =-1,然后整体代入计算即可.【解答】 解：m+n=2, mn= （1） （1 2） =- 1,原式=：=，- 0, a-2v0, la-U+：_：；=a- 1+2 - a=1.故答案为：1.【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简. 二次根式I 的化简规

18、律总结：当a0时，.二a当a0时，. =-a.16. （2013?南京）计算：壽器的结果是返.【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可.【解答】解：原式=J -二=?.故答案为：一二【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的 化简及同类二次根式的合并.17. （2013?泰安）化简：V5 （五巫）-阿-| - 31=- 6.【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别 化简整理得出即可.【解答】解：（返-們）-回-|J1 - 3|=.-3 -2 I -（ 3.），=-6.故答案为：-6.【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混

19、合运算，正确化简二次根式是解题 关键.18. （ 2006?广安）如果最简二次根式.二TT与.丨一是同类二次根式，则a=5.【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解.【解答】解：最简二次根式：一与是同类二次根式， 3a- 8=17 -2a,解得:a=5.【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义.19. （2007?芜湖）定义运算“勺运算法则为：xy= ，则（26） 8= 6.【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算.【解答】解： xy= ，（ 26） 8=8=48=卜 X + =6,故答案为：6.【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，

20、找出其中的规律， 再计算.20. （2014?荆州）化简I - 4X X（ 1 - ：） 0的结果是二.【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指 数幕的意义计算得到原式=2 -归，然后合并即可.【解答】解：原式=2-4X - x 1=2 二八.故答案为：一 7.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕.21. （2014?广元）计算:17-2【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解.【解答】解：一=；二二 =2.故答案为：-2.【点评】本题考查了二次根式的

21、加减法， 本题涉及了分母有理化、二次根式的化 简等运算，属于基础题.22. （2013?宜城市模拟）三角形的三边长分别为一，则这个三角形的周长为 5 ! -二iicm.【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为 +，化简合并同类二次根式.【解答】解：这个三角形的周长为.: |+ ：ii + .=2 口+2. 1+3=5.口+2. I （cm）.故答案为：5 +2（cm）.【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题.23. （2012秋？浏阳市校级期中）如果最简二次根式.j与.:-能合并，那么 a= 1.【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一

22、次方程 求解即可.【解答】解：根据题意得，1+a=4a- 2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1.故答案为：1.【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题 的关键.24. （2006?宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2和6,那么矩形内 阴影部分的面积是丄2.（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是.-:和，由图知，矩形的 长和宽分别为T+，、!，所以矩形的面积是为（.:+ I.）?，=2-广f+6，即可求得矩形内阴影部分的面积.【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（屆屆 乐-2 -6=3+6- 2-6=3 - 2.【点评】本题

23、要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的 关键.25. （2003?可南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简U111:L11 . -10123【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简.【解答】解：由数轴可得，1vpv2，p- 10， p- 2v 0，=p- 1+2-p=1.【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键.26. （2009?泸州）计算：.-_口- -2【分析】运用二次根式的性质：需=| a|，由于2肩，故Q （血一2） 2 =2-虧.【解答】解：原式=2-亦=2.【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.27.

24、（2011?凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示 w f的整数部分和小 数部分，且 amn+bn2=1，贝U 2a+b=2.5.【分析】只需首先对材i估算出大小，从而求出其整数部分a,其小数部分用-!- a表示.再分别代入amn+bn2=1进行计算.【解答】解：因为 2v . -v 3，所以 2 v 5 一 3,故 m=2, n=5 -2=3 -.把 m=2，n=3-円代入 amn+bn2=1 得，2 （3-厂）a+ （3 - . ） 2b=1 化简得（6a+16b）-（2a+6b） =1， 等式两边相对照，因为结果不含 广，所以 6a+16b=1 且 2a+6b=0,解得 a=1.5,

25、 b=-0.5.所以 2a+b=3-0.5=2.5.故答案为：2.5.【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算.能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键.三解答题（共13小题）28. （2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:z 一兰（7三）=2苗-d（V3+1）C-/3）2-!2：；1 （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.2Vs+i还可以用以下方法化简:2丄行 1 （四）荷+1苗+1逅+1丽 “ 1（四（1）请用不同的方法化简2Vs+75（3）化简:+IV7+V

26、5V2n+1 +V2n-L【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法:1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2,分母有理化后，分母都是2,分子可以出现抵消的情况.【解答】解：（1）2=2師D2祐卫） 匚匸后碇弋、二（屈 2-（V3）2 5 3 ?2V5+V3（2）原式=V5+V3V5W3（a/3+i）（V5-1） r（V5+V3）r （7+Vs）（V7W5）2n+l2n-l ）0,所以. = - a,5a55V 丑a正确;乙的解答：因为a丄时，a-51 .1a55=-v 0,所以3因此，我们可以判断乙的解答是错误的.J、

27、丄 T、一 I【点评】应熟练掌握二次根式的性质：.二-a （a 0）.35. （2011?上城区二模）一个三角形的三边长分别为（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长.再运用运用二次根式的加 减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.【解答】解: （1）周长=二+.（2）当 x=20 时，周长二：，=，（或当时，周长=_， 等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意.36. （2005?台州）我国古代数学家秦九韶在 数书九章中记述了三斜求积术” 即

28、已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： 222r 1 ： ，b 0）.【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算.【解答】解：（1）原式=6 - 12 :- 6 . ?=6 - 18 :;（2）原式=-树倔（克届）遗語=-3a2b2x 丄.3d=-a2b .【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相 乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简， 再相乘，灵活对待.39. （2013秋？故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m， ab=n，

29、使得（衣血）亠m,伍7=酱，那么便有：40. （2013?黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（ 1+ ：）2.善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b =（ m+n；：f；）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+b . =m2+2 n2+2 mn. :. a=m2+2n2, b=2mn.这样小明就找到了一种把类似 a+b.二的式子化为平方式的 方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+时5=（丽、你）？，用含m、n的式子 分别表示 a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；

30、（2） 利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4 + 2 . ;= （_1 + 1 . ；） 2；（3）若a+如1=（计口亦）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值;（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1， n=2,然后即可确定好a的值.【解答】解：（1）v a+b 一 ；=i寸- a+b _ =m2+3n2+2mn 二， a=m2+3n2，b=2mn.故答案为：m2+3n2，2mn.（2）设 m=1，n

31、=1, a=m2+3n2=4，b=2mn=2.故答案为4、2、1、1.（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn/ 4=2mn，且m、n为正整数， m=2，n=1 或者 m=1，n=2, a=22+3x 12=7，或 a=12+3X 22=13.【点评】本题主要考查二次根式的混合运算， 完全平方公式，解题的关键在于熟 练运算完全平方公式和二次根式的运算法则.1 1 i= -=. 1 土 1（ab）.例如：化简一解：首先把化为，这里 m=7, n=12，由于 4+3=7, 4X 3=12即 I 二 + =7，.X I；=.:一 1 . = , I _=.=.-=2+厂仁由上述例题的方法化简：匚【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42 .再判断是选择加法，还是减法.【解答】解：根据.，可得m=13, n=42， 6+7=13，6X 7=42，【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式.