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1、新版数学北师大版精品资料核心必知1斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.2立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变问题思考1斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？提示
2、：斜是指坐标轴倾斜，使之成45，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半2斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？提示：平行3空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同讲一讲1用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图尝试解答法一：(1)如图所示， 以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOC2 cm，在y轴上截取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示法二：(1)如图所示，以
3、BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OAOA，在y轴上截取OBOCOC1 cm，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线练一练1画出水平放置的等腰梯形的直观图解：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，以AB中点O为原点，建立直角坐标系，设y轴与DC交于点E，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以
4、O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点作CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图(2)讲一讲2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图尝试解答画法：(1)画轴画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利
5、用几何体的对称性，然后画出竖轴此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定练一练2画出五棱柱的直观图解：画法：(1)画轴：画x轴，y轴，z轴，记坐标原点为O，使xOy45，xOz90.(2)画底面：在俯视图中，建立直角坐标系xOy(如图)，利用斜二测画法画出底面ABCDE的直观图ABCDE.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上截取AA，BB，CC，DD，EE，使它们都等于主视图中矩形的高(4)成图：连接AB，BC，CD，DE，EA，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到原几何体的直观图(如图)讲一讲3一个四边形的直观
6、图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形求原四边形的面积尝试解答如图(1)是四边形的直观图，取BC所在直线为x轴因为ABC45，所以取BA所在直线为y轴过D作DEAB交BC于E，则BEAD1.又因为梯形为等腰梯形，所以EDC为等腰直角三角形所以EC.再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BCBC1，在y轴上截取线段BA2BA2.过A作ADBC，截取ADAD1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形ABCD的实际图形四边形ABCD为直角梯形，上底AD1，下底BC1，高AB2，所以S梯形ABCDAB(ADBC)2(11)2.(1)由直观图还原平面图形关键有两点：平行x轴的
7、线段长度不变，平行y轴线段变为原来的2倍；对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是.练一练3已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2 D.a2解析：选C如图(1)为直观图，图(2)为实际图形取BC所在直线为x轴，过BC中点O与Ox成45的直线为y轴，过A点作ANOx，交y轴于N点，过A点作AMOy，交x轴于M点则在直角三角形AOM中，OAa，AMO45，AMa.则AM2AMa，SABCaaa2.画出右图中四边形OABC的直观图(图中数据
8、已给出)错解以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图甲，作COB45，其中OB是水平的，OB4，OD3，OC1，过D作BDA90，使AD1，顺次连接OA，AB，BC，所得四边形OABC即为四边形OABC的直观图，如图乙错因坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观图位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A的位置正解如图所示，作COB45，其中OB是水平的，OB4，OD3，OC1，过点D作BDA135，使AD1，顺次连接OA，AB，BC，所得四边形即为四边形OABC的直观图1用斜二测画法得到：相等的线段和角在直观图中，仍然相等；正方形在直观图中是矩形
9、；等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形；菱形的直观图仍然是菱形上述结论正确的个数是()A0B1C2D3解析：选A利用斜二测画法，上面说法没有一个正确2如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()解析：选C按斜二测画法的规则：平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的，并注意到xOy45，将图形还原成原图形知选C.3 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：选A根据斜二测画法，知在y轴上的线段长度为原来的一半，可知A正确4平行四边形的直观图_平行四边形(用“是”或“不是”
10、作答)解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系答案：是5 如图，为ABO水平放置的直观图，其中ODBD2AD，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是_解析：将直观图还原为平面图形如图所示，由三角形的有关性质可知，OBABBDOD.答案：ODBDABOB6已知一等腰ABC底边ABa，高为a，求用斜二测画法得到的直观图的面积解：如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图，由图可知，ABABa，OCOCa，在图(2)中作CDAB于D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.一、选择题1下列说法中正确的个数是()相等的角在直观图中对应的角仍然相等相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
11、平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A1B2C3 D4解析：选B只有正确2利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的()解析：选D正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.3已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A16B64 C16或64D都不对解析：选C当其中在x轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y轴上的边长为4时，正方形面积为64.4如图，直观图所表示(ACOy，BCOx)的平面图形是()A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：选D由ACOy，
12、BCOx，ACB45知对应的平面图形为直角三角形5一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.a2 B.a2C.a2 D2a2解析：选D由题意知，平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：平行四边形的面积为S2a2a2a2.二、填空题6 如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_解析：在直观图中，ABCO是有一个角为45且长边为2，短边为1的平行四边形，B到x轴的距离为.答案：7 水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，B
13、C2，则AB边上的中线的实际长度为_解析：由于直观图中，ACB45，则在原图形中ACB90，AC3，BC4，则斜边AB5，故斜边AB上的中线长为2.5.答案：2.58如图所示是水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原ACB中，ACB30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，ADDCBD.答案：2三、解答题9画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)解：(1)画轴，以底面A
14、BC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面ABC的垂心O与O的连线为z轴，建立空间坐标系(2)画下底面，在xOy平面上画ABC的直观图，在y轴上量取OC cm，OD cm.过D作ABx轴，且AB2 cm，以D为中点，连接AC、BC，则ABC为下底面三角形的直观图(3)画上底面，在z轴上截取OO2 cm，过O作x轴x轴，y轴y轴，在y轴上量取OC cm，OD cm，过D作ABx轴，AB1 cm，且以D为中点，则ABC为上底面三角形的直观图(4)连线成图，连接AA，BB，CC，并擦去辅助线，则三棱台ABCABC，即为所要画的三棱台的直观图(如图)10. 用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC1，ABC30，如图所示，试求原图的面积解：如图(1)所示，作ADBC于D，在BD上取一点E使DEAD，由AC1，可知BC2，AD，AE，由斜二测画法(如图(2)可知BCBC2，AE2AE，SABCBCAE2. (1)(2)
新版【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.2直观图含答案
