D19连续函数的运算和性质

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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,定理定理2 2 严格单调严格单调的连续函数必有严格单调的连的连续函数必有严格单调的连续反函数。续反函数。例如例如, ,2,2sin上

2、单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .目录 上页 下页 返回 结束 xye在),(上连续其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.又如又如, xyOxylnxey 11单调 递增,目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 3000lim( ),( ),lim ( )( )lim( ).xxxxxxxaf uafxf afx 若函数在点 连续则有意义意义1.1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换; ;2.( ).ux变变量量代代换换的的

3、理理论论依依据据目录 上页 下页 返回 结束 例例1 10ln(1)lim.xxx求求. 1 10limln(1)xxx原原式式)1(limln10 xxx eln 解解求.)1 (loglim0 xxax解解: :原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目录

4、上页 下页 返回 结束 00000( ),(),( ), ( ).uxxxxuyf uuuyfxxx 设函数在点连续 且而函数在点连续则复合函数在点也连续定理定理4 4例如例如, ,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. .)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;)

5、, 0(内单调且连续内单调且连续在在目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例3. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx

6、= 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、如何找间断点？如何找间断点？（1 1）初等函数：求定义域）初等函数：求定义域, ,各子区间的边界点各子区间的边界点 （2 2）分段函数：讨论分段点）分段函数：讨论分段点00(2)()()f xf x , ,是是否否存存在在？000(3)()()()f xf xf x 是是否否成成立立？( (1 1) ) (x)在在x0 是否处有定义？是否处有定义？逐步研究：逐步研究：注意：注意： 1 1、初等函数在其定义区间内连续；、初等函数在其定义区间内

7、连续； 2 2、分段函数在其定义域内不一定连续。、分段函数在其定义域内不一定连续。目录 上页 下页 返回 结束 ( )tanxf xx例4： ,2xo xkxk 为间断点001lim( )limtanxxxf xx0 x 是可去间断点是可去间断点0lim( )lim,()tanxkxkxf xkx x k 是无穷远间断点是无穷远间断点220lim( )limtanxkxkxf xx2xk 是可去间断点是可去间断点目录 上页 下页 返回 结束 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立

8、 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxf12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大点 ,xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也无最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此12mM二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设,

9、 ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论: 在闭区间上的连续函数C使.)

10、(Cf至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xAbya)(xfy BO目录 上页 下页 返回 结束 O1x例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则4321内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2( ) , ,(

11、 ),( ).( , ),( ).f xa bf aaf bba bf 设设函函数数在在上上连连续续 且且证证明明使使得得证证( )( ),F xf xx令令( ) , ,F xa b则则在在上上连连续续( )( )F af aa而而, 0 由零点定理由零点定理, ,( , ),a b使使, 0)()( fFbbfbF )()(, 0 ( ).f即即目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其

12、 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba目录 上页 下页 返回 结束 , 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a1. 设一点习题课 思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 ,4,0)(上连续在闭区间xf2、 1e3xx至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1e)(3xxxf且)0(f1e3)4(f1e43400e3根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .