研究生矩阵论评分标准

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1、华东理工大学2012学年第1学期研究生矩阵理论课程考试试卷评分标准2013年1月填空题(每小题4分，共40分)1、已知-1)(/-2)为多项式空间PQ中一组基，则多项式=+ l在这组基下的坐标是(写成列向量)(3,44/.顺序弄反，写成(1,4,3)卩给2分。2、已知A,则矩阵多项式A4-4A3-A2 + 2013A-Z =2012 40264026 60383、对任意f(x). g(x)ePx2 ,定义权函数为产的带权内积：(/,g)=f(x)g(x)e-xdx ,则标准基1, x的度量矩阵为G =答；匕)给2分4、已知冇,勺,勺是欧氏空间的一组基，丁为V上的一个正交变换，且兀=吉(2 +2

2、2 巧)，拆2 =吉(玄| 2 +玄3)则兀关于勺,习，6的坐标向量为* (一 1,2,2)7或扣,一2, J)7。只填1个不扣分。5、已知ai9a2 ER3，、 = spang,a2) , W = (a|,a2)是列满秩矩阵,则向量 x e疋沿叶到k的投影向量为w (wwjw*.填投影矩阵给2分6、已知向量x = (l,2,-3)r,则llxiy II 叫=?.7、设421 则 1111=7, IIA11.= .2 4J-8、若关于单变量x的函数矩阵A(x)与A-*(x)均可导，则A-*(x)的求导公式 为,屮(兀)=-屮(x) J(x)A(x)axax9、设小曲介实对称矩阵，则对二次泛函心

3、弓S十，其中x,b,ceRn , #= Ax-b.10、已知 X =(%)&, f(X) = tr(XXT)为矩阵 XX7的迹，则二、（本题满分8分）已知矩阵4 = （1）写出矩阵A的PA = LU分解;第6 / 6页（2）基于PA = LU可求解线性方程组Ax = bf这里A为可逆方阵，写出兀的计 算公式，并说明理由。0 1（1）由题可知=1 0八 3 1从而L/ =310 5/3(4分),厶=3 1J 22。：/ 1 0、一1/3（2分），因此31100 5/3 -1/3 11 01/3 1。（6 分）所以所求PA = LU分解为2、bPA =(31 1/3 1 八0 5/3=LU（2）因

4、为A可逆，所以存在排列矩阵P、单位下三角阵矩阵L及上三角矩阵， 使得PA = LUO两边取行列式，并注意到ILI=1,可知PAULU=U因此矩阵U可逆。在Ax = b两边左乘P,得PAx = Pb ,因此PAx = LUx = Pb即 x = (LU尸Pb=U LPb (8 分)三、（本题满分12分）所有二阶实对称矩阵的集合$底“2构成线性空间。（1）求SR?*2的一组基;(2)对任意 X eSK2x2,定义线性变换T（X） = PX + XP9其中P=试求矩阵X e SK2x2 ,使得T(X) =（1）因为对任意X =IR2X2因此所求的一组基为d=i or2=o (1+2+1 分)（2）解

5、法一：设所求为/ =,则 X =aEbE2+cE 从而T(X) = TiaE. bE2 +cEi)=aT(Ei)bT(E2)+cT(Ei) (7 分)由于 T(Ei) = PElEiP =，丁（码）= （；（10 分）乂因为T（X） =+ b+ c（12 分）0 f1解得“ =1# = 2，c = 3 ,所以所求为X2，则 T(X) = PX + XP =2a -a+b-ca+b+c0，（8 分）乂因为T（X） =2(1 = 2,a +b c = 4,“ +b + c = 0 ,解得“ =1, = 2,c =-3 ,所以所求为X= 12。（12分）匕-3丿四、（本题满分8分）用Househol

6、der方法求下列矩阵的完全QR分解:3 14、A= 6 43、6 22丿令a, =（3,6,6/ ,贝011112=9, 0-11112勺=6（-1 丄 1）丁,从而函 一 II ax 112 勺|% - Ila.训 21 2此时 /,=/- 2/1W17 = - 2132 -22、948、-2,Aj二 =091ZX-12/（4分）令爲=(9, 一12)丁，贝 ijllll2=15, A-IIAII2 e1=-6(l,2)r ,从而_ 02_ll 角 “2 勺 _ 1 2 T此时 H2=/-22wJ =49此时 A2=H2Al= 048、150=R（6分）100、(1 0、 丫= / 2 五

7、2刀 2 =03/5-4/50 HJ2 2 2/0X-4/5-3/57H2 =kl I 于 R = A2= H2Ai = H2HxA I fl J H2 = H? =/ t 所以A = (H2Hx)-x R = HH-R = HxH2R = QR4/3 -2/15 一 14/15、从而Q = HxH2 = 2/311/152/15(8 分)2/3-2/31/3 丿综上可知，所求完全QR分解为/2 00 1所以所求约化奇异值分解为1 0、1/2A= 01J = 0丿（1/运=U (12 分),=uzv六、（本题满分8分）已知超定方程组Ax=b,其中长方阵A的完全QR分解为 A = QR,约化QR

8、分解为A = ,按最小二乘法求解时会产生最小二乘误差Ax-b2. (1)证明:Ax-b2=Rx-(fb2x (2)如果存在分块R二e=ePe2i 证明:Ax-b2=Q/bw2.(1) Ax-b2QRx-b2 (2 分)=Q(Rx-QTb)2 (根据范数的酉不变性)Rx-QTb)2 (4 分)（2）由于Ar=ei/?Ix=Z,注意到ara=Z,两边左乘得恥=屮。（6分）因此 Rx-Qrb =Ax-b2=Rx-Qrb 112=,从而Q：ran,x f b日回叫（8分）0 1 0七、（本题满分12分）已知Frobenius标准型即第一自然标准型A二001.求严.2 3 0A的特征值为人=厶易3=_1（3分），对应石=2的特征向量为p1= （1,2,4/,对应易3 = 1的特征向量为P2 =（hl，l儿广义特征向量为p3 =（lA-l）ro（7分） 因此矩阵的Jordan分解为A = PJP,其中2 0 01 1 1J =0 -1 1（8 分）,P =2-10,0 0-14 1 -1由于 fa)= eff(X) = teff(-l)=te9 所以T2(JEIS)+JZ鬱ljeiz)iral2c9lto r寻 6 2(j9 + z)iza-Ml lc9 + 8)+二二II