污水控制规划及排污管道设计问题(数学实验)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上实 验 报 告实验题目： 污水控制规划及排污管道设计问题 学 院： 数学与信息科学学院 学生姓名： 张 # # # 学 号： 00 专业年级： 0 课程名称： 数 学 实 验 完成时间： 目 录七、八、九、附录2：最小二乘拟合多项式的存在唯一性证明过程20专心-专注-专业污水控制规划及排污管道设计问题一、实验目的1. 复习和巩固最小二乘法、曲线拟合、线性规划、最佳平方逼近多项式、离散正交多项式曲线拟合等方法的原理和过程及其相关的基本理论知识。2. 进一步熟练掌握Mathematica 、Matlab、几何画板等数学应用软件。3. 通过对江水污染控制问题的规划计算，进一

2、步掌握线性规划的计算及应用，同时提高自己数学建模的能力。4. 通过对污水管道设计问题的分析和解决，提升自己对实际问题的处理能力。 5. 提高自己借助计算机软件解决数学应用问题的能力，激发自己探索科学真理的兴趣。6. 增强我们学习数学的积极性和兴趣，提高对数学知识的应用意识。7. 通过上机实验操作，提高自己的动手实验操作能力和学术创新精神。二、实验环境学校机房，Windows XP操作系统，所用软件：Mathematica 4.0、Microsoft Word 2003、公式编辑器（MathType）、Matlab 7.0、几何画板4.0等。三、实验基本理论和方法 1. 最小二乘法的曲线拟合 最

3、小二乘法的基本原理：从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点 误差的大小，常用的方法有以下三种：一是误差绝对值的最大值，即误差向量的-范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1-范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2-范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑2-范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据，在取定的函数类中,求,使误差的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。多项式拟合：假设给定数据

4、点，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 （1）当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 （2） 即 （3）（3）式是关于的线性方程组，用矩阵表示为 （4）式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，

5、记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 2.最佳平方逼近多项式设f(x)Ca，b，若有一次数不超过n(nm)的多项式，使得 （7）称满足式（7）的为f(x)在区间a，b上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得 即 （8）式（8）是关于的线 性方程组，用矩阵表示为 （9） 式（8）或式（9）称为正规方程组或法方

6、程组。可以证明，方程组（9）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（9）中解出(k=0,1,，n)，从而可得最佳平方逼近多项式若a，b=0，1，则方程组（9）的系数矩阵为称为希尔伯特（Hierbert）矩阵。以后，不特别声明，均取。3.离散正交多项式曲线拟合设已知数据点，为关于点集的正交多项式系，求一次数不超过n的多项式满足(2)式，即由的离散正交性，此时法方程组(式(3)成为如下简单形式 (10) 其解为 (11)拟合多项式为 (12)平方误差为 (13)4.线性规划线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。简单的线性规划指的是目

7、标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。线性规划数学模型的一般形式为：目标函数：约束条件：线性规则 （linear programming ）：（1）一般是指找出其变量受线性控制的一个线性函数最大或最小值的程序。（2）在生产中，指在一组材料的特征及一组成品产品价格均既定的条件下，表明这些材料如何组合才能取得最大利润的方法。四、实验内容和过程问题一: 污水的控制与规划

8、如（图1），有若干排污口流人某江，各口有污水处理站，江面各段的流量和污水浓度分别为认和和，工厂污水的流量和浓度分别为和，污水处理站流出的流量和浓度分别为和，尽管国家对各种排污有严格的标准，如果由于经济原因不可能全面达标，那么如何安排各污染点的位置或为了保证重点城市的卫生标准，对各排污点或污水处理站制定排放标准。（图1）1、实验内容与要求有若干排污口流人某江，各口有污水处理站，江面各段的流量和污水浓度分别为和，工厂污水的流量和浓度分别为和，污水处理站流出的流量和浓度分别为和，其中流量单位：，浓度单位：mg/l。污染浓度的递推关系应该满足水质自净方程 （14）是与江段地理位置相关的系数，称为自净系

9、数。 为了简单起见，不妨设污水处理费用污水浓度差成正比，与污水水量成正比，即 其中为比例系数.。 我们定义单位时间流过某一断面的污染物的总量为此断面的污染通量，显然有污水治理站的流人污水通量为：，流出水污染通量为：，我们定义：为第k个污水处理站的治理系数。设 使三个居民点的上游水污染，达到卫生标准；求出使总费用最小的及总费用。要求：(1)给出二种模型并用计算机求得结果。(2)讨论参数对治理费用的影响。2.问题分析与建立模型有若干排污口流入某江，各口有污水处理站，江面各段的流量和污水浓度分别为和，工厂污水的流量和浓度为和，污水处理站流出的流量和浓度分别为和，其中流量单位：，浓度单位：mg/l。污

10、染浓度的递推关系应该满足水质自净方程 （15）是与江段地理位置相关的系数，称为自净系数。 尽管国家对各种排污有严格的标准，但由于经济原因不可能使整个江面全面达到标准，因此，要考虑一种合理的安排尽量使居民点处的江水合乎标准，这样就有一个对排污口的位置安排问题，以及灵活考虑排污口的治理问题。比如有个排污口离居民点较远，尽管排污超标，但通过流水的自净作用在到达居民点前已合乎标准了，那么为了节约资金，也可暂时不予治理，或者提出一个更宽松的标准，于是我们希望解决如下问题： (1)我们的目标是根据流来的江水水质和国家规定的水质标准，来确定各排污口的排放量和最大允许污物浓度。 (2)在使各段检测点(居民点)

11、的水污染不超过国家标准C的条件下，使投人污水处理的总资金最少。 (3)如果不考虑，只考虑使符合标准C(重点控制方案)，那我们的标准如何制定? 该问题是在一定约束条件下的最优化问题，并且约束条件是线性的，因此可以用线性规划模型加以解决。 为了使问题简化，我们做如下假设。(1)国家的污染控制标准是多指标的，我们取其主要的一项，以污染浓度来表示。 (2)各排污口排出的污水量和污水的污染浓度一定，即和为常数。 (3)污水处理即要降低污染浓度，一般说来，使污水处理的污水浓度差越大，(为处理后的污水浓度)要求投人越多(包括技术、设备、能耗等)，这种投人我们以资金投人计算。为了简单起见，不妨设污水处理费用与

12、污水浓度差成正比，与污水水量成正比，即 （16）其中为比例系数，它实际上表示了第k个污水处理站的每流童单位降低每个浓度单位所需的资金，当然和大小可以反应污水处理的技术水平，这里我们暂且不讨论，一般将看作常数。(4)污水浓度递推关系满足水质自净方程（15），我们可改写为 （17） （18）显然，自净因子（或自净系数)与河流状态(水量、污染程度、地质状况、温度等)有关，在某一段江水中，比如说四川省境内，由于地理位置相差不大可以看成常数。自净因子的获得可以利用监测数据，利用参数估计的方法计算获得。(5)我们定义单位时间流过某一断面的污染物的总量为此断面的污染通量，显然有污水治理站的流人污水通量为 （

13、19）流出通量为 （20）不妨定义 （21）为第k个污水处理站的治理系数，显然反映了治理能力，一般有,表示未治理，而越接近于1，则治理效果越好。治理系数也可以看成是对污水治理要求达到的一项指标，当然，治理系数与投资也是密切相关的。 将(19)式改写为 （22）将（19）、（20）式代入（16）式可得 （23）由此可见，污水处理的费用与处理系数成正比，同污水的污染通量成正比。(6)设定即比小得多，即污水的流量比江水流量小得多，且在整个一段范圃内流量为常数。即，则污水进入江水混合以后的浓度为 （24）则自净方程简化为 （25） 模型A：水质全面达标模型 本模型要求使江水水质全面达到质量标准，即使各

14、污染点的与江水均匀混合后都能达到卫生标准，即。 （26） （27）我们将作为已知(污染点的污染浓度)，将治理系数作为变量，再由(23)、(24)两式，则模型A可改写为 （28） （29） 显然，目标函数关于是线性函数，而约束条件关于也是线性的，于是本模型归结为线性规划问题得以解决。3、计算过程模型A：设 （30）则 在Mathematica环境下，借助Mathematica求解，对应求解过程如下：Mathematica源程序：C1=0.8;Q=1000;u1=100;u2=60;u3=50;Q1=Q2=Q3=5;B1=0.9;B2=0.6;r1= r2=r3=1;V1=Q1*u1;V2=Q2*

15、u2;V3=Q3*u3;C1X=C1+V1/Q-V1/Q*Lm1;C2=C1X*B1;C2X=C2+V2/Q-V2/Q*Lm2;C3=C2X*B2;C3X=C3+V3/Q-V3/Q*Lm3;SimplifyC1XSimplifyC2XSimplifyC3X运行结果：1.3 - 0.5Lm11.47 - 0.45Lm1- 0.3Lm21.132 - 0.27Lm1- 0.18Lm2 - 0.25Lm3Mathematica源程序：ConstrainedMin500*x+300*y+250*z , 1.3-0.5*x=1,1.47-0.45*x-0.3*y=1,1.132-0.27*x-0.18*

16、y-0.25*z=1,X=1,Y=1,Z0.6, y-0., z-0 由上述求解过程可得： 模型B：居民点上游水质达标模型在参数(30式)的条件下，江水在各段通过自净后，在到达居民点之前达到标准，即 （31） （32）在Mathematica环境下，借助Mathematica求解，对应求解过程如下：Mathematica源程序：C1=0.8;Q=1000;u1=100;u2=60;u3=50;Q1=Q2=Q3=5;B1=0.9;B2=0.6;r1= r2=r3=1;V1=Q1*u1;V2=Q2*u2;V3=Q3*u3;C1X=C1+V1/Q-V1/Q*Lm1;C2=C1X*B1;C2X=C2+

17、V2/Q-V2/Q*Lm2;C3=C2X*B2;SimplifyC1SimplifyC2SimplifyC3运行结果：0.81.17-0.45Lm10.882-0.27Lm1-0.18Lm2Mathematica源程序：ConstrainedMin500*x+300*y+250*z , x=1,1.17-0.45*x=1,0.882-0.27*x-0.18*y=1,X=1,Y=1,Z0., y-0, z-0 由上述求解过程可得： 0.，0，0，=1888.889（万元）问题二：排污管道设计在排污管道设计中，工程师最关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。经验表明，对于圆截面的排污管道，这些

18、量之间有如下的经验公式 其中，Q代表流量（）；代表管道坡度；D代表管道直径（m）; 是三个需要通过经验测定的经验参数。现有一组数据表（表4.1），请你用适当的方法确定的值，以求出具体对应的经验公式。 表4. 1实验序号D/sSQ/()10.3020.0010.038520.6040.0010.228330.9060.0010.665540.3020.010.129350.6040.010.794860.9020.012.310070.3020.050.305380.6040.051.897590.9060.055.5000 1.符号说明Q：代表流量，它是管道坡度S和管道直径D的函数，单位；S：

19、管道坡度；D：管子直径，单位是m；：需要测定的经验参数。2.问题分析与求解本问题是拟合问题，由于要求较高的精确度，故不能用线性模型拟合来解决。对经验公式两边取对数，得到令，经验公式变为关于的二元线性函数 为借助最小二乘法来确定参数的值，记 参照处理线性模型拟合的方法，考虑平方和 于是求解归结为三原函数的极值问题，有多元函数的极值问题的必要条件得 整理可得 这是关于的线性方程组，引进符号 得到如下线性方程组 如果求出该线性方程组的解为，则拟合函数 即为所求的经验公式。借助Mathematica求解，对应求解过程如下：In1: = d = 0.302, 0.604, 0.906, 0.302, 0

20、.604, 0.902, 0.302, 0.604, 0.906 ; s = 0.001, 0.001 ,0.001, 0.01, 0.01, 0.01, 0.05, 0.05, 0.05; q = 0.0385, 0.2283, 0.6655, 0.1293,0.7948, 2.3100, 0.3053, 1.8975, 5.5000; s1 = SumLogdk, k, 1, 9; s2 = SumLogsk, k, 1, 9; s3 = SumLogdk2, k, 1, 9; s4 = SumLogdk* Logsk, k, 1, 9; s5 = SumLogsk 2, k, 1, 9;

21、 f0 = SumLogqk, k, 1, 9; f1 = SumLogdk* Logqk, k, 1, 9; f2 = SumLogsk* Logqk, k, 1, 9; a = 9, s1, s2, s2, s3, s4, s2, s4, s5; b = f0, f1, f2; LinearSolvea, b Out1 = 3.567, 2.6187, 0.于是所求的经验公式为 为检验拟合效果，计算拟合函数再点处于流量函数的误差In2: = zx_, y_: = Exp3.567 * (x2.61879) * (y0.)In3: = Tablezdi, si qi,i, 1, 9Out2

22、= -0., 0., 0., 0., 0., -0., 0., -0.从结果可以发现，拟合函数在拟合点处与流量函数的最大误差为-0.，拟合效果较好。五、实验结果分析和总结对于问题一：模型B与模型A比较，由于水质控制的范围缩小了，从全面水质污染控制到居民点(上游)水质控制，因此，治理费用也随之减少，这是充分利用了江水自净的功能。 从模型A到模型B，都是由于控制范围的逐渐缩小而使得总费用降低，当然，我们这里的数据是设定的，不一定合乎实际，但是计算结果反映了对江水污染控制的规律，是符合人们的认识的。当然，在实际中可以根据实际数据，用此模型算出各污染点的治理系数。这些数据可以作为控制污染的参考数据。越

23、大，说明这个污染点越需要加强治理，越小，治理的要求就可以降低，这样也可以分得出治理的轻重缓急。对于问题二：根据最小二乘法原理，建立了二元线性函数，进行了拟合。通过编写Mathematica算法求解，计算确定了设计排污管道的三个参数，同时，也通过二次数值逼近验证了其精确性，最大误差为-0.。求解过程理论性强，逻辑严密，对于污水管道问题的解决具有很好的现实指导作用，有关部门也可以作为污水管道问题处理时的参考指标。六、实验心得及体会通过对污水控制规划和排污管道设计问题的上机实验操作，一方面加深了我对最小二乘法、曲线拟合、线性规则、最佳平方逼近多项式、离散正交多项式曲线拟合等方法的原理和过程进一步理解

24、，另一方面也提高了我上机实验和实际问题处理能力。同时，对函数在计算科学中的应用有了更深的认识和理解。数学实验也就是计算机仿真实验（即计算机模拟），将所要研究问题的数学模型转换为输入计算机进行运算的形式，或将所研究的问题设计成实验，将图形显示在计算机屏幕上，由计算机进行大量计算，甚至推导与证明，得出某种新的结论或新的发现。这种研究方法正在部分地代替实际试验或成为其重要的补充。特别是一些自称为“实验数学家”的新潮数学家正在创立一种新的数学研究方法，即主要通过计算机实验从事新的发现。在这些数学家看来，数学正在成为一门“实验科学”。而在我看来，由于计算机的出现，今日的数学已不仅是一门科学，还是一种关键

25、的普遍使用的技术。数学实验涉及到很多学科知识，具有非常高的实用价值。在我个人看来，数学实验建立在模型的基础上，能让空间图像变得更直观化，丰富我们的空间想象能力以及思维活度，提高我们的自主创造力。其次，数学实验把数学与其他学科联系起来，比如物理、计算机，在做数学实验与数学建模的过程中，需要我们通过计算机技术把数学基础理论与物理知识联系起来做出物理模型来研究问题，这样通过跨学科的方式使我们的知识面更广阔，思维更灵活。再者，在学习和生活中，当我们遇到很繁琐的问题需要解决时，我们可以运用数学实验的知识编出相应的程序，这样可以使问题得到简单化。数学实验的目的是为了提高我们学习数学的积极性，提高我们对数学

26、知识的应用意识并培养我们用所学的数学知识和计算机技术来认识和解决实际问题的能力。不同于传统的数学学习方式，它强调我们学生以动手为主的数学学习方式，而且促进了数学同其他学科之间的结合，从而使我们有时间去做更多的创造性工作。数学实验是一门基础的课程，不仅仅是我自己动手参与的实验给予了我很多的启示，还有很多同学的实验都给了我深深的启发。使我对数学学习有了新的认识，在枯燥繁琐的计算之外，数学有着自己更广阔的天地，而且内容丰富多彩，更有学习的价值。通过这门课，我学会用了一种以前未尝试过的方法来学习数学；学会用另一种角度来看待数学；学会如何发现数学中美的一面。可以说，数学实验课让我对数学的学习产生了一种全

27、新的认识。虽然学习的时间很短，并且在学习的过程中也遇到了很多困难，但是最后我都通过查阅资料解决了一系列问题。因此，我认为态度还是最重要的，对于任何一门学科，我们只有用一种端正的态度去对待，用坚持不懈的精神去钻研才能学到更多的知识，取得更大的进步。七、致 谢通过这一学期数学实验的学习，使我收益良多，收获颇丰。此次的数学试验设计过程中，得到张老师细致和耐心的指导，深受感激。张老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓实验设计思路，精心点拨、热忱鼓励。在实验的一些环节中，无不得到张的悉心指导和帮助。在实验报告的写作和措辞等方面，他也总是以“专业标准”严格要求我，正是由于张老师的无私帮助和细

28、心指导，我的试验设计报告才能够得以顺利完成。同时，同学也提出了很多很好的意见，对我的实验设计进行了修改和进一步的完善，在此表示感谢。最后，感谢张老师这一学期的授课，在此，向您说一声“谢谢”，以表其感谢之情。八、参考文献1高雷阜.最优化理论与方法.沈阳：东北大学出版社，2005.2郑大钟.线性系统理论.北京：清华大学出版社，20023薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题与MATLAB求解.北京：清华大学出版社，20084张金荣. Mathematica应用指南M上海：华东师范大学出版社，20025谢云荪、张志让.数学实验.北京：科学出版社，20056董氏虹，高志，余啸海. Mathematica与工

29、程应用.北京：国防工业出版社，2004.7常巍，谢光军，黄朝峰.数学实验.北京：北京大学出版社，2007.98袁鸿，刘涛明.数学实验.西安：西安电子科技大学出版社，20038王向东，戎海武，文翰.数学实验.北京：高等教育出版社，2005九、附 录附录1：Matlab曲线拟合源代码function niheclcclose allformat long% 数据读取range=c7:d4221；xy=xlsread(data.xls,range);ydata=xy(:,1);xdata=xy(:,2)*1000;figure(name,数据显示)subplot(211)plot(xdata,yda

30、ta,.)title(原始数据)% 剔除坏点sel1=excludedata(xdata,ydata,domain,0 500);%剔除负值sel2=excludedata(xdata,ydata,box,50 450 200 300);%剔除坏点sel=sel1&sel2;xdata=xdata(sel);ydata=ydata(sel);subplot(212)plot(xdata,ydata,.)title(剔除坏点以后的数据)% 使用拟合工具箱options = fitoptions(Method,NonlinearLeastSquares,. Lower,100,0,1,. Uppe

31、r,300,10,30,. Startpoint,200,0.5,10);ffun = fittype(x/E+k*(x/E)n,independent,x,options,options);disp(=拟合工具箱拟合=)cfun,gof = fit(xdata,ydata,ffun)figure(name,拟合工具箱拟合效果)plot(cfun,r,xdata,ydata,b.)% 使用优化工具箱options=optimset(TolFun,1e-8,TolX,1e-6,MaxFunEvals,1e3,MaxIter,1e3);x0=1e-3 18 200;x,resnorm=lsqcur

32、vefit(objfun,x0,xdata,ydata,options);fprintf(n)disp(=优化工具箱拟合=)k=x(1)n=x(2)E=x(3)Resnormxx=0:0.1:500;yy=objfun(x,xx);figure(name,优化工具箱拟合效果)plot(xdata,ydata,b.)hold onplot(xx,yy,r)% 目标函数function y=objfun(x,xdata)k=x(1);n=x(2);E=x(3);y=xdata/E+k*(xdata/E).n;附录2：最小二乘拟合多项式的存在唯一性证明过程 证明：由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的

33、系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组 （33）有非零解。式(33)可写为 （34）将式（34）中第j个方程乘以 j=0,1,，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别相加，得因为其中所以是次数不超过n的多项式，它有m+1n个相异零点，由代数基本定理，必须有，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解。设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。附录3：Gauss消元法求解线性方程组的源代码function x=DelGauss(a,b)% Gauss消去法n,m=size(a);nb=length(b);det=1;%存储行列式值x=zeros(n,1);for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)=0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);enddet=det*a(n,n);for k=n:-1:1 %回代 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);end