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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第1课时平面向量的概念与表示1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.3.理解相等向量的含义及向量的一些概念.4.理解零向量的特点.一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向行驶,虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么?问题1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:在数学中,把既有大小又有方向的量叫作.如:等.数量与向量的区别:只有大小没有方向,是一个代数量,比较大小、进行运算;有方向、大小的双重性,比较大小,向量的大小是一个数量(正数或0),可以比较大小.向量
2、与有向线段的区别:有向线段是具有的线段,有向线段AB记作:,起点一定写在终点的前面;的长度也叫作的长度;有向线段的三要素:、;向量只有和方向两个要素,与无关;向量可以用有向线段来表示.问题2:向量的表示方法:几何表示法:用表示,即用表示向量的有向线段的来表示,如图,以A为起点,B为终点的向量表示为向量;字母表示法:向量可以用小写字母来表示,书写时用,等表示(印刷时用黑体字a、b、c表示),如图,向量可表示为a.问题3:向量的有关概念:(1)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作,向量不能比较大小,但向量的可以比较大小.(2)零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量,记作0.(
3、3)长度等于的向量叫作单位向量.(4)平行向量:方向的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量);规定向量0与任一向量平行.(5)相等向量与相反向量:的两个向量是相等向量;的两个向量互为相反向量.问题4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关系,表示两个非零平行向量的有向线段可以,也可以在;平行线段和共线线段是几何图形,有位置关系,两条平行线段所在的直线一定,不会共线,反过来,两条共线线段一定在,不会平行.1.给出下列物理量:质量;速度;力;位移;路程;密度;功.其中是向量的有().A.2个B.3个C.4个D.5个2.已知a,b为两个单位
4、向量,下列结论正确的是().A.a=bB.a=b或a=-bC.若ab,则a=bD.|a|=|b|3.下列命题中,正确的序号是.平行向量的方向相同;不相等的向量一定不平行;零向量只能与零向量相等;若两个向量在同一条直线上,则这两个向量一定共线;两个非零向量相等,当且仅当它们的模相等且方向相同;单位向量都相等.4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点,然后又改变方向向北偏东30走了300 km到达C点,最后又改变方向,向西行驶了150 km到达D点.(1)作出向量,;(2)求|.与向量相关的概念关于向量有下列说法: 方向相同或相反的非零向量是平行向量;长度相等且方向相同的向量叫相等的向
5、量;有公共起点的向量叫共线向量;零向量与任一向量共线;若|a|=|b|,则a=b或a=-b.其中正确说法的序号是.相等向量与共线向量如图,四边形ABCD是正方形,BCE为等腰直角三角形.(1)找出图中与共线的向量; (2)找出图中与相等的向量;(3)找出图中与|相等的向量;(4)找出图中与相等的向量.向量概念的实际应用已知飞机从甲地向北偏东30的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地向南偏东30的方向飞行2000 km到达丙地,再从丙地向西南方向飞行1000 km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?下列说法中正确的是.若|a|b|,则ab;共线向量一定相等;起点不同,但方向相同
6、且模相等的几个向量是相等向量;若|a|=0,则a=0;与非零向量a共线的单位向量是.如图,四边形ABCD中,=,N、M分别是AD、BC上的点,且=.求证:=.已知两个力F1,F2的方向互相垂直,且它们的合力F的大小为10 N,其与力F1的夹角是60,求力F1,F2的大小.1.设O为等边三角形ABC的中心,则向量,是().A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等的向量2.下列各命题中,正确的是().A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a|=|b|,|b|=|c|,则a=cC.若|a|=|b|,则ab或a-bD.若a=b,b=c,则a=c3.下列说法正确的是.相等的向量,若起点不
7、同,则终点一定不同与非零向量共线的单位向量有两个不相等的向量一定不平行4.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)模与的模相等的向量有多少个?(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量?(3)请写出与共线的向量有哪些?(2013年四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=,则=.考题变式(我来改编):答案第二章平 面 向 量第1课时平面向量的概念与表示知识体系梳理问题1:向量力、速度、加速度、位移数量能代数向量不能方向线段AB有向线段起点方向长度大小起点问题2:有向线段起点与终点字母问题3:(1)|模(3)1个单位(4)相同或相反(5)大小相同,方向相同大小相同,
8、方向相反问题4:平行同一条直线上平行同一条直线上基础学习交流1.B判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而没有方向,所以不是向量.2.D单位向量的模为1,但方向不确定.3.根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,故不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故不正确;由于零向量只能与零向量相等,故正确;由共线向量的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论方向如何,它们一定共线,故正确,但是应注意当两个向量共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定义知,正确;虽然
9、单位向量的模都相等,但它们的方向可以不相同,因此不正确.4.解:(1),如图.(2)由图可知和方向相反,故与共线.又|=|=150 km,所以ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形,故|=|=300 km.重点难点探究探究一:【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量,所以正确,不正确;长度相等且方向相同的向量叫相等的向量,故正确;规定零向量与任一向量平行,故正确;混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向相同或相反.【答案】【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质,从概念
10、去分析判断,并注意它们的区别.规定:零向量与零向量相等,零向量与任何向量共线.探究二:【解析】(1)与共线的向量有、.(2)与相等的向量有、;(3)与|相等的向量有、.(4)与相等的向量是.【小结】非零向量共线或平行,有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等;(2)两个向量方向相反且模相等;(3)两个向量方向相同且模不相等;(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的区别.探究三:【解析】如图,A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知,三角形ABC为正三角形,AC=2000 km.又ACD=45,CD=1000,ACD为直角三角形,即AD=1000 km,CAD=45
11、.所以丁地在甲地的东南方向,距甲地1000 km.【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型,将实际问题“数学化”.思维拓展应用应用一:由于向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,故不正确;由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等),故不正确;由于向量与起点位置无关,故正确;忽略了0与0的区别,由|a|=0,知a是零向量,即a=0,但a0,故不正确;因为与任一非零向量,共线的单位向量有两个,一个与a方向相同,一个与a方向相反,所以不正确.应用二:=,|=|,且ABCD.四边形ABCD是平行四边形.|=|,且DACB.又与的方向相同,=.同理可证,四边形CNAM是平行四边形,=.|=|,
12、|=|,|=|,且DNMB.又与的方向相同,=.应用三:设表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则表示合力F,因为F1与F2垂直,所以平行四边形OACB是矩形,所以|=|cos 60=5,|=|sin 60=5,因此,力F1和F2的大小分别为5 N和5 N.基础智能检测1.C由正三角形的性质可知,的长度相等.2.D向量是既有大小又有方向的量,大小相等,但方向却不一定相同,故A、B不正确;向量不能比较大小,故C不正确;向量相等可以传递.3.认为错误是考虑到零向量,对于零向量,虽然起点和终点重合,但当起点不同时,终点也是不同的;认为错误是误以为与非零向量a共线的单位向量只有,而把与方向相反的向量漏掉了,两个向量只要方向相同或相反就是平行向量,故不正确.4.解:(1)因为在正六边形中,各条边长与中心O到各顶点的距离都相等,所以模与的模相等的向量有23个.(2)存在,如、等.(3)与共线的向量有、和、.全新视角拓展2+=2,=2.思维导图构建大小方向长度为零同向单位1平行或重合
北师大版数学必修四：平面向量的概念与表示导学案含解析
