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1、三角函数的图象与性质一【课标要求】1能画出的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图像，观察参数对函数图像变化的影响二【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段
2、表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2012年高考对本讲内容的考察为：1题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2热点问题是三角函数的图象和性质，特别是的图象及其变换；三【要点精讲】1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心4由的图象变换出的图象一般有两个途径
3、，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得的图象。5由的图象求其函数式：给出图象确定解析式的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降
4、情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9五点法作的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的值，再描点作图。四【典例解析】题型1：三角函数图象的变换1.为得到函数的图像，只需将函数的图像A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位
5、C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位 2. 函数的部分图象如图所示，则的值为A BC7 D03.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ， B ，C ， D ，4.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位5.函数在区间的简图是（）6.下面有五个命题：函数的最小正周期是.终边在轴上的角的集合是.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数的图像向右平移得到的图像。函数在上是减函数。其中真
6、命题的序号是 （写出所言 ）7.要得到函数的图象，只要将函数的图象A 向左平移1个单位 B向右平移1个单位C 向左平移 个单位 D 向右平移个单位【解析】选 左+1，平移8.试述如何由的图象得到的图象解析：另法答案：（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象；（2）再将上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象；（3）再将图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到的图象。9.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
7、,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 10.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D. 解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.答案:A【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.题型2：三角函数图象的应用1.已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围2已知函数（）求函数的
8、最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域3已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.4.已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？五【思维总结】1数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的2作函数的图象时，首先要确定函数的定义域3对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。4求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。5求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。6函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。7判断的单调区间，只需求的相反区间即可，一般常用数形结合而求单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9
高三数学专题复习：三角函数的图像与性质
