新教材北师大版数学必修四：两角和与差的三角函数的应用导学案含解析

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1、（新教材）北师大版精品数学资料第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos

2、cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):tan(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用的角的变换形式=-=-;=(+)+=(+)-;(+)=(-)-(-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =sin(+)=cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =,tan =).1

3、.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-B.-C.D.2.若0,-0,cos(+)=,cos(-)=,则cos(+)=().A.B.-C.D.-3.已知cos(+)=,(0,),则cos =.4.若3sin x-cos x=2sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:2sin 50+sin 10(1+tan 10).两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、

4、都是锐角,且sin =,sin =,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.B.C.D.在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-cos(+15)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos

5、 A=.4.已知0,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交

6、汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):tan(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用

7、的角的变换形式=-=-;=(+)+=(+)-;(+)=(-)-(-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =sin(+)=cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =,tan =).1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-B.-C.D.2.若0,-0,cos(+)=,cos(-)=,则cos(+)=().A.B.-C.D.-3.已知cos(+)=,(0,),则cos =.4.若3sin x-cos x=2sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:2sin

8、 50+sin 10(1+tan 10).两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、都是锐角,且sin =,sin =,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.B.C.D.在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-cos(

9、+15)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos A=.4.已知0,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简

10、、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):ta

11、n(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用的角的变换形式=-=-;=(+)+=(+)-;(+)=(-)-(-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =sin(+)=cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =,tan =).1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-B.-C.D.2.若0,-0,cos(+)=,c

12、os(-)=,则cos(+)=().A.B.-C.D.-3.已知cos(+)=,(0,),则cos =.4.若3sin x-cos x=2sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:2sin 50+sin 10(1+tan 10).两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、都是锐角,且sin =,sin =,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.B.C

13、.D.在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-cos(+15)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos A=.4.已知0,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始

14、边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(-)cos(+)sin cos +cos sin sin cos -cos sin 问题2:(1)tan(+)(1-tan tan )tan(-)(1+tan tan )(2)(3)tan(+)tan tan (4)-tan(-)tan tan 问题3:(+)(-)(-)(-)(-)基础学习交流1.C原式=sin 45cos 15-cos 45sin 15=sin(45-15)=.

15、2.Ccos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-),而+(,),-(,),sin(+)=,sin(-)=,cos(+)=+=.3.(0,),+(,),sin(+)=,cos =cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=+=.4.解:3sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),又(-,),=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=tan 15=tan(60-45)=2-.(2)原式=(2sin 50+sin 10)sin 80=(2sin 50+2sin 10)cos 10=2sin 50cos 10+si

16、n 10cos(60-10)=2sin(50+10)=2=.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去求值;化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)sin(A+B)=,sin(A-B)=,=2,tan A=2tan B.(2)A+B,sin(A+B)=, tan(A+B)=-,即=-,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=,舍去负值,得tan B=, tan A=2tan B=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=,由AB=

17、3,得CD=2+, AB边上的高等于2+.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】0,0, 0+,又cos =,cos =,sin(+)=sin cos +cos sin =+=,又 0+, +=或.问题+会等于吗?结论通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.+,、都是锐角,sin =,sin =,0,0,0+.于是,正确解答如下:0,0, 0+,又cos =,cos =,cos(+)=cos cos -sin sin =-=.又在0之间,余弦值为的角只有,+

18、=.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43-13)=sin 30=,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-,tan Atan B=-,则tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-=2.应用三:A、B均为钝角且sin A=,sin B=,cos A=-=-=-,cos B=-=-=-.cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=-(-)-=.又A,B,A+B2.由,知A+B=.基础智能检测1.A原式=sin(+45)+30+cos(+45)-cos(+45)-30=sin(+45)+cos(+45)+cos(+45)-cos(+45)-sin

19、(+45)=0.2.Ccos x+cos(x-)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=(cos x+sin x)=cos(x-)=-1.3.sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin Asin Bcos A=sin(C+A)=sin B,又sin B0,所以cos A=.4.解:0,+,+.又cos(-)=sin(+)=,cos(+)=-=-,cos(+)=-=-.sin+(+)=sin(+)+(+)=sin(+)cos(+)+cos(+)sin(+)=(-)-=-.sin(+)=.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos =,cos =.由于,为锐角,所以sin =,sin =.从而tan =7,tan =,所以tan(+)=-3.(2)因为tan(+2)=tan(+)+=-1,又0,0,所以0+2,从而+2=.思维导图构建sin(x+)cos(x-)