自相关函数与偏自相关函数

《自相关函数与偏自相关函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自相关函数与偏自相关函数（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而 自相关函数和偏自相关函数 是分析随机过程和识别模型的有力工具。1自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程 xt中的每一个元素Xt , t = 1,2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即E (Xt)=1 , t =1,2,随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量2Var (xj - ;x , t =1,2，T：用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。相隔k期的两个随机变量xt与xt的协方差即滞后k

2、期的自协方差，定义为:k =Cov (Xt, Xt 丄)=E( Xt - )(Xt 丄-)自协方差序列：k , k =0,1, 2，称为随机过程 Xt的自协方差函数当 k = 0 时，0 = Var (xt) =。1#V_A 当，当0自相关系数定义：pCov(Xt,xJvar (Xt/Var 区丄)因为对于一个平稳过程有：Var (xt) =Var (xt) -；xCov(Xt,XtA)c2Xc2X以滞后期k为变量的自相关系数列(k =0,1, 2,)称为自相关函数。因为二匸丄，即Cov(xt，xt)= Cov(xt,xt ,)，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即

3、可。2、自回归过程的自相关函数(1)平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1)过程：人二必丄-ut ,冷1直1。已知E(xt)=O ( why?)。用xt上同乘上式两侧Xt Xt上二】XtXt上 UtXt上上式两侧同取期望：k = 1 k丄2其中 E(utxt 上)=0 ( why?)(由于 Xt = Ut + *1 Ut-1 + 1 Ut-2 + ,所以 Xt-k = Ut-k + *1 Ut-k-1 +12 Ut-k-2 +，而Ut是白噪音与其t - k期及以前各项都不相关)。两侧同除0得：几二1=12二二1k0因为；-o = 1，所以有二T ( k _0 )对于平稳序列有訂。所以当1为正时

4、，自相关函数按指数衰减至零；当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见下图。因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。1 勺0-1 情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图。1. 543210 -1 -2 -3 -4nmnPDE21468110112 J 14 = 1.1 （强非平稳过程）1. 00. 50. 0-0. 5-1. 0-1. 51 28101214;-| = 1 （随机游走过程）用xt丄（k、则同乘平稳的（2） AR（p）过程的自相关函数 p阶自回归过程Xt =：也 Xt/亠 7pXt

5、_p Ut的两侧，得： Xt 上 Xt hXtXt2XjXt /亠.亠 JpXpXt-XtUt对上式两侧分别求期望得：k = 1 k2 k/ k，k 0用 0分别除上式的两侧得 Yule-Walker方程：Jk =1 ： k -1 +2 k -2 + + pi k -p , k 0p令:：（L） =1 -丄-2L2 -pL （1- GiL），其中L为k的滞后算子，这里G,i 4i = 1,2,是特征方程（L） =0的根。为保证随机过程的平稳性，要求Gi| V1。则：1 一一-，pG=0，也即 G=花心2Gik，pGk。kkk可证：几二 AG J2G2 ，ApGp （*）其中Ai, i = 1,

6、，p为待定常数。（提示：可把（*）式代入到Yule-Walker方程中证明）由（* ）式知道会遇到如下几种情形。 当Gi为实数时，（* ）式中的AjG：将随着k的增加而几何衰减至零，称为 指数衰减。 当Gj和Gj表示一对共轭复数时， 设Gi =a bi , G j =a -bi ,a2 b2 = R,则Gi ,G j的极座标形式是:Gi 二 R(cos 二 i sin 寸)G j = R(cos v - i sin r)若AR（p）过程平稳，则Gi：:1，所以必有 R 2。4、ARMA (1, 1)过程的自相关函数ARMA (1, 1)过程的自相关函数:-k从 门开始指数衰减。二1的大小取决于

7、1和 刊“的符号取决于(1 T )。若1 0,指数衰减是平滑的，或正或负。若1 0，相关函数为正负交替式指数衰减。对于ARMA ( p, q)过程，p, q _ 2时，自相关函数的表现形式比较复杂，可能是指数衰减、正弦衰减或二者的混合衰减。5、相关图(correlogram，或估计的自相关函数，样本自相关函数)对于一个有限时间序列(X1, X2,XT)用样本平均数1 TT 二 xt t -1估计总体均值丄用样本方差T2 1 . _ S =(xt -X)T y估计总体方差:二X。当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图或估计的自相关函数，记为CkC0k = 0, 1 , 2,K，(K

8、1时， =0。所以AR(1)过程的偏自相关函数特征是在0.8k = 1出现峰值(11 = “)然后截尾。0.81112#2468101214#ll 0AR(1)过程的偏相关图对于AR(2)过程，当k 2时，霍=0。偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性。对于AR(p)过程，当k p时，*kk = 0。偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性， 因此可用此特征识别 AR(p)过程的阶数。对于 MA(1)过程 xt = ut + th Ut-1，有1/ (1+ 丁 L) xt = ut ,2 2(1-71 L + 71 L -)Xt =ut ,23xt = x t-1 - x t-2 + T1 x t-3 - +ut当71 时，自回归系数的符号是正负交替的；当 r .2（K - p -q），则拒绝 Ho。其中表示检验水平；p, q分别表示时间序列模型中自回归和移动平均滞后项的个数。实际检验中，K取15左右即可。16