专题13导数法巧解单调性问题备战高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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1、 考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个

2、区间是增(减)函数【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式（)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。已知函数的增（减）区间，应得到（）0，必须要带上等号。求函数的单调增（减）区间，要解不等式0，此处不能带上等号。单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】1【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 当时，所以在单调递增，当时，；当时

3、，；当时，；在单调递增，在单调递减；（2）令，有，令，有，当时，单调递增，即当，即时，在单调递增，不等式恒成立，当时，有一个解，设为根，有单调递减；当时，单调递增，有，当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线的一条切线过点.（）求的取值范围；（）若，.讨论函数的单调性；当时，求证：.【答案】(1);(2)见解析.见解析.【解析】【分析】(1) 求出，设切点为，则切线方程为，由切线过点，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（2）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；要证明

4、，只需证明，而，所以成立.（2）当时， .（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ii）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；（iii）当时，在区间上是增函数；（iv）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数.证明：当时，要证明，只需证明，而，所以成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 类型二、求函数的单调区间【例3】【江苏省苏州市第

5、五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数，其中N，2，且R（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当时，令，若函数有两个极值点，且，求的取值范围；（3）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）依题意得， 令，得；令，得 则函数在上单调递减，在上单调递增 （2）由题意知：则， 令，得，故方程有两个不相等的正数根，（），则 解得 由方程得，且 由，得 ， ，即函数是上的增函数，所以，故的取值范围是 ， 又，根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.【例4

6、】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数.（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）【详解】（1），而，即，解得.（2）函数的定义域为.当时，的单调递增区间为；当时，.当变化时，的变化情况如下:由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（3），于是.因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立. 又因为函数的定义域为，所以有在上恒成立.于是有，设，则，所以有，当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.类型三

7、、已知函数的单调性求参数的范围【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数.（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）对于任意的正实数，且，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【详解】（1）依题意，导数 对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立;又因为当时（当时取等号），则，故实数的取值范围是. (2)由于目标不等式中两个字母与可以轮换，则不妨设.令，则. 欲证目标不等式 . （）根据（1）的结论知，当时在上递增.又因为，则，则不等式（）正确，故原目标不等式得证. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调

8、性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)alnxax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围【答案】a；减区间为(，4)和(1,0)，增区间为(4

9、，1)和(0，)方法、规律归纳:1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间方法二：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符

10、号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性实战演练:1【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2x），则（）A f（x）在（0，2）单调递增 B f（x）在（0，2）单调递减C y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则（2）若，则的图像关于直线对称；若，则的图像关于点对称2若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C令，令，解得，令，解得，在递减，在递增，而，故，实数的取值

11、范围为，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围3【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】函数与，这两个函数在区间上都是减函数，则实数（ ）A B C D 【答案】D4【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A B C D 【

12、答案】C 【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.解析：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，设其解为，则，因此方程的两解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要条件是，解得或，因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C. 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.5【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】当时，则下列大小关系正确的是（ ）A B C D 【答案】D 6【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 （ ）A B C D 【答

13、案】B即在区间上有解，即设，则，所以，实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，转化与划归思想的应用，属于中档题.已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象 .7【江西省南昌市2017-2018学年度高三理科数学第二轮复习测试卷】已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（ ）A B C D 【答案】B 8【吉林省吉大附中2

14、018届高三第四次模拟考试】已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】分析：根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数的特征求出 的取值范围。详解：因为所以 9【安徽省江南片2019届高三上学期开学摸底联考】设函数，其中，（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）在，内是增函数，在，内是减函数；（2）；（3）【解析】【分析】（1）代入，由导数，可求得单调区间。（2）因为，即只有一个根x=0,且是奇次根，只需=0无

15、实数根。（3）只需，由条件可知，从而恒成立所以。【详解】（1）当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数即，在上恒成立，所以，因此满足条件的的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及通过函数的极值求参数范围，不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.10【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知函数，() 设函数，讨论函数的单调性；（）求证：当时，【答案】(1)见解析.(2)见解析.（）要证，即

16、证，令， 当时，成立； 当时， 当时，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即成立，故原不等式成立【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性和证明不等式成立，导数题目中含有参量较为常见，那么就要进行分类讨论，如何分类，为何这样分类一定要理清楚11【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数（）讨论函数在上的单调性；（）证明：恒成立.【答案】（1），当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）见解析 ，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（）证法一：由（）可知，当时，特别地，取，有，即，所以（当且仅当时

17、等号成立），因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，设（），则，当时，单调递减，当时，单调递增.所以，当时，即在上恒成立.因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立. 12【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四）】已知函数（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围.【答案】()见解析（）.【解析】【分析】（）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（）由（）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围（4）当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增；（）当时，有唯一零点

18、不符合题意；由（）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，必有两个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出本题能较好的考查

19、考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等13【广东省东莞市2018年全国卷考前冲刺演练精品卷】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数.当时，若函数在上为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1) 在上单调递减，在，上单调递增.(2) .（2）记函数，考察函数的符号对函数求导得当时，恒成立当时，从而在上恒成立，故在上单调递减.又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的，使，所以当时，当时，当时，在上恒成立综合，知当时，函数在为增函数故实数的取值范围是.【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，

20、恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.14【江苏省南通市2018年高考数学模拟试题】已知函数，记，当（1）求证：在上为增函数；（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明【答案】（1）见解析（2）见解析所以当时，在上恒成立当n=k+1时， 所以 又当时，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数由得证，对于任意，在上均为增函数【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（三）】已知函数，其中为正实数.（）求的单调区间；（）证明：当时，.【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为;(2)见解析.【详解】（）由得，所以的定义域为.，由得，所以当时，；当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.