浅谈转化思想在中学数学中的应用

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1、浅谈转化思想在中学数学中的应用摘 要 ： 数学是一门重要的学科，学好数学也是现在中学生所面临的问题想要解决这一问题，就要认识到数学思想是数学的核心，而数学思想的核心是转化思想因此了解转化思想在中学数学中的应用无论是对教师还是学生都是非常重要的本文将先从转化思想的概念、分类、 作用以及意义等方面介绍转化思想， 然后再从中学数学的代数、几何、 概率三方面对转化思想的具体应用进行详细阐述， 列举具体例 子使其更有说服力 关键词 ： 转化思想；中学数学；代数；几何；概率； 应用中图分类号：G633 6Discussion on the transformation ideology inmiddle

2、school mathematicsAbstracts: Mathematics is an important subjec，t the problems faced to learn mathematics is now the middle school students To solve this problem， we should be aware of the thought of mathematics is the co，re while the core of mathematical thinking is the transformation of ideas Ther

3、efore understanding the application of transformation ideology in middle school mathematics whether the teacher or the students are very important This paper will start from the concept， classification， transformation of ideological role and significance are introduced into ideas， and then from alge

4、bra， geometry， probability of secondary school mathematics in three aspects the specific application of the transformation of thoughts in detail，cite specific examples to make it more convincing Keywords: transformation ideology; Middle school mathematics; algebra;geometry; probability; applicationC

5、LCNO: G633 6目录摘 要1Abstracts11 引言12 转化思想概述 12.1 转化思想的概念 12.2 转化思想的分类 12.3 转化思想的作用和意义 23 转化思想在中学数学中的应用 23.1 转化思想在中学代数中的应用 23.1.1 转化思想在集合的应用 3.3.1.2 转化思想在函数的应用 4.3.1.3 转化思想在方程与不等式中的应用 5.3.2 转化思想在中学几何中的应用 73.2.1 转化思想在平面几何的应用 7.3.2.2 转化思想在立体几何的应用 8.3.2.3 转化思想在解析几何的应用 9.3.3 转化思想在概率中的应用 104 总结10参考文献 121 引言

6、数学是一门非常神秘的学科， 它存在于生活中的各个角落 伟大的数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”所以现在的中学生更应该学习认识数学、理解数学、 应用数学 要想让现在的中学生学会数学， 重点在培养学生掌握数学思想方法 转化思想是数学思想中比较常用的重要方法， 也是中学生在解决数学问题时不可缺少的一种思想 本文将对转化思想进行解析， 并具体阐述其在中学数学解题中的应用2 转化思想概述2.1 转化思想的概念辩证唯物主义认为， 任何事物内部都存在着矛盾， 一切互相矛盾的东西总是存在联系的，在一定条件下相互矛盾的事物可以相互转化，从而

7、推动事物的发展数学问题中的条件与条件、条件与结论之间存在差异，差异也是矛盾，解题过程就是不断地有目的地和有效地转化矛盾，最终解决矛盾的过程，也可以说，解题就是转化1转化思想是数学思想方法的核心 转化思想又称化归思想， 是解决数学问题时的基本思想，是一种有效的数学思维方式所谓的转化思想方法， 就是在解决问题时， 通过某种转化， 将未解决的问题转化成已知或者已经解决的问题， 使原问题得到答案的方法 一般都是将难以解决的问题转化成容易解决的问题， 将复杂的问题转化成简单的问题， 将实际问题转化为数学问题， 等等 因此数学思想方法中的其他方法都是根据转化思想得来的在解决数学问题时，都在不知不觉中运用着

8、转化思想，比如 : 在用数形结合的思想解题时，把数与形进行转化 ; 在对问题做分类讨论时，使局部与整体相互转化等等 它们都是转化思想的具体体现 如观察法、 分析法、 换元法、 构造法、反证法、待定系数法等都是转化的手段2.2 转化思想的分类转化思想遍布甚广， 解决中学数学问题时所用到的思想都有着转化思想的影子比如分类讨论思想就是转化思想中的化大为小、化繁为简 ; 分类讨论将一个大问题按照一定条件分成几部分， 分别进行讨论， 这就将大问题转化成若干个小问题，小问题都得到了解决，那么大问题就迎刃而解了再比如数形结合法、换元法以及待定系数法这些方法都是转化思想中的等价转换; 数形结合法包括形转化为数

9、的方法和数转化为形的方法，不论是哪一种方法都运用了转化思想; 换元法和待定系数法虽然方法不同但是所用原理是一样的， 都是设参数， 并将参数带入到题中已知条件进行计算，使解题更加顺畅，它们可以统称为参数法最后，还有转化思想中的不等价转化， 其中最有代表性的就是反证法， 将原问题转化到其对立面，从这个对立面出发寻找矛盾，以证明原命题的正确性2.3 转化思想的作用和意义转化思想在中学数学中具有重大的作用和意义 从宏观上看， 转化思想是解决问题中形成数学构想的依据，例如解析几何就是把几何问题转化为代数问题从微观上看，数学问题的解决过程就是发现问题、分析问题，直到把问题转化为容易解决的问题或者已经解决的

10、问题的过程 2 因此，转化思想对于现代中学生具有重要的意义“转化”是探究新知识的基本策略 教师运用转化思想进行授课可以帮助学生通过旧知识理解新知识， 可以让学生更加容易接受新知识， 在教师的指导下更好的探究新知识“转化”是整合知识的重要纽带 转化思想可以将新旧知识联系起来， 在学生的头脑中建立起知识框架， 有利于学生在解题时能够灵活的运用知识， 提高学生的应变能力“转化”也是教学中情感与态度价值目标的倾心追求 让学生学会灵活运用转化思想尤为重要， 不仅仅能提高学生的做题能力， 同时也有助于学生处理所遇到的实际问题，提高学生自主解决问题的信心3 转化思想在中学数学中的应用在解决数学问题时， 需要

11、考虑不同问题之间的联系， 它们或者是等价关系或者是矛盾关系， 这样才能更好的运用转化思想 下面主要从中学代数、 中学几何以及概率等方面对转化思想的具体方法进行深入说明3.1 转化思想在中学代数中的应用在计算中学代数问题时， 免不了要进行一些复杂的计算， 而运用转化思想进行思考，会更容易解决问题下面主要从中学数学代数中的集合、函数、方程与不等式等方面进行详细的阐述3.1.1 转化思想在集合的应用在高中数学第一堂课学习的就是集合的概念，它也是以后学习更高深数学的基础.转化思想在集合上也是有广泛的应用，例如 ：或者可以和 (是 的子集)相互转化.下面用具体例子进行讲解.(1)集合中转化思想的等价转化

12、3例1设集合 xx2 x 12 0, 集合 xkx 1 0,如果，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为多少 ？解：xx2 x 12 0,根据 x2 x 12 0,得-4,3,又由知 ；(1) 当集合为空集时，k 0;(2)当集合 为非空集合时，将x 4,x 3带入集合，八k 1得 4k 1 0,则 43k 1 0.1k 一.31 11综上，集合k 0,1, 1,则集合k中所有元素的和为-,积为0.4 312小结：本题的解题关键在于能够根据得到 (集合 是集合的子集)的结论，之后再对集合 的两种情况进行讨论，转化思想就这样无形的 运用在集合的解题中.(2)集合中转化思想的不等价转化例2已

13、知集合xax2 x 2 0且集合 中至多有一个元素，求实数a的取值范围.解：方程ax2 x 2 0有两个不等实数根的条件a 0, 2_1 4a ( 2)即0.a 0,1 8a0.1斛行:a 0, a 一 .81所以，方程ax2 x 2 0至多有一个实根的条件为a -.8小结：在集合中，有时就会用到补集，在全集 U中有集合 和集合，则Cu ,这就将原题转化到其对立面，这样解题就更加方便.3.1.2转化思想在函数的应用函数是特殊的映射，而映射就是由一个集合到另一个集合的一种转化，所以函数本身就是转化思想的体现，有关于函数的解题过程更是少不了转化思想的参 与.(1)求函数最值中转化思想的应用例3求函

14、数y lg(10 Mx2 2x 5)的最小值.解：设 f(x) x2 2x 5 (x 1)2 4,当x 1时，f(x)有最小值4,从而Vx2 2x 5有最小值2.因此函数 y lg(10，x2 2x 5)有最小值：lg(10 2) lg12.小结：这道题是将求对数函数最值问题转化为求二次函数的极值问题，相较 于求复杂对数函数的最值问题，求二次函数极值问题要更容易求得，因此在求这 类问题时，运用转化思想可以让思路更加广阔，这也是转化思想中的化大为小、 化繁为简在解题中的具体应用.(2)三角函数中转化思想的应用2 A secA 12 Asin A 1 冏例 4 化间 cot A sec A .1

15、sin A1 secA2 ，1解：原式 cs_A cosA _J_ sinA 1sin A 1 sin A cos A11cosAcos A(1 cos A)sin2 A(1 sin A)sin A 1cos A(1 cos A)2222cos A(1 cos A) sin A(sin A 1)2I-八sin Acos A(1 sin A)(1 cos A)222cos Asin A sin A cos A0. 2 TZ ,sin AcosA(1 sin A)(1 cos A)小结：三角函数也是函数的一种，在解答三角函数问题时应用转化思想中的等价转化思想将复杂的函数关系变得简单.就如本题中将不

16、常用的cot A、secA转化为我们所熟悉的sinAcosA,减少了解题的困难.例5求证：函数f (x) cosx cos Jx不是周期函数.证明：用反证法.设正数T是f(x)的周期.由定义，cos(x T) cos；(x T) cosx cos/x ,对于一切非负实数都成立.取 x 0 ,有 cosT cosqT 2 ,必有 cosT 1 ,且 cosb 1 .T 2k (k N),且T 4n22,可得 上(k,n N),2n此式左边是无理式，右边是有理数，显然不成立.原假设不成立，故f(x) cosx cosyjx不是周期函数.小结：本题运用的是不等价转化思想中的反证法，先假设原命题的对立

17、面成 立，再根据假设出发进行推理，找出矛盾证明假设不成立而原命题成立.3.1.3转化思想在方程与不等式中的应用在学习解方程的时候就运用了转化思想，如：方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图像与x轴有交点 函数y f(x)有零点.同样，解不等式的学习过 程也是在运用转化思想的过程，如：将含绝对值不等式转化为不含绝对值不等式 进行计算，将分式不等式转化为整式不等式进行计算等.(1)转化思想中的换元法例6解方程组：22 cx y xy6,x3 y3 19.解:对原方程组的两个方程因式分解：xy(x y) 6,22、(x y)(x xy y ) 19.设x y u, xy v.代入上式得：uv

18、6,(1)2u(u 3v) 19. (2)由(2)得：u3 3uv 19,将(1)代入得：u3 18 19,u3 1,u 1 .将u 1代入(1)得：v 6,x y 1, xy 6.解之得:x 3,y 2；x -2, y -3.答:原方程的解是:3,x -2,2；y-3.x y, xy 用由此可见，小结：本题的解题过程运用了转化思想中等价转化的换元法，将 u,v代替，从解题步骤中可以看出u,v的出现使之后的计算更加容易. 转化思想在解方程这方面起着重要的作用.(2)转化思想在不等式中的应用例7解关于x的不等式也)解:处3x 2a(x 1)x 2a(x 1)1 0,(x 2)x 2(a 1)x

19、(a 2)0,0,(x 2)(a 1)x(a 2)0,(a 1)(x 2)(x一)a 10.(1)当 a 1 时，(x 2)(xa_2)比较2与a2的大小：22 _a1 a当a1 时，(x 2)(x2)(i)当 0(ii)当 aa 1 时，0时，a 1从而20,从而2 a(iii)当 a0时，显然不等式不成立.答：a 1时，x 2或x0 a 1时，2 xa 0 时，a2 x 2 . a 1小结：本题先将分数不等式转化为整式不等式，然后又对参量a的不同情况进行讨论，充分展现了转化思想的等价转化和化大为小、 化繁为简，先将分数不 等式转化为整式不等式，再将大的问题分成若干个小问题，逐一解决.3.2

20、转化思想在中学几何中的应用虽然有关几何的数学题不像代数题那样需要大量的计算， 但是几何题更加考 验学生的数学思维能力，它不需要我们去思考如何计算，它需要更多的去思考所 给条件与结论之间的关系，这个过程更加需要转化思想的加入.下面将从中学几 何中的平面几何、立体几何、解析几何三方面对如何运用转化思想进行详细论述.3.2.1 转化思想在平面几何的应用转化思想也活跃在平面几何中，对于每道题的转化方向也是不一样的，这需要我们根据具体情况来决定转化方向，使问题简单化.(1)运用等价转化解决平面几何问题例8已知A,B,C是ABC的三个内角，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设1s -(a b c), r

21、是 ABC的内切园半径，求证:S abc sr -解：设 ABC的内切的圆心为O,则圆O与AB、BC、CA分别切于连 OA, OB, OC, OD, OE, OF, OE OD OF r.S ABC S BOCS COA S AOB1 ar21(a2sr1br21 cr2b c)D, E, F,S ABC sr -小结：这道平面几何题比较简单，应用了转化思想中的等价转化，先将大三 角形等价转化成三个小三角形的和，再找出三个小三角形与所需证明结论之间的 关系，再次进行等价转化，这样就能得到本题的解题步骤.（2）运用数形结合平面解决几何问题例9已知两同心圆，内、外圆半径分别是 r,、r且内圆的弦A

22、B与外圆的弦PQ垂直（B为垂足），求证：AP2 AQ2 PQ2是定化5分析：由垂径分弦的性质，如图2,作OM 分别是PQ、AB的中点，设AP a , PQ b下面利用 APQ的底边PQ上的中线来建 立联系.连接AM ,由三角形中线长公式，PQ, ON AB ,那么垂足M、N AQ c, OM m, ON n .有a2 c2 AM 2 (b)2 a又AM2_2AB2BM2BM22 4( NB)2 4m2b、2而(2)m2 , m2 n2r；,所以2ri2 （定值）.-22a bc22AM 2 2PM 2 (2PM)2 6r2解:VF D,DEVD, EDF ，C1D1A1EA图3小结：本题利用转

23、化思想中的数形结合思想解题，将几何中的“形”转化为 “数”，对三角形内的线段赋予具体的数，再利用三角形的性质列具体式子，最 后整理出所要证明的结论.3.2.2 转化思想在立体几何的应用有关立体几何的题有时要比平面几何要难的多，因为在立体几何中，不容易发现条件与结论之间关系，需要学生有一定的空间想象能力与转化能力.例i0如图，正方形ABCD ABiCiDi的棱长为i, E, F分别为线段AABQ上的点，求三棱锥D1 EDF的体积.分析：从图3中可以看出因为点E,F的位置 不固定，所以三棱锥Di EDF的体积不容易计 算出来，但是可以将计算三棱锥 Di EDF的体 积转化为计算三棱锥F DiDE的

24、体积，三棱锥F Di DE的底的面积与高的长度都能简单的 计算出来，这样就能计算出三棱锥 Di EDF 体积.又VF DiDE - S DiDE h， 311rr11S D1DE DD1AD11工,1222而B1c与平面ADD1Al平行，故点F到平面ADD1A1的距离为1,即h 1.、，、，11,1VF D DE Vd EDF 1 113 26小结：本题所用到的转化思想是等价转化，将不易求得体积的三棱锥D1 EDF转化成容易求出体积的三棱锥 F DDE .本题也是数形结合在几何中 的应用.由此可见，转化思想在立体几何中也是有一定地位的.3.2.3转化思想在解析几何的应用中学数学的解析几何问题主

25、要是圆， 椭圆，双曲线等曲线的问题，转化思想 在解析几何中的作用主要是设参数，用极坐标方程解决问题.6例11以原点为圆心，分别以a,b(a b 0)为半径作两个圆，点B是大圆半 径OA与小圆的交点，过点 A作AN Ox垂足为N ,过点B作BM AN垂足为M ,求当大圆半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹方程.图4解：如图4所示，设点M的坐标是(x,y), 是以x轴为始边，OA为终边的正二 4在果. mri x ON a cos角，为参数，则，y MN bsin即x acos ,这是所求点M的参数方程.y bsin将上述方程组中的两个方程变形，xcos得a ,再将这两方程两边平方后相 y .sin

26、b力由此可知，点M的轨迹是椭圆，其方程为 I)2 (义)2 1 . a b小结：本题是求某一点的轨迹问题，在求这一类问题时有很多解题方法，这一题应用的是等价转化思想中的数形结合，先设参数，再根据题意列出相应的参数方程，将直角坐标系上的问题转化到极坐标系上的问题，再由cos2 x sin2 x 1这一性质再次转化为直角坐标方程，这样的转化让列式、解题都更加容易.3.3转化思想在概率中的应用在概率中，互为对立的两个事件 A, B,有P(A) 1 P(B).所以，在计算 步骤复杂的概率问题时，可以将问题转化到对立面，这样就可以快速的计算出结 果.例12现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，赵同学

27、从中任取3道题 解答，求赵同学至少取到1道乙类题的概率.解：设事件A ”赵同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A ”赵同学所取的三道题都是甲类题” .因为P(A)5所以 P(A) 1 P(A)-.6小结：本题中“赵同学至少取到1道乙类题”的事件包括“他取到 1道乙类 题”，“他取到2道乙类题”，“他取到3道乙类题”这三个事件，如果从正面解此 题需要计算三次，如果从它的对立面考虑则只需要计算一次即可.从这道题可以 明确地了解到转化思想中的不等价转化思想在解决这类问题的优势.4总结7数学转化思想，就是在研究或解决数学问题时，先对原问题进行相关联想, 再通过已学习的知识将原问题通过变换进行转化

28、，从而达到解决问题的效果.转化思想是数学思想的核心，渗透在数学研究以及解题的各个领域中，也可以说 它是数学思想的精髓，它把待解决的问题通过某种转化形式变换成比较容易解决 的问题或者已解决的问题.想要灵活的运用转化思想必须熟练地掌握数学的基础 知识、基本方法以及基本技能，并且要有丰富的联想力和细微的观察能力， 要善 于发现事物的本质，找到本质之间的联系，只有这样才能得心应手的运用转化思 相同 ，口、当然，并不是在每一道数学题都适用转化思想来解决. 有一些比较简单的数 学问题直接计算就能得到结果，如果运用转化思想或许会使问题变得更加复杂， 这就违反了转化思想的宗旨：将难以解决的问题转化为容易解决的

29、问题.所以， 在解决问题时一定要考虑是否有运用转化思想的必要.9转化思想在中学数学中有着广泛的应用， 由于个人能力有限， 本文只是从部 分内容进行重点讨论，没有涉及全面会在以后的学习中进一步研究转化思想参考文献1肖学平.智慧的阶梯一一论数学思想方法的教与学M.北京：国防大学出版社，2002.2王子兴.数学方法论M.湖南：中南工业大学出版社，1997.3张雄,李德虎.数学方法论与解题研究M.北京：高等教育出版社，2004.4孙海正，王得福，于永泉.数学解题M.吉林：吉林人民出版社，1980.5梁法驯.数学解题方法M.武昌：华中理工大学出版社，1995.6任樟辉.数学思维论M.南宁：广西教育出版社，1998.7乔治波利亚.数学的发现M.北京：科学出版社，2007.8谢秋影.转化思想在初中数学解题中的应用与实践J学周刊，2013(14):196-197.9张艳芳，王国强.谈数学解题中的转化思想J.科学教育，2010(5):95-96.