最新高中数学北师大版必修四教学案：第一章 167;4 第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性 Word版含答案

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1、最新北师大版数学精品教学资料第1课时单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性核心必知1任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆(2)正弦、余弦函数的定义：如图所示，设是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作vsin_；点P的横坐标u叫作角的余弦函数，记作ucos_(3)正弦、余弦函数的定义域，值域：通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数ysin_x和ycos_x它们的定义域为

2、R，值域为1，1(4)正弦函数、余弦函数值的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 2.周期性(1)周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2k(kZ，k0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系sin(2k)sin_(kZ)；cos(2k)cos_(kZ)问题思考1等式sin(30120)sin 30是否成立？如果这个式子成立，那么能

3、否说明是正弦函数ysin x的周期？提示：根据三角函数的定义sin 150sin 30成立，但不能说是ysin x的周期，在周期函数定义中，对每一个x都有f(xT)f(x)，则T是周期，而等式sin(x120)sin x，不是对任意的x成立如x0时sin 120sin 0.2公式sin(2kx)sin x，kZ；cos(2kx)cos x，kZ，揭示了什么规律，有什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2(或0到360)角的三角函数值讲一讲1已知角的终边在射

4、线y2x(x0)上，求角的正弦值和余弦值尝试解答法一：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y2x(x0)又因为x2y21，所以于是sin y，cos x.法二：在角的终边上任取一点P(x，y)(x0)，则OP|x|，又因为x0，所以OPx.所以sin ；cos .求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法：(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义(2)利用正、余弦函数定义的推广：若P(x，y)是角终边上的任意一点，则sin ，cos 练一练1多维思考本讲中，把“射线y2x(x0)”改为“直线y2x”，求sin ，cos .解：设直线y2x与单位圆的交点为P(x，y)则解得P(，)或(，)当x0时

5、，P(，)，则sin ，cos ；当x0，且cos 0，试确定所在的象限尝试解答(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)sin 20，2k22k(kZ)，kk(kZ)当k为偶数时，设k2m(mZ)，有2m2m(mZ)；当k为奇数时，设k(2m1)(mZ)有2m2m(mZ)为第一或第三象限角又由cos 0；当角的终边在y轴的右侧时，cos 0.2对于确定角所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角所在象限，则它们的公共象限即为所求3由kk(kZ)确定所在象限时应对k进行分类讨论练一练2已知sin cos 0

6、，试写出角所适合的集合解：sin cos 0，cos 0 Bsin 0，cos 0Csin 0 Dsin 0，cos 0时，sin ，cos ，当a0时，sin ，cos .一、选择题1如果315角的终边过点(2，a)，则a等于()A2 B2 C D2解析：选Bcos(315)cos 45，解得a2，又315是第一象限角，a22cos 等于()A B. C1 D1解析：选Bcos cos cos .3已知角的终边过点(x，6)，若sin ，则x等于()A. B C D解析：选Dsin ，解得x.4设A是第三象限角，且|sin |sin ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象

7、限角解析：选DA是第三象限角，是第二、四象限角又|sin |sin 0，sin 0，易知为第四象限角二、填空题5sin (330)_解析：sin(330)sin(36030)sin 30.答案：6如果cos x|cos x|，那么角x的取值范围是_解析：cos x|cos x|，cos x0，2kx2k，kZ.答案：x|2kx2k，kZ7若点P(2m，3m)(m0)在角的终边上，则sin _，cos _解析：如右图，点P(2m，3m)(m0)在第二象限，且rm，故有sin .cos .答案：8sin 420cos 750sin(690)cos(660)_解析：原式sin(36060)cos(72030)sin(72030)cos(72060)sin 60 cos 30sin 30cos 601.答案：1三、解答题9已知f(x3)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期解：f(x6)f(x3)3f(x)，f(x)是周期函数，且6是它的一个周期10已知cos 0，sin 0.(1)求角的集合；(2)判断sin，cos的符号解：(1)由cos 0，sin 0可知，的终边落在第三象限角的集合为|2k2k，kZ(2)2k2k，kZ，k0，cos0；当为第四象限角时，sin 0.