万变不离其宗：高中数学课本典例改编之选修2－1、2－2、2－3：专题二 圆锥曲线与方程 Word版含解析

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1、专题二 圆锥曲线与方程一、题之源：课本基础知识1椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1

2、(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b23双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(02a2c)，则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在4双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR

3、，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)5抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上6抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p

4、的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0 xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y07曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线8曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为

5、F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点二、题之本：思想方法技巧9直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系10直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(

6、k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.二、题之本：思想方法技巧1.在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|2a”这个条件，若|F1F2|2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|2a，则轨迹不存在.2.椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为1(m0，n0，且mn)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定.3.求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a，b的两个方程，求参数a，b的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值.

7、4.充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中.5.直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式与零的大小关系来判定.6.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.7.椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1，r2.1(ab0)，r1aex0，r2aex0；1(ab0)，

8、r1aey0，r2aey0；焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形.r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；Sb2tanc，当b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(4)AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l|y1y2|；直线AB的斜率kAB

9、.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现.8.对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点.9.双曲线的定义中，当时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”.10.定义中|F1F2|2a这个条件不可忽视，若|F1F2|2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|2a，则轨迹不存在.11.在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，

10、则焦点就在哪个轴上.12.在椭圆中，a，b，c满足a2b2c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2a2b2，即c最大.13.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.14.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0，B0，AB时为椭圆，当AB0时为双曲线.15.双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为(0).(2)双曲

11、线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|，则1(a0，b0)，若点P在右支上，则r1ex0a，r2ex0a；若点P在左支上，则r1ex0a，r2ex0a.1(a0，b0)，若点P在上支上，则r1ey0a，r2ey0a；若点P在下支上，则r1ey0a，r2ey0a.16.抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握.17.求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法.若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2mx或x2ny(m0，n0).若m0，开口

12、向右；若m0，开口向左.m有两解时，则抛物线的标准方程有两个.对n0与n0，有类似的讨论.18.抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化.19.抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r.y22px(p0)，rx0；y22px(p0)，rx0；x22py(p0)，ry0；x22py(p0)，ry0.(2)焦点弦：若AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1

13、，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，l.则：x1x2；y1y2p2；弦长lx1x2p，因x1x22p，故当x1x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径).20.对于圆锥曲线的综合问题，要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.21.在给定的圆锥曲线f(x，y)0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点

14、M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0及x1x22m(或2x)，y1y22n(或2y)，从而求出斜率kAB，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程.22.对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组.为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定

15、点的知识加以解决. 以“求直线l：ykx2k1(k为参数)是否过定点？”为例，有以下常用方法：待定系数法：假设直线l过点(c1，c2)，则yc2k(xc1)，即ykxc1kc2，通过与已知直线方程比较得c12，c21.所以直线l过定点(2，1).赋值法：令k0，得l1：y1；令k1，得l2：yx3，求出l1与l2的交点(2，1)，将交点坐标代入直线系得12k2k1恒成立，所以直线l过定点(2，1).赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程.参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得yk(x2)1，令k的系数为0，得x2，y1，k的取值是任意的

16、，但l的方程对点(2，1)恒成立，所以直线l过定点(2，1).若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系.23.给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解.24.圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解.25.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；

17、(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程26.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程.27.要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.28.求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，

18、则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明.29.根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律：(1)单点的轨迹问题直接法待定系数法；(2)双动点的轨迹问题相关点法；(3)多动点的轨迹问题参数法交轨法.30.利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x，y的取值范围的制约.31.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：(1)曲线f(x，y)0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2ax，2by)

19、0；(2)曲线f(x，y)0关于ykxb的对称曲线的求法：设曲线f(x，y)0上任意一点为P(x0，y0)，点P关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则由轴对称的条件知，P与P的坐标满足从中解出x0，y0，将其代入已知曲线f(x，y)0，就可求出曲线f(x，y)0关于直线ykxb对称的曲线方程.32.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）

20、给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11） 在中，给出,等于已知是中边的中线;33.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函

21、数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解34解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围三、题之变：课本典例改编1. 原题（选修2-1第四十一页例2）如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上

22、运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？改编1 设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程【解析】设点M的坐标为，点P的坐标为，则，即，因为点P 在圆上，所以即，即，这就是动点M的轨迹方程改编2 设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程2. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编1 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t（0，1求M的轨迹方程，并说明曲线的类型【解析】设M（x，y），则 (x0)，(x0)，=-t， =-t(x

23、0)，整理得1(x0)（1）当t（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）改编2 已知点的坐标分别是、,直线相交于点,且它们的斜率之积为. 求点轨迹的方程.【解析】设，则，整理得：.改编3 设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.【解析】拓展：椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积；椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积.（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中的分母为分母）由拓展，知 改编4 椭圆斜率的取值范围是 ( ) A. B.

24、C. D.【解析】由拓展，知选B改编5 已知椭圆上一点,过点的直线与椭圆分别交于（不同于）且它们的斜率满足，则直线过定点_.【解析】由拓展，关于原点对称，即直线过定点.改编6 如图，若为椭圆的右顶点，直线、交直线于两点，则的最小值为 【答案】. 改编7 已知直线yx与椭圆C：交于两点，过点作斜率为k的直线l1直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x4的交点为Q，过Q点作直线的垂线l2求证：直线l2恒过一定点 【解析】可求得，且关于原点对称，由拓展知，又,而l1：，则l2；即令则恒过定点3原题（选修2-1第四十二页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，是

25、椭圆的左焦点（1）求的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？改编（2006年全国卷）：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是AB6 C D124. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线：上任取一点M，过点M且以双曲线的焦点为焦点作椭圆(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程【解析】(1)故双曲线的两焦点过向引垂直线：，求出关于的对称点，则的坐标为（4，2）（如图）， 直线的方程为。，解得 即为所求的点.此时，=(2)设所求椭圆方程为， 所求椭圆方程为.5. 原题（选修2-1第四十八页练

26、习第4题）改编 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程.6. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）改编 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（，0）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程【解析】（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1椭圆与双曲线共焦点，设椭圆方程为=1，椭圆过（，0），=1，即=2，椭圆方程为=1（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且 =1得，即x=，y=，两式消掉b得 y=x令=0，即b=3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x3，即当x=时斜

27、率为2的直线与椭圆相切所以平行弦得中点轨迹方程为：y=x（x）7. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第1题）如果点在运动过程中，总满足关系式点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.改编 方程的解是_.【解析】由得，令，则上式可化为，由椭圆的定义知，到两定点和的距离之和为10的点的轨迹方程是将代入上式，可解得8. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第6题）改编 已知椭圆的方程为若点是椭圆上第二象限内的一点，且求的面积.【解析】.推广，对于椭圆：，焦点为为椭圆上的一点，已知，的面积为.9原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）改编 、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到

28、焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 10原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）改编 经过点A（2，1）作直线L交双曲线于，两点，求线段的中点P的轨迹方程【解析】设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：，（2）；又设（，），（，），P(x，y)，则，必须是（2）的两个实根，所以有+= (-20)按题意，x=，x=因为(x，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=+1=再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程11原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两

29、点A、B，试确定实数a的取值范围，使12. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编 直线l与抛物线相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OAOB则直线l过定点 【解析】设点A，B的坐标分别为（，），（，）（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k0且b0联立方程得：消去y得，由题意：=，又由OAOB得，即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）；（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m0，联立方程解得 ，即=-2m，又由OAOB得，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为

30、：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）13. 原题（选修2-1第八十页复习参考题A组第4题）改编 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.【解析】.14. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）改编 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求的面积.15. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第3题）改编 过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，自A,B向准线作垂线，垂足分别为,，求证：.【解析】由抛物线定义知则，又，则，即.16. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知三点共线，且，则的最小值为 .