专题24三角形中的范围问题你处理好了吗备战高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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1、 考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中，由.2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围.基础知识回顾:1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为

2、关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面积公式：（1） （为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（其中为外接圆半径）4、三角形内角和：，从而可得到：（1）正余弦关系式： （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式： 6、辅助角公式：，其中 应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【海南省海南中学2018届高三第五次月考】设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为

3、a,b,c, （）求B的大小;（）若,求的取值范围.【答案】（1）（2） 即：即：又 的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题【例2】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在中，角，的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）)若角是钝角，且，求的取值范围.【答案】(1) .(2) . ，由得的范围是.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二

4、步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例3】【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、所对的边分别是、，且，求周长的取值范围【答案】（1）对称轴方程为，对称中心为，（2）由，的对称中心为，（2），得：，又，点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：，由正弦定理得：，的周长范围为【例4】【四川省2015级高三全国卷冲刺演练（一）】在中，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1

5、）；（2）.由等面积法可得，则.（2）设.角必为锐角.为锐角三角形角，均为锐角，则，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.类型三、与面积有关的范围问题【例5】【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（新课标卷）】在锐角三角形中，内角，所对的边分别为，且

6、（1）求；（2）若，求的面积的取值范围【答案】（1）；（2）由正弦定理可得，即，即.又，可得.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减如图，四边形中，为的内角的对边，且满足（1）证明：；（2）若，设，求四边形面积的最大值【答案】（1）见解析;（2）. 方法、规律归纳:1、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅

7、在一个三角形内有效。 2、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值实战演练:1【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试】在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）设，则.在中，由余弦定理知:. ， 又，的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出的表达式，再结合的范围求函数的值域. 2【辽宁省

8、大连市2018届高三第二次模拟考试】在中，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】 （1） （2）（）在ABC中由正弦定理得 .的周长为 . 点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用. 3【云南省昆明市2018届高三5月适应性检测】在中，内角所对的边分别是，已知（）求；（）当时，求的取值范围【答案】(1)；(2). ，所以

9、，因为，所以（）由正弦定理：得：，所以，因为，所以.点睛：（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理； （2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围。4【湖南省岳阳市第一中学2018届高三第一次模拟考试】已知，设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围.【答案】(1), ;(2).令，则，所以函数的单调递增区间为，.（2）由可知 ，（当且仅当时取等号），所以，综上，的取值范围为.点睛：此类题目是三角函

10、数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.5【重庆市綦江区2018届高三5月预测调研考试】已知， ，函数.（）求函数零点；（）若锐角的三内角、的对边分别是、，且,求的取值范围.【答案】（1）（2）所以函数零点满足,由，解得, 6【四川省攀枝花市2018届高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且. （）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】().(). 【解析】

11、分析：（）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：()由己知 由余弦定理得，所以，即,，所以.综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.7【四川省资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊）】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求A（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.（2）根据余弦定理， ，所以，则有，又，所以的取

12、值范围是【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8【衡水金卷 2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷】在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，且，求边的取值范围.【答案】(1) ；(2) . 9【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考】在中，内角的对边分别为，

13、已知，且.（1）求的值；（2）若， 为的面积，求的取值范围.【答案】(1) (2) （2）由正弦定理得 ，在中，由 得 ， .10【吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试】锐角中， 对边为， （1）求的大小； （2）求代数式的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：（1）， ， ， ，又是锐角三角形， 锐角 （2）由正弦定理得， ,为锐角三角形，且 ，即 , 解得， 故代数式的取值范围 11【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三冲刺诊断考试】已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求实数a的取值范围.【

14、答案】(1)2, .(2) a1,2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果 (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围详解：（1）,，可得f(x)递增区间为,函数f(x)最大值为2，当且仅当，即，即取到. 12【2018年衡水金卷信息卷 全国卷 I A 】已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的

15、取值范围.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即. 在中，由，得.又，所以. 13【天津市部分区2018年高三质量调查（二）】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是.（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）由得，即，又，是锐角三角形，点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题14【2018年普通高校招生全国卷 一（A） 衡水金卷】三信息卷 （五）】在锐角中，内角， ， 的对边分别为， ， ，且.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）将所给的三角恒等式整理变形可得，结合ABC为锐角三角形可得， .（2）设的外接圆半径为，由正弦定理可得.则 ，利用ABC为锐角三角形可求得，则， 周长的取值范围是.（2）设的外接圆半径为，则， . ，由题意，周长的取值范围是.15【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）】在中，三个内角，的对边分别为，设的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，求的取值范围【答案】(1) .(2) .（2）由向量 ， ，得 由（1）知，所以，所以所以 所以 所以即取值范围是