高二数学活中的优化问题举例3

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1、鹿邑三高高二数学组 史琳生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数求出函数的导函数f (x)（2）求解不等式求解不等式f (x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间（3）求解不等式求解不等式f (x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。 导数的应用一导数的应用一:判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间一、复习与引入一、复习与引入1. 一般地一般地,

2、求函数的极值的方法是求函数的极值的方法是: 解方程解方程f(x)=0.当当f (x0)=0时时. 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极大值是极大值;（左正右负极大左正右负极大） 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极小值是极小值.（左负右正极小左负右正极小）0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.导数的应用二导数的应用二:求函数的极值求函数的极值 设函数设函数f(x)的的图象在图象在a,b上是连续不断

3、的曲线上是连续不断的曲线,那那么它必有最大值和最小值么它必有最大值和最小值在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)（即端点的（即端点的函数值）作比较函数值）作比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一最小的一个为最小值个为最小值. 导数的应用三导数的应用三：求函数的最值求函数的最值 .,.,.，问问题题解解决决一一些些生生活活中中的的优优化化数数本本节节我我们们运运用用导导值值的的有有力力工工具具小小导导

4、数数是是求求函函数数最最大大我我们们知知道道习习前前面面的的学学过过通通通通常常称称为为这这些些问问题题最最省省、效效率率最最高高等等问问题题最最大大、用用料料生生活活中中经经常常遇遇到到求求利利润润优优化化问问题题高高汽汽油油的的使使用用效效率率何何时时最最例例1 ?2?,1:,.vw,h/km:vL:w,的含义是什么的含义是什么汽油的使用效率最高汽油的使用效率最高汽油的消越量越大汽油的消越量越大是不是汽车的速度越快是不是汽车的速度越快思考下面两个问题思考下面两个问题根据你的生活经验根据你的生活经验的函数的函数速度速度是汽车是汽车汽油的消耗量汽油的消耗量之间有一定关系之间有一定关系单位单位与

5、汽车的速度与汽车的速度单位单位汽油的消耗量汽油的消耗量我们知道我们知道.,.,使使汽汽油油使使用用效效率率最最高高效效率率虑虑如如何何提提高高汽汽油油的的使使用用这这就就需需要要考考行行驶驶最最长长路路程程或或每每升升汽汽油油能能够够使使汽汽车车耗耗量量最最少少即即每每千千米米路路程程的的汽汽油油消消的的使使用用效效率率最最高高我我们们希希望望汽汽油油当当汽汽车车行行驶驶路路程程一一定定时时现现实实生生活活中中.G, ,.km:s,L:w,swG,G.km/L:的最小值问题就是求量最少每千米路程的汽车消耗求这样单位程表示汽车行驶的路单位表示汽油消耗量其中那么量每千米平均的汽油消耗表示如果用程的

6、比值油消耗量与汽车行驶路就是研究汽单位研究汽油的使用效率.,.,;,工具导数往往是一个有力的在这个过程中使问题得到解决提出优化方案质性再通过研究相应函数的型相应的函数模建立与其和分析并对数据进行整理统计数据大量的的途径之一是通过搜集优化问题解决 .vfg14.1)h/km:(v)h/：L,(g，,所示的函数关系之间有如图单位行驶的平均速度与汽车单位耗量即每小时的汽油消率汽油平均消耗过程中汽车在行驶人们发现对数据进行分析、研究并通过大量的统计数据?,呢呢油使用效率最高的问题油使用效率最高的问题解决汽解决汽中的数据信息中的数据信息我们如何根据这个图象我们如何根据这个图象那么那么510153050

7、6009 901212oh/kmvh/Lg14.1图图.,v)h/L:,(g,.的问题解决汽油使用效率最高图象中的数据信息然后利用之间关系的问题汽车行驶的平均速度与单位油消耗量即每小时的汽消耗率油平均将问题转化为汽我们首先需要因此问题解决汽油使用效率最高从图象中我们不能直接 ?vfg, 14.1使使用用效效率率最最高高否否表表示示在在此此点点处处汽汽油油的的它它是是最最小小值值的的意意义义是是什什么么函函数数如如图图510153050 6009 901212oh/kmvh/Lg14.1图图.t /St /WSWG因为解的问题就转化为求这样vg,?vg,.什么表示从图象上看最小值.g, vvg,

8、24.1的直线的斜率点表示经过原点与曲线上可以看出从图,我们可以发现继续观察图象. h/km90.,度约为在此切点处速其斜率最小当直线与曲线相切时510153050 6009 901212oh/kmvh/Lgkm/Lvg斜率斜率gv24.1图图. L,90f,24.1,.h/km90,约为即中切线的斜率是图每千米的汽油消耗量就值上看从数此时的车速约为量最少即每千米的汽油消耗的使用效率最高要使汽油当汽车行驶距离一定时因此磁磁盘盘的的最最大大存存储储量量问问题题例例2 ?1储储、检检索索信信息息的的吗吗你你知知道道计计算算机机是是如如何何存存 ?2 你你知知道道磁磁盘盘的的结结构构吗吗 ?3信信息

9、息盘盘存存储储尽尽可可能能多多的的如如何何使使一一个个圆圆环环状状的的磁磁 .34.1.bit, 10,.,.,.所示所示构造如图构造如图磁盘的磁盘的特特单元通常称为比单元通常称为比这个基本这个基本或或可分别记录数据可分别记录数据根据其磁化与否根据其磁化与否基本存储单元基本存储单元为为磁道上的定长的弧可作磁道上的定长的弧可作区域区域成扇形成扇形扇区是指被圆心角分割扇区是指被圆心角分割成的同心圆轨道成的同心圆轨道磁道是指不同半径所构磁道是指不同半径所构道和扇区道和扇区化成磁化成磁并由操作系统将其格式并由操作系统将其格式有磁性介质的圆盘有磁性介质的圆盘磁盘是带磁盘是带盘上盘上计算机把信息存储在磁计

10、算机把信息存储在磁背景知识背景知识 34.1图图rR.,.n,m,相同的比特数相同的比特数所有磁道具有所有磁道具有磁盘格式化时要求要求磁盘格式化时要求要求检索的方便检索的方便为了数据为了数据度不得小于度不得小于每比特所占用的磁道长每比特所占用的磁道长于于磁道之间的宽度必须大磁道之间的宽度必须大为了保障磁盘的分辩率为了保障磁盘的分辩率 ?)(,r2?,r1.Rr,R:何何信信息息最最外外面面的的磁磁道道不不存存储储任任存存储储量量磁磁盘盘具具有有最最大大的的为为多多少少时时量量越越大大磁磁经经盘盘的的存存储储越越小小是是不不是是环环形形区区域域的的与与它它的的存存储储区区是是半半径径介介于于的的

11、磁磁盘盘现现有有一一张张半半径径为为问问题题.每磁道的比特数磁道数存储量解.mrR,m,Rr以磁道数最多可达所任何信息且最外面的磁道不存储度必须大于由于磁道之间的宽之间与设存储区的半径介于34.1图图rR34.1图图rR .rRrmn2nr2mrRrf,.nr2,磁盘总存储量以所道上的比特数可达到即每条磁一条磁道必须装满最内为获得最大存储量相同特数又由于每条磁道上的比 .,r,r1磁盘的存储量越大越小不是以判断从函数的解析式上可的二次函数它是关于 .0rf,rf2计算的最大值为求 .2Rr, 0rf,r2Rmn2rf解得令 .mn2R,2Rr,.0rf ,2Rr; 0rf ,2Rr2最大存储量

12、为磁盘具有最大存储量时当因此时当时当?,r,?,磁磁盘盘的的存存储储量量越越大大越越小小是是不不是是此此时时储储量量那那么么如如何何计计算算磁磁盘盘的的存存正正比比与与磁磁道道的的长长度度成成如如果果每每条条磁磁道道存存储储信信息息思思考考利润的影响利润的影响饮料瓶大小对饮料公司饮料瓶大小对饮料公司例例3 ?,1道道理理吗吗你你想想从从数数学学上上知知道道它它的的一一般般比比大大包包装装的的贵贵些些物物品品市市场场上上等等量量的的小小包包装装的的你你是是否否注注意意过过 ?,2饮饮料料公公司司的的利利润润越越大大是是不不是是饮饮料料瓶瓶越越大大.cm6,2.0,mL1.,r,r8.0.2最最大

13、大半半径径为为且且制制造造商商能能制制作作的的瓶瓶子子分分制制造造商商可可获获利利料料的的饮饮已已知知每每出出售售单单位位是是厘厘米米瓶瓶子子的的半半径径是是其其中中分分瓶瓶子子的的制制造造成成本本是是某某种种饮饮料料装装的的瓶瓶并并出出售售球球形形某某制制造造商商制制造造背背景景知知识识 ?,2?,1每每瓶瓶饮饮料料利利润润最最小小瓶瓶子子半半径径多多大大时时润润最最大大能能使使每每瓶瓶饮饮料料的的利利瓶瓶子子半半径径多多大大时时问问题题 23r8.0r342.0rfy, r 所以每瓶饮料的利润是由于瓶子的半径为解 .0r2r8.0rf2 令.6r0 ,r3r8.023 .0rf ,6 ,

14、2r; 0rf ,2 , 0r.0rf ,2r 时当时当时当 .,rf, 0rf ,2r;,rf, 0rf ,2r,利润越低即半径越大单调递减示它表时半径利润越高即半径越大单调递增它表示时当半径因此 ., 02f,cm2此时利润是负值瓶子成本瓶内饮料的利润还不够表示此种这时利润最小时半径为 .,cm6利润最大时半径为?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度 .,3r;,cm3, 03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从 ?,rf ,2 , 0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当 .,请同学们自

15、己作出回答题的问我们很容易回答开始时通过此问题的解决ory2 23r3r8.0rf44.1 图图3.,直观解释直观解释动画演示动画演示:,本本思思路路是是解解决决优优化化问问题题的的基基我我们们不不难难发发现现由由上上述述例例子子.建建模模过过程程程程是是一一个个典典型型的的数数学学上上述述解解决决优优化化问问题题的的过过优优化化问问题题用用函函数数表表示示的的数数学学问问题题优优化化问问题题的的答答案案用用导导数数解解决决数数学学问问题题练习：练习：学校或班级举行活动，通常需要张贴：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴

16、的海报，要求版心面积为的竖向张贴的海报，要求版心面积为上、下两边各空上、下两边各空2dm左、右两边各空左、右两边各空1dm如何设计海报的尺寸，才能使四周如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？空白的面积最小？2128dm则有xy=128，（）另设四周空白面积为，另设四周空白面积为，则（）2(2) 221Sxy 由由（）（）式得式得：128yx代入代入（）（）式中得式中得：256( )48(0).S xxxx02256令S(x)=0,即4-x22568,4 8872)812816()8xSdmydm 最小面积（此时8xdm解：设版心的宽为x dm，长为y dmxy21 1 1824yx解法

17、二：由解法(一)得256256( )482 48S xxxxx2 328722564,8(0)xxxSx当且仅当即时 取最小值16128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小已知已知:某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q的函数关系式为的函数关系式为100 4Cq, 价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为1258pq 求产量求产量 q 为何值时，利润为何值时，利润 L 最大？最大？1(25)(1004 )8LpqCq qq解：利润21211008qq 121,0,4LqL 令84q 求得0L 当时,q84,0L 当时,q84,84qL当产量 为时，

18、利润 最大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq另解：利润2184124bqLa 当时， 的值最大 h b 6 0 0 E D C B A分析分析: :设法把湿周设法把湿周l l求出来求出来, ,这是关键这是关键 h b 6 0 0 E D C B A分析分析: :法一法一: :这是一个几这是一个几何最值问题何最值问题, ,本题本题可用可用对称性技巧对称性技巧获获得解决得解决. . 法二法二: :只要能把只要能把 AE+BEAE+BE代数化代数化, ,问题就易解决问题就易解决A 6某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元

19、时，房间会全部住满；房间的单天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？费房间定价多少时，宾馆的利润最大？房价应订为多少解解:设宾馆定价为设宾馆定价为(18010 x)元时，宾馆的利润最大元时，宾馆的利润最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17, 0)( xxW求得令17,0)( xxW时当17,0)( xxW时；当最大，利润当Wx17（元）此时房价为：3501710180解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示三三小结小结优化问题优化问题用函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答作答再见再见