最新 【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：2.3空间直角坐标系程含答案

《最新 【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：2.3空间直角坐标系程含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新 【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：2.3空间直角坐标系程含答案（44页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、最新精品数学资料第1课时空间直角坐标系及点的坐标 核心必知1空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系(2)坐标系中相关概念如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面2空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系问题思考1

2、画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90？提示：不是空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90，但在画直观图时通常画xOy135，使x轴、y轴确定的平面水平，yOz90，以表示z轴竖直2确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面，于是，交于一点，该点即为所求(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置(3)以

3、原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点讲一讲1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标尝试解答如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.长方体的棱长AD3，DCAB5，DD1AA14，显然D(0,0,0)，A在x轴上，A(3,0,0)；C在y轴上，C(0,5,0)；D1在z轴上，D1(0,0,4)；B在xOy平面内，B(3,5,0)；A1在xOz平面内，A1(3

4、,0,4)；C1在yOz平面内，C1(0,5,4)由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，B1的横坐标为3，纵坐标为5，B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，B1的竖坐标为4，B1(3,5,4)1建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标练一练1如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并

5、确定E，F，G三点的坐标解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|.E点的坐标为.B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.同理可得G点坐标为.讲一讲2求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标尝试解答如图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使AMCM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)过A作ANx轴于N并延长到点B，使ANNB.则A与B关于x轴对称且B(1，2,1)A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)A(1,2，1)关于

6、x轴对称的点B(1，2,1)点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P(x，y，z)关于原点对称,P1(x，y，z)；(2)P(x，y，z)关于x轴对称,P2(x，y，z)；P(x，y，z)P3(x，y，z)；P(x，y，z)P4(x，y，z)记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”(3)P(x，y，z)P5(x，y，z)；P(x，y，z)P6(x，y，z)；P(x，y，z)P7(x，y，z)练一练2设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图

7、)正四棱锥SP1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2Oy轴，P1P4Ox轴，SO在Oz轴上，d(P1P2)a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，P1，P2.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称P3，P4.又|SP1|a，|OP1|a，在RtSOP1中，|SO| a.S.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标错解如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系显然A(0,0,0)，又各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A

8、1(0,0,1)，B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)错因因为三棱柱各棱长均为1，所以ABC为正三角形，即BAC60，即错解中建立的坐标系xOy90.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”正解取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空

9、间直角坐标系，三棱柱各棱长均为1，OAOCO1C1O1A1，OB，A，B，C均在坐标轴上，A，B，C，点A1与C1在yOz平面内，A1，C1，点B1在xOy面内射影为B，且BB11.B1，各点的坐标为A，B，C0，0，A10，1，B1，C1.1z轴上点的坐标的特点是()A竖坐标为0B横坐标，纵坐标都是0C横坐标为0D横，纵，竖坐标不可能都是0解析：选B点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z轴上，所以其横、纵坐标都是0.2已知空间直角坐标系中一点A(3，1，4)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A(3，1,4)B(3，1，4)C(3,1,4) D(3，1，4)解析：选A点A关于x轴的

10、对称点A的y、z坐标都变为相反数，x坐标不变，A(3，1,4)3点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上解析：选C点的纵坐标为0，点在xOz平面上4在空间直角坐标系Oxyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是_解析：求点P关于xOz平面的对称点，只要将y坐标变为原来的相反数，对称点的坐标是(1，2,3)答案：(1，2,3)5已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_解析：设其中点为M(x，y，z)，由中点坐标公式可知x4，y0，z1，故M的坐标为(4,0，1)答案：(4,0，1)6.如图所示，在

11、长方体ABCDABCD中，E，F分别是BB，BD的中点，其中|AB|4，|BC|3，|DD|2.求点E，F的坐标解：点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，而点E的z坐标为1，E(3,4,1)点F在坐标平面xDy上的射影的点的坐标为，而点F的z坐标为2，F.一、选择题1有下列叙述：在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)其中正确叙述的个数是()A1B2C3 D4

12、解析：选C错误，正确2已知点A(3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A(1，3，4) B(4,1，3)C(3，1，4) D(4，1,3)解析：选C空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数A(3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，1，4)3在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(2,3,4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对解析：选BP，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，P，Q关于yOz平面对称4设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()Az轴B与平面xOy平行的一直线C平面xOyD与

13、平面xOy垂直的一直线解析：选D(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线5已知点A(2,3，1v)关于x轴的对称点为A(，7，6)，则，v的值为()A2，4，v5B2，4，v5C2，10，v8D2，10，v7解析：选D两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有2,7(3)，6(1v)，2，10，v7.二、填空题6点A(5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为_解析：点A(5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐

14、标为(5,5，6)答案：(5,5，6)7点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为_解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(2,4，6)答案：(2,4，6)8在空间直角坐标系中，点M(2，4，3)在xOz平面上的射影为M点，则M关于原点对称的点的坐标是_解析：点M在xOz上的射影为(2,0，3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)答案：(2,0,3)三、解答题9如图，棱长为a的正方体OABCDABC中，对角线OB与BD相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标解：因为OB与BD相交于点

15、Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为.同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD与OA的交点，所以Q点的坐标为.10如右图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，且为D1D的中点，故点E坐标为.过F作FMAD，FNDC，则|FM|FN|，故点F坐标为；点G在y轴上，又|GD|，故点G坐标为；过H作HKCG于点K，由

16、于H为C1G的中点，故|HK|，|CK|.|DK|.故点H的坐标为.第2课时空间两点间的距离公式核心必知1长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A，C的线段AC称为长方体的对角线(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|.问题思考1空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|.2已知点P

17、(x，y，z)，如果r为定值，那么x2y2z2r2表示什么图形？提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2y2z2r2知点P到原点的距离为定值|r|.因此r0时，x2y2z2r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面当r0时，x2y2z20表示原点讲一讲1.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AD|3，|CD|4，|DD1|2，作DEAC于E，求点B1到点E的距离尝试解答建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，得A(3,0,0)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，设E(x，y,0)在RtADC中，|AD|3，|CD|4，|AC|5，|DE|.在RtADE中，|DE|2x|AD|，x.

18、在RtCDE中，|DE|2y|CD|，y.E.|B1E| .空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z1z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z1z20，即得平面内两点间距离公式练一练1在空间直角坐标系中，已知ABC的顶点分别为A(1,2,3)，B(2，2,3)，C.判断ABC的形状解：法一：|AB| 5，|AC| ，|BC| .所以|BC|2|AC|2|AB|225，所以ABC是以C为直角顶点的直角三角形法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情

19、况即可|AB|5.|BC| ，|AC| .所以|BC|2|AC|2|AB|2，所以ABC是以C为直角顶点的直角三角形.讲一讲2在xOy平面内的直线2xy0上确定一点M，使它到点P(3,4 ,5)的距离最小，并求出最小值尝试解答点M在xOy平面内的直线2xy0上，设点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP| .当a1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2 ,0)M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐

20、标，不但能减少参数，还能简化计算练一练2在空间直角坐标系中，求到两定点A(2,3,0)，B(5,1,0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件解：点P的坐标为(x，y，z)，则由题意可得|PA|，|PB|，PAPB，等式两边同时平方、整理得6x4y130，P点坐标满足条件为6x4y130.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)求：(1)MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小巧思建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解妙解(1)平面ABCD平面ABEF，平

21、面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD.AB，BC，BE两两垂直以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系则Ma,0,1a，Na，a,0.|MN| (0a0)(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件因此，三个独立的条件可以确定一个圆(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程4直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方

22、法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr，其中d为圆心到直线的距离(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线若切线所过点(x0，y0)在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2；若点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条此时解题时若用到直线的斜率，则要注意

23、斜率不存在的情况也可能符合题意5常用的直线系和圆系(1)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数，且C)(2)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)(3)过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程是：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(为参数，且 0)(4)过直线l：AxByC0(A，B不同时为0)与圆C：x2y2DxEyF0(D2E24F0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数6对称问题对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法一般来说，对称问题可

24、分为四个类型：点关于点的对称；点关于直线的对称点；直线关于直线的对称直线；直线关于点的对称直线归根结底，都可转化为点关于点的对称(1)中心对称点的中心对称：若点M(x1，y1)关于P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得直线的中心对称：主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程(2)轴对称点的轴对称：点A(x0，y0)关于直线l：AxByC0对称点B(x，y)可由方程组求得直线的轴对称：主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程特殊情况

25、：关于x轴对称，方法关于y轴对称，方法关于直线yx对称，方法即x，y对调；关于直线yx对称，方法即x，y对调之后加负号考点1直线的倾斜角与斜率典例1求直线axy20(1a1)的倾斜角的取值范围解直线的斜率ka，k，当0k时，直线的倾斜角满足0.当k0时，直线的倾斜角满足，直线的倾斜角的取值范围是0，.借题发挥求倾斜角的范围，应先求出斜率的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围即可解出相应的答案对点训练1点P(x，y)在以A(3,1)，B(1,0)，C(2,0)为顶点的ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是()A.B.C. D.解析：选D如图，令k，则k可以看成过点D(1,2)和(

26、x，y)的直线斜率，显然kAD是最小值，kBD是最大值由于不包含边界，所以k.考点2求直线方程典例2直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l的方程为1或1(a0)，当直线l的方程为1时，把P(8,6)代入得1，解得a14，直线l的方程为xy140；当直线l的方程为1时，把P(8,6)代入得1，解得a2，直线l的方程为xy20.综上所述，直线l的方程为xy140或xy20.法二：设所求直线l的方程为ykxb(k0，b0)，令x0，得yb；令y

27、0，得x.直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，|b|.b0，k1.当k1时，直线l的方程为yxb，把P(8,6)代入得68b，解得b2，直线l的方程为yx2，即xy20；当k1时，直线l的方程为yxb，把P(8,6)代入得68b，解得b14，直线l的方程为yx14，即xy140.综上所述，直线l的方程为xy140或xy20.借题发挥本题法一和法二分别应用了直线方程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为0.对点训练2一条直线被两条直线l1：4xy60和l2：3x5y

28、60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程解：法一：当直线的斜率存在时，设l的方程为ykx，且l与已知两直线的交点分别为P1(x1，y1)，P(x2，y2)，则由此解得O是P1P2的中点，x1x20，即0，解得k.当斜率不存在时，直线l是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0，6)和(0，)，显然不满足中点是原点的条件所求的方程为yx.法二：设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1，P2的中点，P1与P2关于原点对称若设P1(x0，y0)，则P2(x0，y0)，得x06y00.点P1(x0，y0)，P2(x0，y0)都满足方程x6y0，过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点

29、，所求直线l的方程即为x6y0.考点3两条直线的位置关系典例3已知直线l1：xay2a20，l2：axy1a0.(1)若l1l2，试求a的值；(2)若l1l2，试求a的值解l1：xay2a20，l2：axy1a0.(1)由A1B2A2B10得a210，解得a1.又A1C2A2C10，即1aa(2a2)0,2a2a10，解得a1，且a.综上所述，a1.(2)由A1A2B1B20得aa0.a0.借题发挥设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B1且B1C2B2C1；(2)l1与l2重合A1B2A2B1且B1C2B2C1；(3)l1与l2相交A1B2A2B1；

30、(4)l1l2A1A2B1B20.对点训练3已知直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a的值为_解析：由(a2)(a1)(1a)(2a3)0.即(a1)(a1)0，a1.答案：1或1考点4直线与圆的位置关系典例4已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点；若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OAOB，设直线l的方程是yxb，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，即x1x2y1y20.由消去y，得2x22(b1)xb24b40.

31、所以x1x2(b1)，x1x2(b24b4)，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2(b24b4)b2bb2(b22b4)，把式代入式，得b23b40，解得b1，或b4，且b1，或b4都使得4(b1)28(b24b4)0成立故存在直线l满足题意，其方程为yx1，或yx4.借题发挥本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在对点训练4已知过点M(3，3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为4，求直线l的方程解：将圆的方程写成标准形式，得x2(y2)225，如图，因为直

32、线l被圆所截得的弦长是4，所以弦心距为 ，即圆心到所求直线l的距离为.因为直线l过点M(3，3)，易见，当直线l与x轴垂直时不合题意，所以斜率存在，所以可设所求直线l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d.因此，即|3k1|，两边平方，并整理得到2k23k20.解得k或k2.所以，所求直线l有两条，方程分别为y3(x3)或y32(x3)即x2y90或2xy30.考点5圆的几何性质的应用典例5以原点为圆心，且截直线3x4y150所得弦长为8的圆的方程是()Ax2y25Bx2y216Cx2y24 Dx2y225解析设圆的半径为r，圆心O到直线3x

33、4y150的距离是d3，由题意得d242r2，所以r2324225，所以圆的方程是x2y225.答案D借题发挥圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路对点训练5过点P(2,3)向圆x2y21作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为()A2x3y10 B2x3y10C3x2y10

34、 D3x2y10解析：选B圆x2y21的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为(x1)22.显然这两个圆是相交的，由得2x3y10，这就是弦AB所在直线的方程6求与x轴切于点(5,0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程解：法一：设所求圆的方程为(x5)2(yb)2b2，并且与y轴交于A，B两点由方程组得yb.|yByA|10，|bb|10，b5.所求圆的方程为(x5)2(y5)250.法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)圆与x轴相切于点(5,0)，r|b|，a5.圆在y轴上截得的弦长为10，a2()2r2.由得a5，r5，b5或b5.所求圆的方程为(x5)2(y5)250

35、或(x5)2(y5)250.考点6直线和圆中的最值和范围问题典例6求经过直线x2与已知圆x2y22x4y110的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程解法一：设x2与圆x2y22x4y110的两交点分别为A，B，解方程组得两交点A(2,2)，B(2,2)从而所求圆的圆心的坐标为(2,2)，半径r|AB|2(2)|.因此，所求圆的方程为(x2)2(y2)215.法二：设直线x2与圆x2y22x4y110的交点分别为A，B，且横坐标都为2，从而所求圆的圆心的横坐标为2.设A，B的纵坐标分别为y1，y2，把直线方程代入圆方程，整理得y24y110.则y1y24，y1y211.所以圆心的纵坐标为2.半径r

36、|y2y1|.因此，所求圆的方程为(x2)2(y2)215.借题发挥在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可应用平面几何知识，找到要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求出要求的量的最值对点训练7已知实数x，y满足y，试求m及b2xy的取值范围解：y可化为x2y23(y0)，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图(1)而m可看作半圆上的点与点P(3，1)连线的斜率k

37、PB.设直线y1m(x3)与半圆相切，则.m1(舍去)，m2.m.由b2xy得y2xb，如图(2)，当直线2xyb经过(，0)时，b2；当直线2xyb与半圆相切时，b.b的取值范围为2，阶段质量检测（二）（时间90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1方程x2y22x4y10表示的圆的圆心为()A(2,4)B(2，4)C(1，2) D(1,2)解析：选C方程x2y22x4y10配方后可化为(x1)2(y2)24，圆心为(1，2)，半径为2.2当m为何值时，经过A(m,1)，B(1，m)的直线与过P(1,2)

38、，Q(5,0)的直线平行()A. BC2 D2解析：选A由斜率公式得kPQ，kAB.ABPQ，kABkPQ，解得m.3(陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定解析：选B由点M在圆外，得a2b21，圆心O到直线axby1的距离d1r，则直线与圆O相交4方程x2y22axb20表示的图形是()A一个圆B只有当a0时，才表示一个圆C一个点Da、b不全为0时，才表示一个圆解析：选D原方程配方后可化为(xa)2y2a2b2.当ab0时，它表示(0,0)点；当a、b不全为零时，表示以(a,0)为圆心，半径为的圆5(辽宁高考)将

39、圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心6如图，在正方体OABCO1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|2|EB1|，则点E的坐标为()A(2,2,1)B.C.D.解析：选D易知B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E点的竖坐标z2，E点的坐标为.7不论a为何实数，直线(a3)x2ay60恒过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由(a3)x2ay60，得(x2y)a(63x)0.令得直线(a

40、3)x2ay60恒过定点(2，1)从而该直线恒过第四象限8(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A3 B2C. D1解析：选B圆x2y24的圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，圆的半径为2，所以弦长|AB|22.9两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线条数为()A1 B2C3 D4解析：选B由x2y26x16y480，得(x3)2(y8)2121.圆心(3，8)，半径11.由x2y24x8y440，得(x2)2(y4)264，圆心(2,4)，半径8，圆心矩d13，3d19，两圆相交，公切线条数为2

41、.10过直线x上一点P分别作圆C1：x2y21和圆C2：(x1)2y29的切线，切点分别为M、N，则|PM|与|PN|的大小关系是()A|PM|PN| B|PM|PN|C|PM|PN| D不能确定解析：选C由圆的性质可知点P、C1、M与点P、C2、N分别构成直角三角形，设P，|PM| ，|PN| ，显然|PM|PN|.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_解析：由题意知直线l的斜率存在设为k，由斜率公式k，l与斜率为4的直线垂直，4k1，即41，解得m.答案：12(北京高考)直线y

42、x被圆x2(y2)24截得的弦长为_解析：圆心(0,2)到直线yx的距离为d，圆的半径为2，所以所求弦长为22.答案：213圆C：x2y2x6y30上有两个点P和Q关于直线kxy40对称，则k_.解析：由题意得直线kxy40经过圆心C，由x2y2x6y30可知圆心为C，所以340.解得k2.答案：214若圆x2y22x4y40的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x4y10平行，则直线l的方程为_解析：圆心为(1,2)设所求的直线方程为3x4yD0，由点到直线的距离公式，得2，即2，解得D5或15.故所求的直线方程为3x4y50或3x4y150.答案：3x4y50或3x4y150三、解答题(

43、本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤)15(本小题满分12分)已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.求：(1)直线l的方程；(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.解：(1)由解得则点P的坐标是(2,2)，由于所求直线l与x2y10垂直，可设直线l的方程为2xyC0.把点P的坐标代入得2(2)2C0，即C2.故所求直线l的方程为2xy20.(2)由直线l的方程知它在x轴，y轴上的截距分别是1，2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S121.16(本小题满分12分)ABC的顶点A的坐标为(1,4)，B，C平分线的方程分别为x

44、2y0和xy10，求BC所在直线的方程解：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A关于B，C平分线的对称点都在BC所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC所在直线的方程过点A与直线x2y0 垂直的直线的斜率为2，所以其方程为y42(x1)，将它和x2y0联立成方程组可求得垂足的坐标为，该垂足是点A与点A关于直线x2y0的对称点A的中点，所以可得点A的坐标.同理可求得点A关于直线xy10的对称点A的坐标为(3，0)由于点A，点A(3,0)均在BC所在的直线上，直线BC的方程为，即4x17y120，BC所在直线的方程为4x17y12

45、0.17(本小题满分12分)已知直线l1：xy10，直线l2：4x3y140，直线l3：3x4y100，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程解：设圆心为C(a，a1)，半径为r，则点C到直线l2的距离d1.点C到直线l3的距离d2.由题意，得解得a2，r5，即所求圆的方程是(x2)2(y1)225.18(本小题满分14分)圆C：x2y2x6yF0与直线l：x2y30交于两点P、Q，且OPOQ，求F的值解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立题目中圆和直线的方程并消去y，有5x22x4F270.根据根与系数的关系，有根据题意，有POOQ1x1x2y1y20x1x205x1x23(x1x2)905390F.模块综合