单调性与极值

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1、单调性与极值3(2009北京文)（本小题共14分）设函数。（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点。3.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.10. (2009湖北文)（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知关于x的函数f(x)bx2cxbc,其导函数为f+(x).令g(x)f+(x) ,记函数g(x)在区间

2、-1、1上的最大值为M.()如果函数f(x)在x1处有极值-，试确定b、c的值： （）若b1,证明对任意的c,都有M2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想（满分14分）（I）解：，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即12(2009湖南文)（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（

3、）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。12. 解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减（2） 当a0时，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 当a=1/2时，x1= x2, g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在（0，+）上单调递减; 当0a10x(0，1)时，g(x)0,此时f(x)0,此时f(x)0，此时f(x)o，函数f(x)单调递减 当a0时，由于1/a-10,此时f,(x)0函数f(x)单调递

4、减；x（1，）时，g(x)0此时函数f,(x)0单调递增。综上所述：当a0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;函数f(x)在 (1, +) 上单调递增当a=1/2时,函数f(x)在(0, + )上单调递减当0a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围7(2010年高考安徽卷文科20)（本小题满分12分）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方

5、法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.14（ 2010年高考全国卷文科21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围解：（）当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.15（2010年高考全国卷文科21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,

6、3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。（11安徽文）（18）（本小题满分13分）设，其中为正实数.（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能

7、力.解：对求导得 （I）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知（重庆文）19（本小题满分12分，（）小题5分，（）小题7分）设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且 （）求实数的值 （）求函数的极值19（本题12分）解：（I）因从而即关于直线对称，从而由题设条件知又由于 （II）由（I）知令当上为增函数；当上为减函数；当上为增函数；从而函数处取得极大值处取得极小值全国大纲文）21（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数 （I）证明：曲线处的切线过点（2，2）

8、； （II）若处取得极小值，求a的取值范围。21解：（I）2分由得曲线处的切线方程为由此知曲线处的切线过点（2，2）6分 （II）由 （i）当没有极小值； （ii）当得故由题设知当时，不等式无解。当时，解不等式综合（i）（ii）得a的取值范围是12分12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）设，集合，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.【解析】（1）令，。 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为。因为，所以。 当时，则恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。（2）， 令，得或。 当时，由（1）知，因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小

9、值点。 当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（）讨论的单调性；（）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。解：（1）依题意可得当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；当即时，有两个相异实根且故由或，此时单调递增由，此时此

10、时单调递增递减综上可知当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。（2）由题设知，为方程的两个根，故有因此同理因此直线的方程为设与轴的交点为，得而由题设知，点在曲线的上，故，解得或或所以所求的值为或或。【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。（2013年高考课标卷（文）(本小题满分共12分)已知函数,曲线在点处切线方程为.()求的值;()讨论的单调性,并求的极大值.【答案】 (II) 由(I)知, 令 从而当0. 故. 当.