例谈法向量在高考题中的运用

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1、例谈法向量在高考题中的运用（祝志奇 蕲春理工中专）摘要：新教材中空间向量的出现，为解立体几何提供了强有力的工具，尤其是法向量的引入，在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算与证明，使思路变得顺畅，充分显示出其独特的优势，本文试图结合2008年高考试卷中立体几何题目，谈谈法向量在立体几何中的运用。关键词：法向量 立体几何 高考 数学前言：自2002年课程改革以来，虽然向量在立体几何中应用只是选修内容，但是向量在高考中所占的份量越来越重。以2008年高考为例，几乎各个省市的高考试题重都涉及到向量的解法，而向量运用的最多的是“法向量”。现在高中数学教科书提到的法

2、向量的定义：如果向量平面a，那么向量叫做平面a的法向量.法向量在立体几何中的运用主要在两大部分：1. 利用法向量处理角度问题；2. 利用法向量处理距离问题。3. 利用法向量处理垂直问题，4. 利用法向量处理平行问题 1. 利用法向量处理角度问题在新的课程标准中删掉三垂线定理，及其逆定理，这时在求二面角方面，法向量起着非同寻常的作用。其实当涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量,有cos1.1利用法向量处理异面直线的夹角例1：（福建高考理）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角

3、梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PB与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解:（1）略（2）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos.(3)略评注：如果用几何综合法来做，首先要找到它们的夹角，这样就要作辅助线：连接BO,通过解直角三角形。但是这个

4、题目法向量的方法来做使得计算简洁。 1.2利用法向量处理线面夹角例2：(海南，宁夏高考理) 如图，已知点P在正方体的对角线上，ABCDPxyzH（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小ABCDP解：（1）略 （2）如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，平面的一个法向量是因为， 所以可得与平面所成的角为评注：在这个题目，若用传统的几何法，就必须过D点找到D点到面ABP的高线才能构造出一个直角三角形。而这个高线是非常难找的，是这个题目的难点，这样就增加了做题的难度。要是用向量法来做要注意建立合适的直角坐标系，才能方便计算。 1.3利用法向量处理二面角 笔者调查了2008年

5、高考（理）试卷发现19种试卷中有13个涉及到二面角的知识，现在笔者试图以湖南卷为例来讲解法向量的运用。例3：（湖南高考理）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （1）平面PBE平面PAB;（2）平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.解：（1）略（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0）B（1，0，0），P（0，0，2），易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是，cos 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）

6、的大小是评注：（1）运用法向量求二面角，避免了用几何法难以找出或作出二面角，解决了多数学生感到头痛的问题。如果该题不用向量法来做的话，就要涉及到三垂线定理，首先要找出二面角所在的平面分别延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，找到平面，这样一来对学生的空间想象能力的要求太高，一般的学生很难想到通过延长AD、BE 来找到平面。(2)用向量法只需要学生正确建立坐标系，求出平面的法向量后根据公式即可求出二面角。（3）用法向量求二面角时要注意：平面的法向量有两个相反的方向取的方向不同求出来的角度当然就不同所以最后还应根据这个二面角的实际形态确定其大小 2.利用法向量解空间中距离问题立

7、体几何中涉及到距离的问题比较多，如两平面的距离，点到线的距离，点、线到面的距离，两异面直线之间的距离等，这是高中数学的一个难点，也是一个重点内容若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定我们可以将空间距离问题(即异面直线间的距离,点到平面的距离,直线到平面的的距离,两平行平面的距离)的计算统一起来,即(P,M两点可分别为异面直线上两点或两异面上的点或一固定点与一平面上的点)，在这里统一的公式,是解决立体几何问题的必备公式,要让学生掌握公式的实质,从而能熟练地解决立体积何中求空间距离的问题现以点到面的距离为例讲解这一公式。ACBPACBPzX yHE例4：(北京高考题理) 如图，在三棱锥中，（

8、1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离 解： （1），（2）略 （3）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，令法向量，则有则则d=评注：为了求点到面的距离，就要过点C作，垂足为H,然后通过建构三角形来求解CH的长度用向量法只需代进公式就可以了，避免了不必要的麻烦。3.向量在求证垂直中的运用空间向量在证明立体几何的平行问题和垂直问题中也非常方便,这些都是现在高考在立体几何方面的热点问题,而利用空间向量解决立体几何问题,可以避开复杂、抽象的逻辑推理,使问题通过清晰、简捷的向量运算来解决。3.1在求证两面的垂直中的运用平面的法向量分别为：，若，则例5：（陕西高考试卷理）三棱锥被平行

9、于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小A1AC1B1BDCA1AC1B1BDCzyx解：（1）以A点为原点，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面（2）略评注：如果该题用综合法的话，就要转换到线面垂直，这样做没有向量法简洁！3.2在求证线面垂直中的运用设直线的法向量为，平面的法向量为，若，则例6：（江西高考试卷理）如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；解: （1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

10、则所以所以所以平面由得，故：平面(2)略 评注：如果该题用综合法的话，就要转换到线线垂直，对于学生而言在有限的时间里准确找到哪两条线垂直是比较困难的，不如直接用向量法来证明直接。4向量在求证平行中的运用4.1在求证线面平行中的运用设直线在平面外,的方向向量为，平面的法向量为，若则。例7(浙江高考试卷理) 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为DABEFCyzx证明：（1）点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平

11、面（2）略评注：如果用综合法的话，就要过点作交于，在通过证明为平行四边形，转换到线线平行，这样就增加了做题的难度。（另注：法向量在证明面面平行中也起着重要作用，但今年的高考试卷中均为涉及，所以笔者在这里也不详述）后记：向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇，成为联系多项内容的媒介向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，实现了向量运算代数化，将“数”和“形”有机地结合起来，成为重要的数学工具，立体几何计算与证明中，借助法向量可以克服平面的垂线难作、角难找、图难画等难点。同时，把向量的思想方法融合到传统的数学思想方法中，降低了思维的难度，实现了教学方法和解题方

12、法的创新，对强化学生的转化能力，提高学生应用向量意识，培养学生的创新能力起到很好的启发作用。但是法向量解立体几何，要求图形是规则的图形才行，以后在运用法向量时也要注意。参考文献：1 向鸿 空间向量在立体几何中的运用J 凯里学院学报 2008年6月2陈方涛 例谈运用法向量求二面角J 中学数学研究 2008年第四期3刘秋凤 赏析“法向量”J 中国教育与教学 2006年7月，第四卷，第2期4胡勇 法向量在有关距离，角度问题中的应用J 中学教研：数学版2006年9 期5 张孝梅 张建凤 例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用J 延边教育学院学报2006年3期6方锦武 法向量在立体几何中的应用J 中学数学研究（江西师大）2006年4期7 曾利平 巧用法向量 妙解高考题J 广东教育：高中版-2006年2期 8刘福春 孟志霞 法向量在立体几何中的运用J 考试高考理科版2005.59