2018年福建省数学基地校高三毕业班总复习 立体几何 形成性试卷（文）

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1、2018届福建省数学基地校高三毕业班总复习 立体几何 形成性试卷（文）（解析版）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1. 如图，平面 平面，过，的直线，分别交、于、于 ，和，若，则的长为() A. B. C. D. 【答案】C【解析】选C.由易证故选C.2. 在空间中，、 、是三条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列结论不正确的是()A. 若，则B. 若， ，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：根据平面平行的传递性可知，选项中的结论正确；根据线面平行的判断方法可以证明选项中的结论正确；根据线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理可得选项C中的结论正确；选项D中的结论

2、不正确，与不一定垂直考点：空间直线、面之间的位置关系.3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2，在斜二测图形中且，那么在原图形中，且.因此，原平面图形的面积为，故选D.4. 已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线，；存在一个平面，；存在两条平行直线、， ，；存在两条异面直线、，可以推出的是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于，平面与还可以相交；对于，当时，不一定能推出，所以是错误

3、的，易知正确，故选C.5. 如图，三棱柱中，平面，2，1，若规定正(主)视方向垂直平面，则此三棱柱的侧(左)视图的面积为()A. B. C. 4 D. 2【答案】A【解析】试题分析:由题设可知,且边上的高,侧视图是以边上的高为宽,长为棱长的矩形.故其面积为,应选A.考点：三视图的理解及性质的综合运用.6. 如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：以下四个命题中错误的是()A. 与所在的直线平行；B. 与所在的直线异面；C. 与成60角；D. 与所在的直线垂直.【答案】A【解析】将此展开图还原成正方体（如图）可以看出：B、C、D是正确命题.故选A7. 已知、是两条不同直线，、为两个不同平面，

4、那么使成立的一个充分条件是()A. ， B. ，C. ， D. 上有不同的两个点到的距离相等【答案】C【解析】对于A，直线可能位于平面内；所以不能由A推出；对于B，直线可能位于平面内；所以不能由B推出；对于D，当直线与平面相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面的距离相等故选C8. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视

5、图和俯视图分别可能是（ ）A. a,b B. a,c C. c,b D. b,d【答案】A【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的正方形伞（方盖），所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有两条对角线且为实线的正方形，故选A.考点：几何体的三视图.9. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题

6、可得，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有所以长方体体积为，当且仅当,即时，等号成立，故利用率为，故选A.考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.10. 若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体

7、高的，即，因此内切球表面积为，则故选D11. 已知是球的直径上一点,平面, 为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】过的截面与球体左右分别交于,两点，三角形为直角三角形，因为,由射影定理可知，所以球体的半径为，故表面积故选C点睛：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即，本题中AB是球的直径，N在球面上，ANB为直角三角形是关键.12. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）A. B. 平面平面C. 的最大值为 D. 的最小值为【答案】C【解析】试题

8、分析：，面，面，A正确；平面即为平面，平面即为平面，且平面，平面平面，平面平面，B正确；当时，为钝角，C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理解三角形得，即，D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：1求空间角、距离，归到三角形中求解；2对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_

9、【答案】【解析】试题分析：，弧长，所以圆锥母线长为2，底面圆的半径为1，圆锥高为，所以体积考点：圆锥侧面积与体积14. 设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为,现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱互相垂直的概率为_。【答案】【解析】从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为15. ,是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：；与在内的射影在同一条直线上；.其中能成为增加条件的序号是_【答案】【解析】由题意得，四点共面，：，又，面， 又面，故正确；：由

10、与在内的射影在同一条直线上可知，由可知正确；错误，故答案为.16. 如图所示，从棱长为6 的正方体铁皮箱中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_ .【答案】36【解析】最多能盛多少水，实际上是求三棱锥的体积又 (66)636(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm3体积的水点睛：本题考查了三棱锥的体积求法，等积转化的方法在三棱锥中经常使用. 三、解答题.17. 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是，的中点(I)证明：平面平面；(II)若直线与平面所成的角为45，求三棱锥的体积【答案】(I)见解析(II)

11、 【解析】试题分析：（）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以又，因此平面而平面，所以平面平面（2）设的中点为，连结,因为是正三角形，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是为直线与平面所成的角，由题设，所以在中，所以故三棱锥的体积考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积 18. 如图所示，直三棱柱中， ，(I)证明：；(II)已知求三棱锥的体积【答案】(I)见解析(II) 试

12、题解析：(I)如图，连接，是直三棱柱， ，故. 又，是正方形， ，又， ，故.(II) ,由(1)知,， .19. 如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行(I)问应当怎样画线，并说明理由；(II)求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比【答案】(I)见解析 (II)1:4:1【解析】试题分析：(I) 在三棱柱中，点是的中点，取的中点，连接，则平面平面，即为应画的线可以证得平面(II) 三棱柱夹在平面与平面间的体积为即得体积比.试题解析：(I)在三棱柱中，点是的中点，取的中点，连接，则平面平面，即为应画的线理由如下：因为为的中点，为的中点，所以.又因为，所以四边形为平行四边

13、形，所以. . . .连接，则平行等于，所以平行等于，所以四边形是平行四边形，所以. . . .又因为，,所以平面.(II)设棱柱的底面积为，高为.则所以三棱柱夹在平面与平面间的体积为所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比为. 20. 如图，是圆的直径，是圆上除、外的一点，在平面的投影恰好是已知，(I)证明：平面平面；(II)当三棱锥体积最大时，求三棱锥高【答案】(I)见解析(II) 【解析】(I) 要证平面平面可先证平面，可由平面，证出，(II) 由知，得出，得，解得.(I)因为是直径，所以因为是的投影，所以平面，因为，所以平面因为平面，平面，所以又因为，所以是平行四边形，平面因为平面

14、，所以平面平面(II)依题意，由知 ，等号当且仅当时成立此时，设三棱锥的高为，则 21. 下面的一组图形为一四棱锥 的侧面与底面.(I)请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.(II)若 面，为中点，求证：面 面；【答案】（I）见解析（II）见解析【解析】试题分析：（I）由 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面（II）分别取的中点，可证证明，从而证明 AF面SCD，故EG面SCD，从而证得面SEC面SCD试题解析：（I）存在一条侧棱，如图所示，.（II），,.点睛：本题考查证明线面垂直、面面垂直的方法，证明AF面SCD是解题的关键，熟练应用

15、定理内容严谨的证明过程也很重要.22. 如图1，在中，、分别为，的中点，点为线段上一点，将沿折起到的位置，使，如图2.(I)求证：平面；(II)求证：；()若为线段中点，求证：平面【答案】（I）见解析（II）见解析()见解析【解析】试题分析：(I)分别为的中点，易证平面A1；(II)由题意可证平面A1DC，从而有DEA1F，又A1FCD，可证A1F平面BCDE，问题解决；()取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC，平面DEQ即为平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ试题解析：（I）因为分别为的中点，所以又因为（II）由已知得所以，又因为所以()如图， 分别为的中点，则又因为，所以所以平面即为平面由(2)知， 又因为是等腰直角三角形底边的中点，所以所以 从而点睛：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，对空间想象能力有很高要求.14第页