《课时规范练51 直接证明与间接证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课时规范练51 直接证明与间接证明（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、课时规范练51直接证明与间接证明一、选择题1.若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)0B.a2+b22(a-b-1)来源:C.a2+3ab2b2D.答案:B解析:在B中,a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)20,a2+b22(a-b-1)恒成立.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证:a”“索”的“因”应是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0答案:C解析:ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-
2、2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.3.已知a,b,c,d为实数,且cd,则“ab”是“a-cb-d”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B4.要证a2+b2-1-a2b20,只要证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0答案:D解析:因为a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.5.证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c
3、都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数答案:B解析:“至少有一个”的否定是“都不是”.6.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为1,2,3,4,则下列关系中正确的是()A.143B.312C.421D.341答案:C解析:在图(1)中,设图形所在的矩形长为a,宽为b,则其周率为,由不等式的性质可知2;在图(2)中设大圆的半径为R,则易知外边界长为R,而内边界恰好为一个半径为的小圆的周长R,故整个边界长为2R
4、,而封闭曲线的直径最大值为2R,故周率为;图(3)中周长为直径的三倍,故周率为3;图(4)中设各边长为a,则整个边界的周长为12a,直径为2a,故周率为2,故周率大小顺序符合的是选项C.来源:二、填空题7.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.答案:cn+1cn解析:由条件得cn=an-bn=-n=,cn随n的增大而减小.cn+1cn.8.若0a1,0bb.证明:由正弦定理,得,来源:sin A=.A30.B=180-120-Ab.13.已知a0,求证:a+-2.证明:要证a+-2,只要
5、证+2a+.a0,故只要证,即a2+4+4a2+2+2+2,从而只要证2,只要证42,即a2+2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.14.已知an是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bnbn+2.解:(1)由已知得an+1=an+1,则an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1
6、=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bnbn+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-2n0,所以bnbn+21),(1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数;(2)用反证法证明f(x)=0没有负实数根.证明:(1)任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,1,且0,所以-1)0.又因为x1+10,x2+10,所以=0,于是f(x2)-f(x1)=0,故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0,来源:则=-.又01,所以0-1,即x02,与x00(
7、x0-1)假设矛盾,故f(x)=0没有负实数根.四、选做题1.设0x2,ba.(1+x)(1-x)=1-x21,又0x0,(1+x)-0,1+xb.cba,即c最大.2.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.答案:x0且y0,y2-x2=a+b-0,x0)的图象与x轴有两个不同的交点.若f(c)=0,且0x0.(1)证明是函数f(x)的一个零点;(2)试比较与c的大小.(1)证明:f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,f(x)=0有两个不等实根x1,x2.f(c)=0,x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=,x2=,是f(x)=0的一个根,即是函数f(x)的一个零点.(2)解:假设0,由0x0,知f0,这与f=0矛盾,c,又c,c.
课时规范练51 直接证明与间接证明
