错位相减法求和附答案

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1、错位相减法求和专项错位相减法求和适用于anbn型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/:I “亠,数列的前项和为 ，点均在函数：=y：/.：的图象上(I)求数列的通项公式;(n)设，,是数列 的前项和，求解析考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般答案(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点均在函数的图象上，二当心时,、=J ；： ； L 5 T又忙：=.：=乜，适合上式,I（7

2、分）（n）由（i）知- 2 - : 2 - ： | ；： : 2 ：-I+（2 + l）kl ,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23 十4r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨,: .1=2整理得：，2.已知数列的各项均为正数，是数列45 =;/ 2 4加-3斤JTRT（14 分）的前n项和，且（1） 求数列的通项公式；（2）二知二 一-答案查看解析解析解出ai = 3,又 4S n = a n? + 2a n 32当 -时 4Sn -1 =+ 2a n-1 3他7 + 叫-叫J,即丐二+ j)=o. - :.”-叫2( 一)二数列也“是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 +

3、2(n -1) = 2/? + !Tti =3x2 +5x2?+L +(切1).又.：匚:-.:-一Ta =-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)24-+(2卄】)2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数 ： 11 1，数列：前项和，：；：“二二；-匕斥.二，数列，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式；(n)设数列屮广 的前 项和为，数列殖的前；项和为：，证明：答案(i 由，得kJ是以;为公比的等比数列，故叫=芦|.用错位相减法可求得. ? 比 丁 二.(注：此题用到了不等式：I ，I 进行放大.)4. 已知等差数列中，； 是与的等

4、比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若.求数列 的前厂项和解析(I)因为数列是等差数列，是 与 的等比中项.所以 又因为，设公差为，U 1 , 所以.门 1,解得，或 ，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以或.(6分)(n)因为，所以，所以所以，所以二丁 1- - I :-： 2 I1 一？-匕=2(2 + 2 + 2:+-+2ffl-w2tt) = 2 -n-2两式相减得,所以.(13 分)5. 已知数列： 的前I：项和 ,J ,等差数列：中= S ,且公差心2 .(I)求数列、；的通项公式；(n)是否存在正整数，使得： 若存在，求出“的

5、最小值，若不存在，说明理由.u. L ? . = 2S + L 当h 工 2 u 虬=25 . + I 亠/口解析(I)时，相减得：%=她Z )& 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人?数列： 是以1为首项，3为公比的等比数列又 h、= h、碎 d =, 二勺二 m 二丿打=2m +(6分)令-处叮存沁宥“ 4細一恥汀丄“：.2：冷严37； =3x3*5x3J+7x31+L +(2ff-l)x3-+(2/1+1)3*一得:-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl-,)-(2 + 1)x3fl二匚=V，一 o 伽,即 3 60 ,当 n4。3 60的最小正整数为 4.(12分)6. 数

6、列：满足77二Z二,等比数列：满足d二込.(I)求数列 ，的通项公式；(n)设，求数列的前*项和.解析(I)由，所以数列是等差数列，又，所以：21; -)比R由 二“亞二込，所以,，所以，,即卑斗，打=所以(6分)(n)因为 ，所以,则-所以I匚 匸匚匸、:：二两式相减的：,所以厂.（12分）7. 已知数列满足，其中.为数列 的前项和.（I ）求 的通项公式；（n）若数列 满足：（），求 的前项和公式 解析I），一得，又时,m，晁宀中.（5分）證丁i 1： I?两式相减得一(13 分)8. 设d为非零实数,and+2 d2+ +(n-1)dn-1 +n C；dn(nN*).(I )写出ai,

7、a2, a3并判断On是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(n )设 bn=nda n(n N*),求数列bn的前 n 项和 Sn.答案(I )由已知可得 ai=d, a 2=d(1+d) , a 3=d(1+d)2.scddtd+i)nt由此可见，当dz-1时，an是以d为首项，d+1为公比的等比数列；当d=-1时,a1=-1, a n=0(n 2)，此时an不是等比数列.(7分)(n )由(I )可知，an=d(d+1)n-1,从而 bn=nd 2(d+1) n-1 ,Sn=d 21+2(d+1) +3(d+1)2+ +(n-1) (d+1)n-2 + n(d+1)n-1.当

8、d=-1 时,Sn=d 2=1.当dz-1时，式两边同乘d+1得(d+1) S n=d2(d+1) +2(d+1)2+ +(n-1) (d+1) n-1+ n(d+1) n.，式相减可得-dSn=d 21+(d+1) +(d+1)2+ +(d+1) n-1-n(d+1) n=d 2魁出阳)|.化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.综上,Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分)9. 已知数列an满足 a1=0, a 2=2,且对任意 m, n N *都有 a2m-1 +a 2n-1 =2a m+n-1 +2(m-n) 2(I )求 a3, a 5;(n )设 bn=a

9、2n+1 -a 2n-1 (n N*),证明:bn是等差数列；(川)设cn=(a n+1 -an) q n-1 (q丰0, n令N 求数列cn的前n项和Sn.答案(I 由题意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a 2-a 1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a 3-a1+8=20. (2 分)(n )证明：当n N *时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3 +a2n-1 =2a 2n+1 +8.于是a 2(n+1) +1 -a 2(n+1) -1 -(a 2n+1 -a 2n-1 )=8,即 b n+1 -b n=8.所以，数列bn是公差为8的等差数列.(5分)(川)由(I

10、 )、( n 的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.则 bn =8n-2,即 a2n+i -a2n-i =8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=2-(n-1) 2那么,a n+1 -a n =2-2n+仁Bi)2-2n+仁2n.于是Cn=2nqn-1当 q=1 时，Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).当 qMl 时,Sn=2 q+4 c+6 #+ +2n nq1 .两边同乘q可得qSn=2 &+4 q+6 3+ +2(n-1) n-1q+2n q.上述两式相减即得(1-q) S n=2(1+q1+q 2+ +qn-1 ) -2nq方-2nql-(n41) qx

11、,+nq,H1所以Sn=2综上所述n(n+l)(q-1) Sn上怜冲沖(12 分)10. 已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列(1) 求数列an的通项公式；求数列an 的前n项和.答案(1)设数列an的公差为d(d丰0),由条件可知：(2+3d) 2=(2+d) (2+7d解得 d=2.(4 分)故数列an的通项公式为an=2n(n N*).(6分)(2) 由(1)知an =2n x3n,设数列an 的前n项和为Sn,则 Sn=2 x3+4 x3+6 x3+ +2n x3n,32Sn=2 x3+4 x3+ +(2n -2) x25 +2n x3n+2 ,故

12、-8Sn=2(3 2+34+3 6+ +32n)- 2n X32n+2 ,(8 分)L4I(8-1kj+1+9所以数列an.1的前n项和Sn=.(12分)11. 已知等差数列： 满足込二二心-土、二覚又数列： 中轧=H且(1) 求数列 ，:的通项公式；(2) 若数列 :，:的前项和分别是S叮7；，且耳=工(2： +耳 求数列詁讣的前”项和;若1;-:对一切正整数-恒成立，求实数，的取值范围.fa, +2rf = 5,答案(1)设等差数列 5的公差为,则有仁 仆 斗 八工(斫 +4J)-2(cj X解得门，虹产0, 字二工庆f）.数列： 是以 ；为首项，公比为 的等比数列/.Aw=3x3fl-

13、-3ft(/ier h 4分由可得+ 2/ - IJ=冲233F1-3迸.扌近亠亡札，-. I ，+Sx3s+（ i）淇 3卄、+押乂（2）得-V*L 宜 1，:. ，1-3：、 I 分0(3) 厂扌(亦 Igs 11 #(2“1)3J1 =9(j + l)x3u0 ,.当时,取最小值，甌；=当匚宀I时,解得即实数附的取值范围是 一或册 I * .14分12.设丄为数列的前项和，对任意的弋，都有n *为常数，且一山（1）求证：数列L-是等比数列（2）设数列；讥的公比，J ，数列满足:F，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前凡项和 - 1 u. - Va答案188. （ 1）

14、当一 I时，解得即；心5 i .又嶋为常数，且r,擞列m1,公比为小的等比数列（2 ）由（1）得, ,?1. 1kl是首项为2,公差为i的等差数列.22/i1仃T4-丄百-巩2Z）（3 ）由（2）知，则；.町二+ 卡2” x（2rj*3）+2x：（2rt-l）21 + 23+25+得=211 x（2n-l）-2-21-2M2加1-2分1413.设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S 2, a2n=2a n+1.(I )求数列an的通项公式(n )设数列bn的前n项和为Tn,且Tn+ -=入(为常数),令Cn=b 2n(n N*),求数列Cn 的前n项和Rn.答案(I设等差数列an的首项为ai,公差为d.由 S4=4S 2, a 2n =2a n + 1 得fid = SoL + 4（L2El-ld + nQlJ jd* 1*解得 ai=1, d=2.因此 an=2n- 1, n N.(n )由题意知：Tn= x-,严F所以 n2 时，b n=T n-Tn-1 =- - +=:亡;故 Cn=b2n=(n-1)(IT_ *N.所以Rn=0 厂+2 (n-1)则Rn=0 一+2 一+(n-2)，+(n-两式相减得1 _oL er o3 er 貳-Rn=+ +-(n- 1) X=-(n- 1) X牛（4笄）整理得Rn =計僚）所以数列Cn的前n项和Rn =