正交实验法

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1、如何设计正交试验（不会转载只会黏贴过来作者见谅啊）2010-03-11 11:21:21|分类： 默认分类 |标签： |字号大中小订阅 人们在长期的实践中发现，要得到理想的结果，并不需要进行全面试验，即使因素个数、水平都不太多，也不必做全面试验尤其对那些试验费用很高，或是具有破坏性的试验，更不要做全面试验我们应当在不影响试验效果的前提下，尽可能地减少试验次数。正交设计就是解决这个问题的有效方法。正交设计的主要工具是正交表，用正交表安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到广泛的应用。1 正交表及其用法 正交表是一种特制的表格这里先介绍表的记号、特点及用法下面以L。(3)为例来说明这个正交表的格式

2、如表1表1 正交表L9(34)列号 1 2 3 4试验号1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1L9(34)是什么意思呢?字母L表示正交表；数字9表示这张表共有9行，说明用这张表来安排试验要做9次试验；数字4表示这张表共有4列，说明用这张表最多可安排4个因素；数字3表示在表中主体部分只出现1，2，3三个数字，它们分别代表因素的3个水平，说明各因素都是3个水平的一般的正交表记为Ln(mk)，n是表的行数，也就是要安排的试验次数；k是表中列数，表示因素的个数；m是各因素的水平数

3、。常见的正交表如下：（1）2水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。这几张表中的数字2表示各因素都是2水平的；试验要做的次数分别为4，8，12，16；最多可安排的因素分别为3，7，11，15。（2）3水平的正交表L9(34)，L27(313)。这两张表中的数字3表示各因素都是3水平的，要做的试验次数分别为9，27；最多可安排的因素分别为4，13。（3）4水平的正交表L14(45)。（4）5水平的正交表L25(56)。 正交表有下面两条重要性质： (1)每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9(34)，每列中不同的数字是1，2，3，它们各出现3次； (2)在任

4、意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如L9(34)，有序数对共有9个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它们各出现一次。 由于正交表有这两条性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平的搭配是均衡的，这是正交表的优点。 下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。 例1 某炼铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案。经初步分析，主要有3个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑3个水平，具体情况如表2。问对这3个因素的3个水平如何安排，才能获得最高的铁水

5、温度?表2 实验因素与水平 因素水平AB C焦比 风压/133Pa底焦高度/m 1 2 31:16 170 1.21:18 230 1.51:14 200 1.3解: 正交表L9(34)列号 A B C 试验号1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 2 1 2 5 2 2 3 6 2 3 1 7 3 1 3 8 3 2 1 9 3 3 2 这九个实验代表了全部27个实验。按照9个实验方案进行实验，结果见表3。表3 按实验方案实验结果 试验编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9铁水温度/ 136513951385139013951380139013901410为了便于分析，将结果与

6、正交表合编，以便利于计算。由于铁水温度数值较大，可把每一个铁水温度的值减去1350，得到9个较小的数，这样使计算简单（表4）。表4 因素试验号A B C铁水温度/铁水温度值减去13501234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 2136513951385139013951380139013901410154535404530404060K1K2K3 95 95 85 115 130 145 140 125 120K1=K1/3K2=K2/3K3=K3/3 31.7 31.7 28.3 38.3 43.3 48.3 46.7 41.7

7、 40.0极差 15.0 11.6 20.0优方案 A3 B2 C2 表4中下面的8行是分析计算过程中需要分析的内容。K1这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第1水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和。比如对因素A(第1列)，它的第l水平安排在第1，2，3号试验中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，45，35，其和为95，记在K1这一行的第1列中。对于因素B(第2列)，它的第1水平安排在第1，4，7号试验中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，40，40，其和为95，记在K1这一行的第2列中。对于因素C(第3列)，它的第l水平安排在第1，6，8号试验

8、中，对应的铁水温度值(减去1350以后)分别为15，30，40，其和为85，记在K1这一行的第3列中。类似地，K2这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第2水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和。K3这一行的3个数，分别是因素A，B，C的第3水平所在的试验中对应的铁水温度(减去1350以后)之和K1，k2，k3这3行的3个数，分别是K1，K2，K3这3行中的3个数除以3所得的结果，也就是各水平所对应的平均值.同一列中，K1，k2，k3这3个数中的最大者减去最小者所得的差叫做极差。一般地说，各列的极差是不同的，这说明各因素的水平改变时对试验指标的影响是不同的。极差越大，说明这个因

9、素的水平改变时对试验指标的影响越大。极差最大的那一列，则那个因素的水平改变时对试验指标的影响就最大，那个因素就是我们要考虑的主要因素。这里算出3列的极差分别为15.0，11.6，20.0，显然第3列即因素C的极差20.0最大。这说明因素C的水平改变时对试验指标的影响最大，因此因素C是我们要考虑的主要因素。它的3个水平所对应的铁水温度(减去1350以后)平均值分别为28.3，48.3，40.O，第2水平所对应的数值48.3最大，所以取它的第2水平最好。第1列即因素A的极差为15.0，仅次于因素C，它的3个水平所对应的数值分别为317，38.3，46.7，第3水平所对应的数值46.7最大，所以取它

10、的第3水平最好。第2列即因素B的极差为11.6，是3个因素中极差最小的，说明它的水平改变时对试验指标的影响最小，它的3个水平所对应的数值分别为31.7，43.3，41.7，第2水平所对应的数值43.3最大，所以取它的第2水平最好。从以上分析可以得出结论：各因素对试验指标(铁水温度)的影响按大小次序来说应当是C(底焦高度)A(焦比)B(风压)；最好的方案应当是C2A3B2，即 C2：底焦高度，第2水平，1.5， A3：焦比，第3水平，1:14， B2：风压，第2水平，230。可以看出，这里分析出来的最好方案在已经做过的9次试验中没有出现，与它比较接近的是第9号试验在第9号试验中只有风压B不是处在

11、最好水平，而且风压对铁水温度的影响是3个因素中最小的。从实际做出的结果看出，第9号试验中的铁水温度是1410，是9次试验中最高的，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。为了最终确定上面找出的试验方案C2A3B2是否为最好方案，可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第9号试验更好的结果。若比第9号试验的效果好，就确定上述方案为最好方案，若不比第9号试验的效果好，可以取第9号试验为最好方案。如果出现后一种情况，说明我们的理论分析与实践有一些差距，最终还是要接受实践的检验。现将利用正交表安排试验并分析试验结果的步骤归纳如下：(1)明确试验目的，确定要考核的试验指标。(2)根据试验目的，确定要考察

12、的因素和各因素的水平。要通过对实际问题的具体分析选出主要因素，略去次要因素，这样可使因素个数少些。如果对问题不太了解，因素个数可适当地多取一些，经过对试验结果的初步分析，再选出主要因素。因素被确定后，随之确定各因素的水平数。以上两条主要靠实践来决定，不是数学方法所能解决的。(3)选用合适的正交表，安排试验计划。首先根据各因素的水平选择相应水平的正交表。同水平的正交表有好几个，究竟选哪一个要看因素的个数。一般只要正交表中因素的个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既能保证达到试验目的，又使试验的次数不至于太多，省工省时。(4)根据安排的计划进行试验，测定各试验指标。(5)对试验结果进

13、行计算分析，得出合理的结论。上述方法一般称为直观分析法这种方法比较简单，计算量不大，是一种很实用的分析方法。 最后再说明一点，这种方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都确定的情况下，正交表并不是惟一的。2 多指标的分析方法在上节的问题中，试验指标只有一个，考察起来比较方便但在实际问题中，需要考察的指标往往不止一个，可能有两个、三个，甚至更多，这都是多指标的问题下面介绍两种解决多指标试验的方法：综合平衡法和综合评分法这两种方法都能找出使每个指标都尽可能好的试验方案。2.1 综合平衡法下面通过具体例子来说明这种方法例2 为提高某产品质量，要对生产该产品的原料进行配方试验要检验3项指标：抗压强度

14、、落下强度”和裂纹度，前两个指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方中有3个重要因素：水分、粒度和碱度它们各有3个水平，具体数据如表2.1所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。解 这是3因素3水平问题，应当选用正交表L9(34)来安排试验。把这里的3个因素依次放在L9(34)表的前3列(第4列不要)，把各列的水平和该列相应因素的具体水平对应起来，得出一张具体的试验方案表。按照这个方案进行试验，测出需要检验的指标的结果，列在表2.2中，然后用直观分析法对每个指标分别进行计算分析。表2.1 因素水平水分A（%） 粒度B（%） 碱度C（%）123 8 4 1.1 9 6 1.3 7

15、 8 1.5表2.2 因素实验号1 2 3A B C各指标实验结果抗压强度 （kg/个）落下强度（0.5m/次）裂纹度1234567891 1 11 2 21 3 32 1 22 2 32 3 13 1 33 2 13 3 211.54.511.07.08.018.59.08.013.41.13.64.61.11.615.11.14.620.2344320321抗压强度K1K2K327 27.5 3833.520.524.930.4 42.928k1k2k39.09.212.711.26.88.310.114.39.3极差2.2 7.5 4.4列 号优方案A2B3C11A 2B 3C裂纹度K1

16、K2K311 9 55 8 86 5 9落下强度K1K2K39.3 3.3 20.817.8 9.8 24.925.9 39.9 7.3k1k2k33.7 3.0 1.71.7 2.7 2.72.0 1.7 3.0k1k2k33.1 1.1 6.95.9 3.3 8.38.6 13.3 2.4极差2.0 1.3 1.3极差5.5 12.2 5.9优方案A2B3C1优方案A3 B3 C2图 2.1 用和例1.1完全一样的方法，对3个指标分别进行计算分析，得出3个好的方案：对抗压强度和裂纹度都是A2B3C1；对落下强度是A3B3C3。这3个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定

17、是好方案。如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢?这正是我们下面要解决的问题。 为便于综合分析，我们将各指标随因素水平变化的情况用图形表示出来，画在图2.1中(为了看得清楚，将各点用线段连起来，实际上并不是直线)。 把图2.1和表2.2结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。 (1)粒度B对各指标的影响从表2.2看出，对抗压强度和落下强度来讲，粒度的极差都是最大的，也就是说粒度是影响最大的因素，从图2.1看出，显然取8最好；对裂纹度来讲，粒度的极差不是最大，即不是影响最大的因素，但也是取8最好。总之，对3个指标来讲，粒度都是取8最好。(2)碱度C对各指标的影响从表2.2看出，对于3个指标，

18、碱度的极差都不是最大的，也就是说，碱度不是影响最大的因素，是较次要的因素。从图2.1看出，对抗压强度和裂纹度来讲，碱度取1.1最好，对落下强度来讲，碱度取1.3最好，但取1.1也不是太差，对3个指标综合考虑，碱度取1.1为好。(3)水分A对各指标的影响从表2.2看出，对裂纹度来讲，水分的极差最大，即水分是影响最大的因素从图2.1看出，水分取9最好，但对抗压强度和落下强度来讲，水分的极差都是最小的，即是影响最小的因素。从图2.1看出，对抗压强度来讲，水分取9最好，取7次之；对落下强度来讲，水分取7最好，取9次之对3个指标综合考虑，应照顾水分对裂纹度的影响，还是取9为好。通过各因素对各指标影响的综

19、合分析，得出较好的试验方案是 B3：粒度，第3水平，8； Cl：碱度，第1水平，1.1； A2：水分，第2水平，9。由此可见，分析多指标的方法是：先分别考察每个因素对各指标的影响，然后进行分析比较，确定出最好的水平，从而得出最好的试验方案，这种方法叫做综合平衡法。对多指标的问题，由于各指标的重要性不同，即所处的地位不同，要做到真正好的综合平衡，是很困难的，这是综合平衡法的缺点。下面要介绍的综合评分法，在一定意义上讲，可以克服综合平衡法的这个缺点。2.2 综合评分法例3 某厂生产一种化工产品需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有4个，各有3个水平，具体情况如表

20、2.3所示。试通过试验分析找出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有提高。表2.3 因素水平A B C D时间（h） 加料中核酸含量 pH值 加水量123 25 7.5 5.0 1:6 5 9.0 6.0 1:4 1 6.0 9.0 1:6解 这是4因素3水平的试验，可以选用正交表L9(34)。和例1.1一样，按L9(34)表排出方案(这里有4个因素，正好将表排满)，进行试验，将得出的试验结果列入表2.4中。表2.4 因素实验号1 2 3 4A B C D各指标实验结果综合评分纯 度回收率1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23

21、1 3 23 2 1 33 3 2 117512060804540857045300412600242510584310205735100892840562690744650485915K1K2K3273.2 221.2 222.9 260.5196.6 206.7 236.9 228.6205.0 249.9 218.9 188.7 677.8 k1k2k391.1 73.7 74.3 86.865.5 68.9 79.0 76.268.3 83.9 72.7 62.9极差25.6 14.4 6.3 23.9优方案A1 B3 C2 D1 综合评分法就是根据各个指标重要性的不同，按照得出的试验

22、结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标，根据这个总指标(分数)，利用例1.1的方法(直观分析法)作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。 这个方法的关键是如何评分，下面着重介绍评分的方法。 在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性比回收率的重要性大，如果化成数量来看，从实际分析，可认为纯度是回收率的4倍，也就是说，论重要性若将回收率看成1，纯度就是4。这个4和1分别叫两个指标的权，按这个权给出每个试验的总分为： 总分 = 4纯度+1回收率根据这个算式，算出每个试验的分数，列在表2.4最右边。再根据这个分数，用直观分析法作进一步的分析，整个分析

23、过程都记录在表2.4中。 根据综合评分的结果，直观上看，第1号试验的分数是最高的，那么能不能肯定它就是最好的试验方案呢?还要作进一步的分析。 从表2.4看出，A，D两个因素的极差都很大，是对试验影响很大的两个因素，还可以看出，A，D都是第l水平为好；B因素的极差比A，D的极差小，对试验的影响比A，D都小，B因素取第3水平为好；C因素的极差最小，是影响最小的因素，C取第2水平为好。综合考虑，最好的试验方案应当是A1B3C2D1，按影响大小的次序列出应当是 A1：时间，第1水平，25h， D1：加水量，第1水平，1:6， B3：料中核酸含量，第3水平，6.O， C2：pH值，第2水平，6.0。 可

24、以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验中是没有的。可以按这个方案再试验一次，看能不能得出比第1号试验更好的结果，从而确定出真正最好的试验方案。 总的来讲，综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单但是，如何合理地评分，也就是如何合理地确定各个指标的权，是最关键的问题，也是最困难的问题这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。3混合水平的正交试验设计前两节介绍的多因素试验中，各因素的水平数都是相同的，解决这类问题还是比较简单的。但是在实际问题中，由于具体情况不同，有时各因素的水平数是不相同的，这就是混合水

25、平的多因素试验问题。解决混合水平这类问题一般比较复杂。在这里介绍两个主要的方法：(1)直接利用混合水平的正交表；(2)拟水平法把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理。 3.1 混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种，比如L8(4124)就是一个混合水平的正交表，如表3.1。表3.1 列号实验号1 2 3 4 5123456781 1 1 1 11 2 2 2 22 1 1 2 22 2 2 1 13 1 2 1 23 2 1 2 14 1 2 2 14 2 1 1 2 这张L8(4124)表有8行，5列(注意5=1+4)，表示用这张表要

26、做8次试验，最多可安排5个因素，其中一个是4水平的(第1列)，4个是2水平的(第2列到第5列)。 L8(4124)表有两个重要特点： (1)每一列中不同数字出现的次数是相同的。例如，第1列中有4个数字1，2，3，4，它们各出现两次；第2列到第5列中，都只有两个数字1，2，它们各出现4次。(2)每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意一点：每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。比如，第1列是4水平的列，它和其他任何一个2水平的列放在一起，由行组成的不同的数对一共有8个：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，它们各出现1次；

27、第2列到第5列都是2水平列，它们之间的任何两列的不同水平的搭配共有4个：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，它们各出现两次。 由这两点看出，用这张表安排混合水平的试验时，每个因素的各水平之间的搭配也是均衡的。其他混合水平的正交表还有L16(41212)，L16(4229)，L18(2137)等(见附表6)，它们都具有上面所说的两个特点。例3.1 某农科站进行品种试验。共有4个因素：A(品种)、B(氮肥量)、C(氮、磷、钾肥比例)、D(规格)。因素A是4水平的，另外3个因素都是2水平的，具体数值如表3.2所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。

28、表3.2 因素水平A品种B氮肥量（kg）C氮、磷、钾肥比例D规格1234甲乙丙丁25303:3:12:1:26677解 这个问题中有4个因素，1个是4水平的，3个是2水平的，正好可以选用混合正交表L8(4124)，因素A为4水平，放在第1列，其余3个因素B，C，D，都是2水平的，顺序放在2，3，4列上，第5列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表L8(4124)的右边，然后进行分析，整个分析过程记在表3.3中。 表3.3 因素实验号1 2 3 4A B C D实验指标（产量）（kg）减去20012345678 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 1

29、 2 1 3 2 1 2 4 1 2 2 4 2 1 1195205220225210215185190-5520251015-15-10K1K2K3K4 0 10 20 2045 35 35 2525-25k1k2k3k40 2.5 5.0 5.022.5 8.8 6.3 6.312.5-12.5极差35.0 6.3 1.3 1.3优方案A2 B2 C2 D2这里分析计算的方法和例1.1基本上相同。但是要特别注意，由于各因素的水平数不完全相等，各水平出现的次数也不完全相等，因此计算各因素各水平的平均值k1，k2，k3，k4时和例1.1中有些不同。比如，对于因素A，它有4个水平，每个水平出现两

30、次，它的各水平的平均值k1，k2，k3，k4是相应的K1，K2，K3，K4分别除以2得到的。而对于因素B，C，D，它们都只有两个水平，因此，只有两个平均值k1，k2，又因为每个水平出现4次，所以它们的平均值k1，k2是相应的K1，K2分别除以4得到的。这样得出的平均值才是合理的。从表3.3看出，因素A的极差最大，因此因素A对试验的影响最大，并且以取2水平为好；因素B的极差仅次于因素A，对试验的影响比因素A小，也是以取2水平为好；因素C，D的极差都很小，对试验的影响也就很小，都是以取2水平为好。总的说来，试验方案应以A2B2C2D2为好。但这个方案在做过的8个试验中是没有的。按理应当照这个方案再

31、试验一次，从而确定出真正最好的试验方案。但是，因为农业生产受节气的制约，只有到第二年再试验。事实上，在这里因为因素D的影响很小，这个方案与8个试验中的第4号试验A2B2C2D1很接近，从试验结果看出，第4号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有理由取第4号试验作为最好的试验方案加以推广。3.2 拟水平法 例3.2 现有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好。这个试验有4个因素A，B，C，D，其中因素C是2水平的，其余3个因素都是3水平的，具体数值如表3.4所示。试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。表3.4 因素水平 A B C D123 350 15 60 65 250

32、 5 80 75 300 10 85解 这个问题是4个因素的试验，其中因素C是2水平的，因素A，B，D是3水平的。这种情况没有合适的混合水平正交表，因此不能用例3.1的方法解决对这个问题我们可以设想：假若因素C也有3个水平，那么这个问题就变成4因素3水平的问题，因此可以选正交表L9(34)来安排试验。但是实际上因素C只有两个水平，不能随便安排第3个水平。如何将c变成3水平的因素呢？我们是从第1、第2两个水平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫做虚拟水平。取哪个水平作为第3水平呢？一般来讲，都是根据实际经验，选取一个较好的水平。比如，如果认为第2水平比第1水平好，就选第2水平作为第3水平

33、。这样因素水平表3.4就变为表3.5的样子，它比表3.4多了一个虚拟的第3水平(用方框把它围起来)。表3.5下面就按L9(34)表安排试验，测出结果，并进行分析，整个分析过程记录在表3.6中。表3.6 因素实验号1 2 3 4实验指标测试结果1234567891 1 1 1 11 2 2 2 21 3 3 2 32 1 2 2 32 2 3 2 12 3 1 1 23 1 3 2 23 2 1 1 33 3 2 2 145361215401510547K1K2K3 93 7065132 70 8116061 62 7432k1k2k3 31.0 23.321.7 44.0 23.3 27.02

34、6.7 20.3 20.7 24.710.7极差 10.3 3.7 5.0 33.3优方案 A3 B1C1 D3这里要注意的是，因素C的“第3水平”实际上就是第2水平，我们把正交表中第3列的C因素的水平安排又重写一次，两边用虚线标出，对应地列在右边，这一列是真正的水平安排。由于这一列没有第3水平，因此在求和时并无K3，只出现K1，K2。又因为这里C的第2水平共出现6次，因此平均值k2是K2除以6，即k2=K26；C的第l水平出现3次，平均值k1是K1除以3，即k1=K13。因素A，B，D都是3水平的，各水平都出现3次，因此求平均值k1，k2，k3时，都是K1，K2，K3除以3。从表3.6中的极

35、差看出，因素D对试验的影响最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平为好；再者是因素B，取第l水平为好；因素C的影响最小，取第1水平为好。总之，这个试验的最优方案应当是A3B1C1D3。但是这个方案在做过的9个试验中是没有的。从试验结果看，效果最好的是第8号试验，这个试验只有因素B不是处在最好情况，而因素B对试验的影响是最小的。因此我们选出的最优方案是合乎实际的。我们可以按这个方案再试验一次，看是否会得到比第8号试验更好的结果，从而确定出真正的最优方案。从上面的讨论可以看出，拟水平法是将水平少的因素归入水平数多的正交表中的一种处理问题的方法。在没有合适的混合水平的正交表可用时，拟水平法是一

36、种比较好的处理多因素混合水平试验的方法这种方法不仅可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平，具体做法和上面相同，不再重复。这里要指出的是：虚拟水平以后的表对所有因素来说不具有均衡搭配性质，但是，它具有部分均衡搭配的性质(部分均衡搭配的精确含义这里就不细讲了)，所以拟水平法仍然保留着正交表的优点。具体的图表没有办法复制，需要的请和我联系，我发给你们正交实验设计当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工

37、作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐 整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合 列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行1

38、8次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。1正交表正交表是一整套规则的设计表格，用 。L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)， (表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(424) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2， Sj 组成，这些数码均各出现N/S 次，例如表11中，第二列的数码个数为3，S=

39、3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现 次。正交表具有以下两项性质：(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2， 1)、(2，2)。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、 3.1、3.2、3.3，且每对出现数

40、也均相等。以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。2. 交互作用表 每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。表14就是L8(27)表的交互作用表。安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交互作用列，从表14中可查出L8(27) 正交表中的任何两列的交互作用列。表中带( )的为主因素的列号，它与另一主因素的交互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向上，二者相交的号为二者的交互作用列。例如将A因素排为第(1) 列，B因素排为第(2)列

41、，两数字相交为3，则第3列为AB交互作用列。又如可以看到第4列与第6列的交互列是第2列，等等。3正交实验的表头设计 表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。表头设计的主要步骤如下：(1)确定列数 根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，只有1个试验数据时，可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。(2)确定各因素的水平数 根据研究目的，一般二水平(有、无)可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分批进行的研

42、究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足试验要求。(3)选定正交表 根据确定的列数(c)与水平数(t)选择相应的正交表。例如观察5个因素8个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则适宜选L16(215)表。由于同水平的正交表有多个，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列数比考虑需要观察的个数稍多一点即可，这样省工省时。(4)表头安排 应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察4个因素A、B、C、D及AB交互作用，各因素均为2水平，现选取L8(

43、27)表，由于AB两因素需要观察其交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互作用表查得AB应排在第3列，于是C排在第4列，由于AC交互在第5列，BC交互作用在第6列，虽然未考查AC与BC，为避免混杂之嫌，D就排在第7列。(5)组织实施方案 根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如L9(34) 表，若安排四个因素，第一次实验A、B、C、D四因素均取1水平，第二次实验A因素1水平，B、C、D取2水平，第九次实验A、B因素取3水平，C因 素取2水平，D因素取1水平。实验结果数据记录在该行的末尾。因此整个设计

44、过程我们可用一句话归纳为：“因素顺序上列、水平对号入座，实验横着作”。 4二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析例8 某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每个因素都为二水平，各因素及其水平见表16。选用L8(27)正交表进行实验，实验结果见表17。首先计算Ij 与IIj ，Ij为第j列第1水平各试验结果取值之和，IIj为第j列第2水平各试验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：求：总离差平方和 各列离差平方和 SSj= 本例各列离均差平方和见表10最底部一行。即各空列SSj之和。即误差平方和 自由度v为各列水平数减1，交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘

45、积。分析结果见表18。从表18看出，在0.05水准上，只有C因素与AB交互作用有统计学意义，其余各因素均无统计学意义，A因素影响最小，考虑到交互作用AB的影响较大，且它们的二水平为优。在C2的情况下， 有B1A2和B1，A1两种组合状况下的回收率最高。考虑到B因素影响较A因素影响大些，而B中选B1为好，故选A2B1。这样最后决定最佳配方为A2B1C2，即80，反应时间2.5h，原料配比为1.2:1。如果使用计算机进行统计分析，在数据是只需要输入试验因素和实验结果的内容，交互作用界的内容不用输入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。正交实验法求助编辑百科名片 正交表正交实验法就是利用排列整

46、齐的表 -正交表来对试验进行整体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的实验次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果。正交表能够在因素变化范围内均衡抽样，使每次试验都具有较强的代表性，由于正交表具备均衡分散的特点，保证了全面实验的某些要求，这些试验往往能够较好或更好的达到实验的目的。正交实验设计包括两部分内容：第一，是怎样安排实验；第二，是怎样分析实验结果。目录试验方法 正交实验法举例编辑本段试验方法我们知道如果有很多的因素变化制约着一个事件的变化，那么为了弄明白哪些因素重要，哪些不重要，什么样的因素搭配会产生极值，必须通过做实验验证(仿真也可以说是实验，只不过试验设备是计算机)，如果因

47、素很多，而且每种因素又有多种变化(专业称法是：水平)，那么实验量会非常的大，显然是不可能每一个实验都做的。能够大幅度减少试验次数而且并不会降低试验可行度的方法就是使用正交试验法。首先需要选择一张和你的实验因素水平相对应的正交表，已经有数学家制好了很多相应的表，你只需找到对应你需要的就可以了。所谓正交表，也就是一套经过周密计算得出的现成的实验方案，他告诉你每次实验时，用那几个水平互相匹配进行实验，这套方案的总实验次数是远小于每种情况都考虑后的实验次数的。比如3水平4因素表就只有9行，远小于遍历试验的81次；我们同理可推算出如果因素水平越多，试验的精简程度会越高。 建立好实验表后，根据表格做实验，

48、然后就是数据处理了。由于试验次数大大减少，使得试验数据处理非常重要。首先可以从所有的实验数据中找到最优的一个数据，当然，这个数据肯定不是最佳匹配数据，但是肯定是最接近最佳的了。这是你能得到一组因素，这是最直观的一组最佳因素。接下来将各个因素当中同水平的实验值加和(注:正交表的一个特点就是每个水平在整个实验中出现的次数是相同的)，就得到了各个水平的实验结果表，从这个表当中又可以得到一组最优的因素，通过比较前一个因素，可以获得因素变化的趋势，指导更进一步的试验。各个因素中不同水平试验值之间也可以进行如极差、方差等计算，可以获知这个因素的敏感度，等等等等，还有很多处理数据的方法。然后再根据统计数据，

49、确定下一步的试验，这次实验的范围就很小了，目的就是确定最终的最优值。当然，如果因素水平很多，这种寻优过程可能不止一次。 在生产和科研中，为了研制新产品，改革生产工艺，寻找优良的生产条件，需要做许多多因素的实验。 在方差分析中对于一个或两个因素的实验，我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做实验，这叫做全面实验。当因素较多时，虽然理论上仍可采用前面的方法进行全面实验后再做相应的方差分析，但是在实际中有时会遇到实验次数太多的问题。例如，生产化工产品，需要提高收率（产品的实际产量与理论上投入的最大产量之比），认为反应温度的高低、加碱量的多少、催化剂种类等多种因素，都是造成收率不稳的主要原因。根据以往经验，选择温度的三个水