中考数学第二讲矩形、菱形与正方形

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1、第第2讲矩形、菱形与正方形讲矩形、菱形与正方形 了解特殊平行四边形的分类；矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系；菱形面积的特殊求法.理解矩形与正方形，菱形与正方形的特殊关系；矩形、菱形变为正方形要补充的条件.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理；矩形、正方形的折叠问题的解法.熟练掌握根据矩形、菱形、正方形进行的推理证明和线段、角的计算；判断矩形、菱形、正方形的思路，推理方法.一、特殊平行四边形的有关概念一、特殊平行四边形的有关概念1有_的平行四边形叫矩形；2_的平行四边形是菱形；3_是正方形一个角是直角 有一组邻边相等 各边都相等，各角都相等的四边形 二、特殊平行四边形的性质二、特殊平行

2、四边形的性质 图形性质边角对角线菱形矩形正方形对边平行、四边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角对边平行且相等四角都是直角两条对角线互相平分且相等对边平行、四边都相等四角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角三、特殊平行四边形的判定方法三、特殊平行四边形的判定方法图形判定方法菱形矩形正方形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有一个内角是直角的平行四边形是矩形有三个内角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方

3、形对角线相等的菱形是正方形友情提示：(1)矩形、菱形的边、角、对角线各有其特性，而正方形综合具有矩形、菱形的所有性质；(2)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，矩形、菱形各有2条对称轴，而正方形有4条对称轴1下列命题中，真命题是()A两条对角线垂直的四边形是菱形B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形D两条对角线相等的平行四边形是矩形解析：应注意是在四边形还是平行四边形的基础上判定矩形、菱形、正方形D 2若菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则此菱形的边长是()A10cmB5cmC6cmD7cmB 3已知四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即

4、可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()AD90 BABCDCADBC DBCCD解析：由ABC90得四边形ABCD为矩形，所以再添条件：一组邻边相等或对角线互相垂直才行D 4一个矩形的两条对角线相交成60角，矩形的短边为3cm，则矩形对角线的长为_解析：由矩形对角线相等并且互相平分得由短边与两对角线围成的三角形为等边三角形6cm 5如图521，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.8 6如图522所示，在ABCD中，E、F为BC上两点，且BECF，AFDE.求证：四边形ABCD是矩形解析：因为已知四边形是平行四边形，所以只要说明有一个内角为直角即可证明：四边形A

5、BCD是平行四边形AB綊DCBECFBFCE在ABF和DCE中ABDC，BFCE，AFDEABF DCEABCDCB，而ABCDCB180ABC90平行四边形ABCD是矩形根据矩形的四个角都是直角，对角线相等且相互平分等性质，通常得到直角三角形，等腰三角形等去计算线段的长，角的度数，以及为证明其它结论提供一部分条件，矩形的判定是常考考点，一般由已知一部分条件再补充一条必要条件说明四边形是矩形这样的选择、填空题，有些题型是与全等三角形、平行四边形、菱形、梯形等相结合的综合性推理证明题【例1】如图523，矩形ABCD中，AB3，BC5，过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是()A1.6B

6、2.5C3 D3.4答案：D 【例2】(2010聊城)如图524，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE.(1)求CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形思路分析：(1)求CAE的度数主要利用等边三角形的三个内角都是60及“三线合一”等性质(2)证明四边形AFCE是矩形，一要说明它是平行四边形，二要证明它的一个内角是90或对角线相等，由已知条件易知应说明一个内角是90.解：(1)在等边ABC中，点D是BC边的中点，DAC30，又ADE是等边三角形，DAE60，CAE30(2)在等边ABC中，F是AB边的中点，D是BC边的中点，CFAD

7、，CFB90，又ADAE，AECF，由(1)知CAE30，EAF603090，CFAEAF，CFAE，AECF，四边形AFCE是平行四边形，又CFA90，四边形AFCE是矩形本考点主要包括在菱形中求线段的长度，求角的度数，求菱形的面积，周长等计算类问题，由菱形的边、对角线的特性推理证明其它结论，菱形的判定方法的应用等【例3】如图525，菱形ABCD中，AB5，BCD120，则对角线AC的长是()A20B15C10D5思路分析：由菱形的四条边都相等，对角线平分一组对角可得，ABBC，ACB60，故三角形ABC为等边三角形答案：D【例4】如图526，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BC

8、E都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论易猜测四边形PQMN为菱形，欲证明是菱形要依据所给条件说明四边形PQMN的四边都相等或先证明四边形PQMN为平行四边形，故应连接AC、BD，利用三角形中位线证明四边形PQMN的边的关系解：四边形PQMN是菱形证明：如图527，连接AC、BDADE和BCE都是等边三角形AEDE，EBEC；AEDBEC60AEDDECBECDEC即AECBED在AEC和DEB中AEDE，AECDEB，ECEBAEC DEBACDBPQ是ABC的中位线该考点是中考的高频考点，考题主要有正方形边、对角

9、线、面积等的计算；正方形中的对称、旋转等问题；判断某一平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需补充的条件；证明一个四边形是正方形；正方形与矩形、菱形或直角三角形、等腰三角形相结合的推理证明题，解题时应注意应用正方形具有矩形、菱形的所有性质，由对角线分割出的三角形都是等腰直角三角形等特性【例5】(2010苏州)如图528，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AEAC，则BCE的度数是_答案：22.5 【例6】如图529，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O.(1)如图529，连接EF、FG、GH、HE，试判断四边形EF

10、GH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图529的方式拼接成一个四边形若正方形ABCD的边长为3cm，HAEBFCGD1cm，则图529中阴影部分的面积为_思路分析：(1)由已知条件易证AEH BFE CGF DHG，EFFGGHHE，于是可得四边形EFGH是菱形，又可证有一内角为90，于是可说明其为正方形(2)图529中阴影部分可证明为正方形，且其边长为211(cm)，故其面积为1cm2.解：(1)四边形EFGH是正方形证明：四边形ABCD是正方形ABCD90，ABBCCDDAHAEBFCGDAEBFCGDHAEH BFE CGF DHG

11、EFFGGHHE四边形EFGH是菱形由DHG AEH知DHGAEHAEHAHE90DHGAHE90GHE90四边形EFGH是正方形(2)1cm21(2010芜湖)下列命题中是真命题的是()A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C两条对角线相等的平行四边形是矩形D两边相等的平行四边形是菱形解析：由对角线判定特殊平行四边形，首先对角线应互相平分，若再相等则为矩形，若再垂直则为菱形，若既相等又垂直则为正方形C 2如图5210，P是矩形ABCD的对角线AC上的三等分点，PEAB，PFAD，若矩形ABCD的周长为24，则矩形AEPF的周长为()A12B10C8D6C

12、 3如图5211，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A10cm2B20cm2C40cm2D80cm2A 解析：由题意可得AC4cm，BD5cm，S菱形ABCD4510cm2.4如图5212，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BFCE，连接BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是()ABEAFBDAFBECCAFBBEC90DAGBEC 解析：易证RtABFRtBCE，AFBE，BAFCBE等5已知菱形的一条对角线长为15cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_6边长为5的正方

13、形的对角线的交点到正方形顶点的距离是_4cm 7如图5213，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形，这个条件是_ACBD 8如图5214，以正方形ABCD的对角线AC为一边，作菱形AEFC，则FAB的度数为_22.5 9已知：如图5215，点E是正方形ABCD的边AB上的任意一点，过点D作DFDE交BC的延长线于点F，求证：DEDF.证明：四边形ABCD是正方形ADDC，AADCDCB90DEDF2390又139012在AED和CFD中ADCF，ADDC，12AED CFDDEDF10(2010眉山

14、)如图5216，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD.(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB6，BC8，求四边形OCED的面积解析：本题以矩形的性质为条件证明菱形，并且考查了菱形的面积公式解：解：(1)四边形OCED是菱形证明如下：DEAC，CEBD四边形OCED是平行四边形又在矩形ABCD中，OCOD四边形OCED是菱形(2)连接OE.由OCED是菱形得：CDOEOEBC，又CEBD四边形BCEO是平行四边形OEBC81.准确区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，搞懂它们之间的联系、转化关系，根据由一般到特殊的思想认识彼此关系；2.无论是特殊平行四边形的性质与判定，都要从角、边、对角线、对称性几方面分别进行思考分析；3.解决特殊四边形的证明问题，应由已知条件入手，注意挖掘图形中的全等三角形、直角三角形、等腰三角形等，从而将问题转化为三角形问题解决.