求二面角平面角地方法

《求二面角平面角地方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求二面角平面角地方法（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、寻找二面角的平面角的方法面角是高中立体几何中的一个重要容，也是一个难点对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并 不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.1.1二面角的相关概念新教材在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角丨的棱上任取一点 0,分别在两个半平面作射线AO l, BO l，贝y A0B为二面角 丨的平面角2.二面角的求解方法

2、对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求

3、两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展 平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在60的二面角 -a-的两个面，分别有 A和B两点已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB 10，试求:(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值;(2)直线AB与平面 所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿.如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在

4、平面作AD a ；在平面 作BE , CDEB，连结bc、AC .可以证明CD a ,则由二面角的平面角的定义，可知ADC为二面角 -a- 的平面角以下求解略.例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-C1的大小为例2(2006年试题)如图2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足 AE :EB=CF : FA=CP : BP=1 : 2如图 2(2),将厶 AEF 折起 到厶A1EF的位置，使二面角 A1-EF-B成直二面角，连 接 A1B、A1P.(I )与(H )略；(川)求二面角B-A1P-F的余弦值tan/ COCi= , 2

5、分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称 和谐性 若取BP的中点Q,连接EQ，则在正三角形 ABC中，很容易证得 BEQPEQBA PEFBA AEF ,那么在图 2(2)中，有 AiQ=AiF作 FM 丄 AiP 于 M ,连接 QH、QF ,则易得 AiQPA AiFP,正三角形的边长为3,依次可求得AiP= . 5 , QM=FM=2 5一工，在 QMF中，由余弦定理得5cos/ QMF=2011高考理18.(本小题满分13分)如图5在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且/ DAB=60 , PA PD 、2 ,pb=2

6、, E,F 分别是 BC,PC 的中点(1)证明：AD 平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由(1)知 PGB为二面角P AD B的平面角，在 Rt PGA 中，PG22(1)27 ；在 Rt BGA 中2 2 1 23BG 1（一）24PG2 BG2 PB2在PGB中，cos PGB2PG BG例 2 在如图 3 所示的三棱锥 P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=2,BC2=. 2 ,PA= , 2 .求二面角 P-BC-A 的大小.解：作 BC 中点 D,连接 PD,AD.因 PB=PC=AB=AC知 PD BC,AD BC,又有面 PBC与面 ABC共棱可得/

7、PDA为二面角P-BC-A的平面角而AB=2,BC=2 . 2 ,易知 AD=PD= 2 ,在 RT?PAD中，cos PDA2 2 2PD AD PA 1 2PD AD2所以二面角P-BC-A的大小为60、根据三垂线定理找出二面角的平面角图3 QMP FMP，所以/ PMQ= / PMF=90o,/ QMF为二面角 B-AiP-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面一点P作PA丄 于A，作AB丄I于B，连接PB,由三垂线定理得 PB丄I，则/ PBA为二面角1的平面角，故称此法为三垂线法 例2如图，在平面有一条直线AC与平面 成30 , AC

8、与棱BD成45，求平面 与平面 的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过 A作AF BD ； AE平面，连结FE .由三垂线定理可证BD EF , 则 AFE为二面角的平面角.总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结 两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角图4（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”,即“作AF BD ”、“连结EF“证明 EF BD”.例3（2006年试题）如图4，平面 丄平面 ， n =l, A , B I上的射影为 Ai，点B在I的射影为

9、Bi，已知 AB=2 , AAi=1 , BBi= ,2，求:（I ）略；（H ）二面角Ai-AB Bi的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性作AiE丄ABi于ABi于E,则可证 AiE丄平面 ABiB.过E作EF丄AB交AB于F，连接 AiF，则得 AiF丄AB ,/ AiFE就是所求二面角的平面角依次可求得ABi=BiB= .2, AiB= . 3 ,AiE=AiF=32，则在Rt AiEF中,sin/ AiFEnAWA iF 3例2. （2009卷理）如图，在直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中

10、，底面ABCD为等腰梯形,AB/CD , AB=4, BC=CD=2,AA i =2, E、已、F分别是棱AD、AA i、AB的中点。（1）证明：直线EEi/平面FCCi ；（2）求二面角B-FC i-C的余弦值。证（i）略解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点，所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形 取CF的中点O,则OB丄CF,又因为直四棱柱ABCD-A iBiCiDi中,CCi丄平面ABCD,所以CCi丄BO,所以OB丄平 面CCiF,过O在平面CCiF作OP丄CiF,垂足为P连接BP,则/ OPB为二 面角B-FC i -C的一个平面角，在厶BCF为

11、正三角形中，OB -3 ,在Rt CCiF 中， OPFs CCiF,tOPcc1OFC1f OP22 22在 Rt OPF中,BP . OP2 OB2OPBOPBPJ22面角B-FC 1-C的余弦值为_77练习2 (2008)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB 3, AD2, PA 2, PD 2、2, PAB 60(I)证明AD 平面PAB ;(n)求异面直线 PC与AD所成的角的大小；(川)求二面角 P BD A的大小.分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD丄平面PAB后，容易发现平面 PABL平面ABCD点P就是二面角P-BD-A的半平面上

12、的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面 ABCD勺垂线，于是可形成垂线定理中的斜线与射影容，从而可得本解法。(答案：二面角 P7 39BD A的大小为arctan 4例3在正方体ABCDA B1C1D1 中，Oi 为面 Ai B1C1 Di 中心，求面角 Oi AC 1Di的大小.解：在正方体 ABCDAi B1C1 Di 中 Bi DiA1C1,且 A1C1B1D1, B1D11图5面 Ai B1C1 Di,故 Bi Di AC 1, Bi Di A1C1又 AiCi, ACi 面 AC 1 Ai,可知 Bi Di ACi Ai过D1作D1M AC1于M，连接O!”则由三垂线（逆）定

13、理可知DiMOi为二面角Oi ACi Di的平面角不妨令AAi 2 , 0于是，有 D1M . 6 , OO1 . 2 , O1M-，可得33O1M 1cos D1MO11D1M 2所以二面角 Oi ACi Di的大小为-0三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为-CD -的一点，PA 于A点,PB于B点，如果 APB n ,试求PA面角 -CD-的平面角分析：PBPA CDPB CDCD平面PAB 因此只要把平面PAB与平面的交线画出来即可.证明 AEB为 -CD - 的平面角，AEB 180 n （如图 2）注意：这种类型的题，

14、如果过A作AECD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB CD ,及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC-AQG中，平面ABi与平面AC1构成的二面角的平面角为30，平面ABi与平 面BC1构成的二面角为70 试求平面AC1与平面BC1构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面， 可得 DEF ,其三个角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.例4空间的点P到二面角丨 的面 、 及棱l的距离分别为4、3、，求二面角丨的大小.3分析与略解：如图 5，分别

15、作PA丄 于A , PB丄 于B，则易知I丄平面PAB，设I门平面PAB=C，连接PC,贝U I丄PC.2/392J3分别在 Rt PAC、Rt PBC 中，PC=, PA=4, PB=3，贝U AC=33图5bc=5J3因为P、A、C、B四点共圆，且 PC为直径，设PC=2R，二面角l 的大小为分别在 PAB、 ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2 AC BCcos =PA2+PB2-2 PA PBcos(),1则可解得cos =, =120,二面角l的大小为120.2例5 如图7,在正三棱柱 ABC A1B1C1中，截面A1 EC 侧面AC1,若 AA1 A B1,求平面 AE

16、C与平面A B1C1所成二面角(锐角)的大小 .解：设AC AC1 G .因为面A1C1G与面AC1重合，由题意面AGG 面 AEC ,而 A为面A1EC与面ABG相交于棱上一点且 A 面A1C1G ,所以面A1C1G为所求二面角的一垂面，GA1C1为所求二图7面角的平面角连接B1E ,C1B ,并记它们的交点为O连接OF,由OEBEEF，知 OF / B1AOB1B1C11 FA由AB1BC1知 OF BC1 ,OEBC1 ,而BB1ECBCBB1BEBE2BC2因此故有BB1BCBEBCCC1B1B2图890 BEO ,RT? BB1E RT? BCC1,故所求二面角的大小为 45四、平移

17、平面法（无棱的一种）例5如图，正方体ABCD-A3GD1中，E为AA的中点，H为CCl上的点，且CH : ClH设正方体的棱长为a，求平面D1EH与底面A1B1C1D1构成的锐角的正切.分析： 本题中，仅仅知道二面角棱上的一点 D1，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平 移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面 的交线，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解 决问题了.如图，过点E作EM AD1与DQ相交于M点，过M点作MN CQ，与DM相交于n点可证平面EMN /平面

18、A1 B1C1D1 .这样，求平面D1EH与平面ABQP的二面角的平面角就转化为求平面D1EH与平面EMN的二面角的平面角显然EN为这两个平面的交线，过点 M作MF EN , F为垂足，连结D1F，可证DF EN 则D1FM为本题要寻找的二面角.例6 （本题关键在利用平移棱的垂线进行解题）在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中点，AB1 BC1,求二面角D BC1 C的大小.2 2 2B1EB1BBEBC2(BC)2可得 EOFEB1A 45解：作AE BC于E且交BD于F,则AE平面BB1C1C ,故二面角D BC1 C的大小为45例7 在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1

19、中，E是BC的中点，试求面B1ED与平面ABB1A1所成二面角的大小.解：取AD1中点F,连FD,FB;取AD中点K连接A? abe在平面acp的射影,于是可求得：ab bp ap . AC2 CB2 2.2 , BEAB2 AE2 . 6 , AE EC2 则Sace ae?ce 丘？巨 i,22Sabe AE?EB i2?、6322设二面角Bap c的大小为，则 cos.面角b ap c的大小为3arccos3练习4:如图5, E为正方体ABCD AiBiCiDi的棱CCi的中点，求平 面ABiE和底面AiBiCiDi所成锐角的余弦值.分析 平面ABiE与底面AiBiCiDi交线即二面角的

20、棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。 考虑到三角形ABiE在平面AiBiCiDi上的射影是三角形 AiBiCi，从而求得两个图i3三角形的面积即可求得二面角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值为cose上）.3例10求正四面体任意两个面所成二面角的大小.解：如图13,正四面体S-ABC,由正四面体的对称性,不妨求侧面与底面所成二面角的大小.易知S ABCS SAB S SAB S SBC而S的射影为 ABC的中心，所以S AOBS BOCS COA于是有cosS BOCS ABCS S SBC S SAB S SBC S SCA 3故正四面体任意

21、两面所成二面角的大小为1arccos.3例11如图14,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E为CC中点，F在1BB?上,且BF=BB?求平面A?EF在底面ABCD所成二面角的余弦值.3解：如图14所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，图14A1EF在底面ABCD内的射影为 ACB （延长AD、BE相交于点F ,连结FF.）AC由射影面积公式知cosSS ABC6 53故所求二面角的余弦SS A1EF53值为65?.八、将无棱二面角转化为有棱二面角直接作出无棱二面角的棱， 将无棱二面角转化为有棱二面角，按有棱二面角来处理，作棱有两种常用的方法:作交线，由交点得棱； 作平行线，即为棱例

22、3 （ 2008）如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60, E是CD的中点，FAX底面 ABCD , FA = 2.（I）证明：平面 FBE丄平面FAB;（H）求平面 FAD和平面FBE所成二面角（锐角）的大小 .分析：本题的平面FAD和平面FBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整 再在完整图形中的 PF上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（I）证略解：（H）延长 AD、BE相交于点F，连结FF.过点A作AH丄FB于H，由（I）知平面FBE丄平面 FAB所以AH丄平面 FBE.在 Rt ABF 中，因为/ BAF = 60,所以，AF=2AB=

23、2=AF.在等腰Rt FAF中，取FF的中点G,连接 AG.则AG丄PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得，PF丄HG.所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰 Rt FAF 中， AG PA22.在 Rt PAB 中,AH PBAP|AB 2 .AP2 AB252、55-所以，在 Rt AHG 中，sin AGHAHAG2.557T105故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是.Vio arcs in 5练习3已知斜三棱柱 ABC AiBiCi的棱长都是a,侧棱与底面成60的角, 侧面BCCiBi丄底面ABC。（1）求证：ACBC ；（2）求平面ABi

24、Ci与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为 45） 如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点 此时,若在二面角的两个半平面各存在一条直线且相互平行 二面角的平面角例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为 a,求平面解：如图，过P点作I/AB,则I 面PAB.P,图中没有给出二面角的棱,则过P分别作这两条直线的垂线 PQ和 PR,则/ QPF就是PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.故在 P-ABCD中有丨 / AB,l/CD .所以，1 面PCD,知面PCD 面PAB l .作AB中点E,CD中点F.连接PE,PF.易知

25、PE PF CD,PF | ,可知/ EPF为所求二面角的平面角.AB,PE由条件PE=PFda, EFa，得到22 2 2PE PF EF cos EPFPE PF图12故平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为九、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表 示的向量，进行向量计算解题。可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,若二面角I两个半平面的法向量分别为 ,n2且知道二面角I 为锐角（钝角），则cosn1 n2(cosn1 n2严）,其中ni %为二面角l的平面角.

26、定理1设二面角丨 为,B l； AE l于 E, BF l于 F ,则，有M图19文5给出另一结论:定理2 如图19，空间任一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任一点,MN L于N,则NMAMAM AB2-ABAB利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N坐标的判断.例14如图20,已知正方形 ABCD和矩形 ACEF坐在平面相垂直,AB 2, AF 1 ,M是线段EF中点，求二面角A-DF-B的大小.解：如图建立空间直角坐标系C xyz，则 A（、2, ：2,0）,B（0,、2,0）,图20D( 20,0)

27、,FC2 .2,1).作AM DF于M,BN DF的延长线于N,则MA与NB所成的角的大小与二面角 A-DF-B的大小相等DA DFV2 2MA DA DM DA DF （0,一）DF33DB DFl 祁22NB MADB DN DB二 DF ( . 2,)33DFcosMANB 12MA NB故二面角A-DF-B的大小为60例12如图15,在矩形ABCD外存在一点 解：由题意建立如图空间直角坐标系为n1(x-i, y1, z1),面 PCD的法向量 n2则有由n1PBn1PCn1(1,0,1)n2PDn2PCn2(0,1,2)P,使 PA 面 ABCD PA=PB=1,BC=2求二面角B-P

28、C-D的大小.图15得cosn1 n2n1n2.1057i0arccos .511M 一,1,.22(I)解:BF1,0,1 , DE于是 cos BF,DEBF?DEBF DE0, 1,1 ,0 0 12? 2注意到B-PC-D为钝角，故 B-PC-D的大小为例4: (2009卷理)如图，在五面体 ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M为EC的中点，1AF=AB=BC=FE= AD2(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD 平面CDE ；求二面角A-CD-E的余弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原

29、点。设AB 1,依题意得E 0,1,1 , F 0,0,1 ,B 1,0,0 , C 1,1,0， D 0,2,0 ,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(II)证明：由AM1 1 111 ?2 2CE1,0,1 , AD0,2 ,0 ,可得 CE?AM 0,CE?AD0因此,CE AM,CEAD 又 AMAD A,故CE 平面AMD而CE 平面CDE ,所以平面AMD平面 CDE.(III )解：设平面CDE的法向量为u(x , y , z),u?CE 0 , 则.u?DE 0.于是0 令x 1,可得 u(1,1,1).又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0,0,1).练习 5、(

30、2008)如图，在直三棱柱 ABCAi B1C1中，平面ABC侧面AABB!.(I)求证:AB BC;(n)若直线AC与平面ABC所成的角为,二面角A1 BC A的大小为 ，试判断与的大小关系，并予以证明分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A1丄平面BGC1 B1丄平面ABC于是很容易想到 以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。(答案:a口 ac - a 、arcs in, 且v二,)a c b i a c . a c总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同

31、的解题技 巧，考生可选择使用。十、其他(有关二面角的最值问题等)求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题例6二面角 -l-的大小是变量(0)，点 B、C 在 I，且AD丄BC, AD与面成一角，若6 ABC的面积为定值 5,求厶BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图 9，作AE丄BC于E,连DE,则由AD丄BC得上，A、D分别在面BC丄平面 ADE，贝U DE丄BC，/AED=，/ ade=-.在厶AED中，由正弦定理得DEAESin( 6)Q乞，所以QS Sin6sin(sin62)Q 2SSin( 6)，则当时，有Qmax=2S.3 BCD和厶ABC有公共的底边 BC,则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识， 但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能 .三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力