82偏导数57576

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1、8.2 偏导数偏导数7.2.1 偏导数偏导数7.2.2 高阶偏导数高阶偏导数例例 理想气体的压强理想气体的压强p，其中其中R为常数为常数,VRTp 8.2.1 偏导数 p关于关于T的变化率的变化率, ,当当V为常数时，为常数时， VT0 ,0p是是T的一元函数的一元函数, ,称为称为p关于关于T的偏导数的偏导数 p关于关于V的变化率的变化率, ,当当T为常数时，为常数时，p是是V的一元函数的一元函数, ,称为称为p关于关于V的偏导数的偏导数的函数关系：的函数关系：体积体积V 和绝对温度和绝对温度T之间之间xxfxxfxfx )()(lim)(0000一元函数的导数,0 xxy ),(0 xf

2、或或0ddxxxy 0d)(dxxxxf 记号记号回忆),(yxfz 设设,0yy固定为固定为将将存在存在, ,处处在点在点),(),(00yxyxfz 的某邻域的某邻域在点在点),(00yx内有定义，内有定义，,0时时处处有有增增量量在在而而xxx 如果极限如果极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为则称此极限为记为记为对对x的偏导数的偏导数,00yyxxxz ,00yyxxxf ),(00yxzx或或).,(00yxfx),(00yxzx ),(00yxfx 二元函数的偏导数定义定义: :同理同理, ,处处在点在点),(),(00yxyxfz yyxfyyxfy )

3、,(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ),(00yxfy 对对y的偏导数的偏导数,为为),(00yxzy 或或).,(00yxfy),(00yxzy说明说明xyxfyxxfx ),(),(lim00000对对x的偏导数的偏导数, ),(00yxfx点，点，在在),(00yx就是函数就是函数沿沿平行平行x轴方向轴方向的的变化率变化率,点，点，在在),(00yx),(00yx xyO),(00yxx 对对y的偏导数的偏导数, 是沿是沿平行平行y轴方向轴方向的的变化率变化率, xzxyxfyxxfx ),(),(lim0偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概

4、念可以推广到二元以上函数 ),(zyxfx ),(zyxfy ),(zyxfz如如, ,),(zyxfu 处处在在),(zyx,),(),(lim0 xzyxfzyxxfx ,),(),(lim0yzyxfzyyxfy .),(),(lim0zzyxfzzyxfz 从从偏导数的定义偏导数的定义可知，可知，因此因此一元函数一元函数的求导法则和求导公式，的求导法则和求导公式，),(yxfx如求如求只需将只需将y看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法, ,求多元函数的求多元函数的偏导数偏导数),(yxf将将看成看成x的一元函数求导即可的一元函数求导即可.对多元函数求偏导数仍然适用。对多元

5、函数求偏导数仍然适用。说明说明 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 解解,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz三个偏导数三个偏导数. .2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时, ,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf)2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf12lncos2 xxx2 , 000 y002 z例例变为一元函数再求导变为一元函数再求导, ,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值代入可将其它变量的值代入, ,常常较简单

6、常常较简单. .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 结论成立结论成立例例解解 xz xyxxyxx2222211)(22|22222222yxyxxxyxyyx .|22yxy 322222)(|yxyyyx 例例 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxxsgn22)(220|222222yxyxyxyyx 证证,VRTp ;2VRTVp ,pRTV ;pRTV ,RpVT ;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 例例、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求

7、分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，说明说明例例 设 ),(yxfz0422yxxy 002222 yxyx解解422)0,0(),(2limyxxykyxyx 沿沿442220limyykykyy 12 kk此极限不存在，此极限不存在，故函数在故函数在(0,0)(0,0)不连续。不连续。与与k有关有关,xxxx 100lim4220yyyy 100lim4220偏导数存在偏导数存在 连续连续. ),(yxfz0422y

8、xxy 002222 yxyxxf )0,0(yf )0,0(xfxfx )0 , 0()0,0(lim0yfyfy ) 0 , 0()0, 0(lim00 0 一元函数在一点一元函数在一点可导可导，一定在该点，一定在该点连续连续的结论，的结论，说明说明对于多元函数对于多元函数不成立不成立，因为偏导数存在，因为偏导数存在，只能保证沿只能保证沿平行坐标轴方向平行坐标轴方向有有),(lim),(),(00yxfyxyx沿沿平平行行坐坐标标轴轴方方向向),(00yxf 而不能保证沿而不能保证沿任意方向任意方向都有都有),(lim),(),(00yxfyxyx),(00yxf 例例22),(yxyxf

9、z 所以函数在所以函数在 (0, 0) (0, 0) 点是连续的点是连续的解解0 连续连续 偏导数存在偏导数存在. )0 , 0(xf而而xxx 0lim不存在不存在. .)0 , 0(yf不存在不存在.同理同理22)0,0(),(limyxyx )0 , 0(f xfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C.

10、 充分必要条件充分必要条件D. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D可偏导可偏导连续连续 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例.),(的的偏偏导导数数求求yxf,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 ,)()(22222yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 .)()(22222yxyxx )0 , 0(xfxx 0lim0 )0 , 0(yf00lim0 yy xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0

11、, 0(lim0,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当.),(的偏导数的偏导数求求yxf0 一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义表示表示)(0 xf )( ,tan)(0为倾角为倾角 xf)(xfy 曲线曲线,)(,(00切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点xfxM即即0 x xyO)(xfy CT M二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义),(,(00000yxfyxM设设),(yxfz 为曲面为曲面上的一点上的一点, ,0M),(yxfz yzO过点过点0M作作平面平面,

12、0yy 此平面与曲面此平面与曲面相交得一曲线相交得一曲线, , 曲线的方程为曲线的方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz ),(00yxfx),(0yxf 0 xx 故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义0 x0yx 可知可知: :0 xyTxT0y),(yxfz yzO),(0yxfz 0M),(00yxfx表示曲线表示曲线 ),(yxfz 0yy 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线处的切线),(00yxfy表示曲线表示曲线 ),(yxfz 0 xx 在点在点),(,(00000yxfyxM),(0yxfz x关于关于x轴轴正向夹角正向夹角的正切值的正

13、切值处的切线关于处的切线关于y 轴轴正向夹角的正切值正向夹角的正切值同理同理: :x 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxzx tan1)4 , 2( xz4 ,4422 yyxz,21),(yyxzy tan2)4 , 2( yzarctan2 在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz 曲线曲线例例练习练习8.2.2 高阶偏导数),(),(yxfyxfyx还是还是x,y的二元函数，的二元函数，如果这两个函数对如果这两个函数对x,y的的偏导数

14、偏导数也存在，也存在，则称这些则称这些偏导数偏导数为为f(x, y)的的二阶偏导数，二阶偏导数，记作记作 xz纯偏导纯偏导x 22xz 22yz yzy xzy yxz 2xyz 2 yzx 混合偏导混合偏导定义定义n n-1-1阶偏导数的偏导数称为阶偏导数的偏导数称为n n阶偏导数阶偏导数,22xz ,22yz ,2yxz xyz 2),(yxfxx 或或),(yxzyy ),(yxzxyxyf 22 2阶和阶和2 2阶以上的偏导数统称为阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .例例xyyxz 23求求的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数. .解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz

15、,62xy 22yz,23x xyz2. 162 yx yxz2162 yx yz解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax byabeyxuaxsin2 .sin2byabexyuax 例例在一定条件下，混合偏导数相等！在一定条件下，混合偏导数相等！多元函数的高阶混合偏导数如果连续，多元函数的高阶混合偏导数如果连续，一般地一般地, ,则混合偏导数与则混合偏导数与求导次序无关求导次序无关. .如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(yxfyx与与),(yxfxy在区域在区域D内内定理定理连续，连续， 那么

16、在那么在导数导数该区域内该区域内).,(yxfyx ),(yxfxy),(yxfz 多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段规律的一种重要手段.例如方程例如方程22222xzayz (a是常数是常数)称为称为波动方程波动方程, 它可用来描述各类波的它可用来描述各类波的运动运动.又如方程又如方程02222 yzxz称为称为拉普拉斯拉普拉斯(laplace)方程方程, 它它在热传导、流体在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用运动等问题中有着重要的作用. 22lnyx

17、z,22yxxxz . 02222 yzxz例例 验证函数验证函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程: :22lnyxz 证证 因因 22xz,)(22222yxxy 由由x, y在在函数表达式中的对称性函数表达式中的对称性,有有),ln(2122yx 22yxyyz 2222222)(yxyxyz 22222)(2)(yxxxyx . 02222 yzxz例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设解解,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(23222422

18、2yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx ).0 , 0()0 , 0(yxxyff和和求求,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(xf yfyfxxy)0 , 0()0 , 0(lim02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx , 0 )0 , 0(yf xfxfyyx)0 , 0()0 ,0(lim0. 122223223)(2),(yxyxyxxyxfy 00 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设).0 , 0()0 , 0(xyxyff和和求求yx偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）小结