（推荐）解一元二次方程的方法

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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。 一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程里面要有等号，且分母里不含未知数。 (4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a0） 补充说明1、该

2、部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是高考的热点。 3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1X2=c/a（也称韦达定理） 4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得) 5、在系数a0的情况下，b2-4ac0时有2个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，b2-4ac0时无实数根。 一般式ax2+bx+c=0（a、b、c是实数，a0) 例如：x2+2x+1=0 配方式a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 两根式（交

3、点式）如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法 1.分解因式法（可解部分一元二次方程） 因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 如 1.解方程：x2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+12=0 解得：x?= x?=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 即 x-3=0 或 x+1=0 x1=3，x2=-1 3.解方程x2-4=0 解：（x+2）

4、（x-2）=0 x+2=0或x-2=0 x?=-2，x?= 2 十字相乘法公式： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例： 1. ab+b2+a-b- 2 =ab+a+b2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2) 2.公式法（可解全部一元二次方程） 首先要通过=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当=b2-4ac0时 x有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x=-b（b24ac）/2a 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!来求得方程的根 3.配方法（可解全部一元二次方程）

5、 如：解方程：x2+2x3=0 解：把常数项移项得：x2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 4.开方法（可解部分一元二次方程） 如：x2-24=1 解：x2=25 x=5 x?=5 x?=-5 5.均值代换法（可解部分一元二次方程） ax2+bx+c=0 同时除以a，得到x2+bx/a+c/a=0 设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m0) 根据x1*x2=c/a 求得m。 再求得x1, x

6、2。 如：x2-70x+825=0 均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m0) x1*x2=825 所以m=20 所以x?=55， x?=15。 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到） 一般式：ax2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系： x1+x2= -b/a x1*x2=c/a 如何选择最简单的解法1看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法） 2看是否可以直接开方解 3使用公式法求解 4最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解

7、题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序： 1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法 例题精讲1、开方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解为x=mn 例1（1）(3x+1)2=7 分析：此方程显然用直接开平方法好做。 （1）解：(3x+1)2=7 3x+1=7 x1=.,x2= . （2）9x2-24x+16=11 方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x

8、-4=11 x1=.,x2= . 2配方法： 例1 用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-4/3x=2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-4/3x+( -2/3)2= 2/3+(-2/3 )2 配方：(x-2/3)2=10/9 直接开平方得：x-2/3=(10)/3 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!x?= , x?= . 原方程的解为x?=,x?= . 3公式法：把一元二次方程化成ax2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 当=b2-4ac0时，求根公式为

9、x1=-b+(b2-4ac)/2a,x2=-b-(b2-4ac)/2a（两个不相等的实数根） 当=b2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 当=b2-4ac0 x= (46)/2 原方程的解为x?=(4+6)/2,x?=(4-6)/2. 4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 解：化简整理得 x2-3x-10=0

10、(方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) x?=5,x?=-2是原方程的解。 (2) 2x2+3x=0 解： x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) x?=0，x?=-3/2是原方程的解。 注意：容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） 解：(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 2x-5=0或3x+10=0 x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。 (4) x2-4

11、x+4 =0 解：(x+2)(x-2 )=0 x?=-2 ,x?=2是原方程的解。 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!小结一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）