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1、东莞2012-2013学年度第学期高三调研测试理科数学 考生注意：本卷共三大题，满分150分，时问120分钟不准使用计算器参考公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分每小题各有四个选择支，仅有一 个选择支正确请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1若a实数，则a等于 A2 B-1 C1 D-22若函数，则是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的偶函数3学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10,50)（单位：元），其中支
2、出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为 A100 B120 C130 D3904等差数列中，,则该数列前n项和取得最小值时n的值是A4 B5 C6 D75设m、n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则的个充分条件是Am/n,/, B,/,/m Cm/n，, / D,6甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为A B C D72012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间x的关系，若定义“速度
3、差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像是设集合，在上定义运算：，其中为被3除的余数，则使关系式成立的有序数对总共有A对B对C对D对已知函数的定义域为，的定义域为，则10已知变量x,y满足则的最小值是 。11如右图所示的算法流程图中，第3个输出的数是 。12已知实数，为坐标平面上的三点，若，则ab的最大值为 。13设，则二项式的展开式中常数项是 。（二）选做题（第14、15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，圆C的参数议程是（ 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C的极坐标是 。15（几何证明选讲选做题）如图，四边形内接于，
4、AB为的直径，直线MN切于点D，则= 。三解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分） 设函数，在ABC中，角A、的对边分别为a,b,c (1)求的最大值； (2)若,求A和a。17（本小题满分12分） 某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培现知垒市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 (1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率； (2)任选3名
5、教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望18（本小题满分14分） 如图,几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与ABC组成的平面图形，平面ABC,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线SB与平面SAC所威角的正弦值； (2)求几何体SABC的正视图中的面积； (3)试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得，若存在，说明点P的位置并 证明；若不存在，说明理由19（本小题满分14分） 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次 品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系： 已知每生产l万件合格的元件可以盈利
6、2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元（利润=盈利一亏损） (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T(万元)表示为日产量x（万件）的函数； (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？20（本小题满分14分） 已知函数（e是自然对数的底数，e=2.71828） (1)若k=e，求函数的极值； (2)若，求函数的单调区间； (3)若，讨论函数在上的零点个数21（本小题满分14分） 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意。都有 ,. (e是自然对数的底数，e=2.71828） (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)试探究是否
7、存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，满分40分.）题号12345678答案ADABCBDC二、填空题（每小题5分，满分30分）9 102 117 12. 13. 14 15.三、解答题（本大题共6小题，满分80分.）16.（本小题满分12分） 解：（1）因为 1分 3分 . 4分 所以，当，即，时，取得最大值， 5分 其最大值为. 6分 （2）由得，即. 7分在中，因为，所以.又， 所以，. 9分又因为，所以. 10分在中，由及，得 . 12分17（本小题满分12分
8、）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且， 1分（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是 4分（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是 5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布， 6分且， 8分即的分布列是01230.7290. 2430.0270.001 10分所以，的期望是 12分（或的期望是）18. （本小题满分14分） ABCOSH解：（1）过点作于点，连接. 1分 因为， 所以. 2分 又因为， 所以， 即就是直线与平面所成角. 3分 在中，因为， 所以，. 4
9、分 在中，因为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5分（2）由（1）知，几何体的正视图中，的边，而，所以. 6分又的边上的高等于几何体中的长，而，所以， 7分 所以. 8分ABCOSMP（3）存在. 9分证明如下： 如图，连接并延长交弧于点， 在底面内，过点作交弧于点. 10分 所以. 而，所以. 11分 又因为， 所以，从而. 12分 又因为，所以有，所以 ， 13分即点位于弧的三等分的位置，且. 14分19（本小题满分14分）解：（1）当时，合格的元件数为， 1分 利润； 3分当时，合格的元件数为， 4分 利润， 6分 综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润 7分（2）当时，,对
10、称轴，此时利润的最大值. 9分当时， ， 10分 所以在上是减函数， 11分此时利润的最大值， 12分综上所述，当时，取最大值2, 13分 即当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润2万元. 14分 20（本小题满分14分）解：（1）由得，所以 1分 令，得，解得 由得，由得， 当变化时，、的变化情况如下表：10+单调递减极小值单调递增 2分所以当=1时，有极小值为0，无极大值 3分（2）由，得 当时，则对恒成立， 此时的单调递增，递增区间为 4分 当时，由得到，由得到， 所以，时，的单调递增区间是；递减区间是 6分 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间是；递减区间是 7分
11、（3）解法一： 当时，对恒成立，所以函数在上无零点8分 当时，由（2）知，对恒成立，函数在上单调递增，又， 9分 所以函数在上只有一个零点 10分（若说明取绝对值很大的负数时，小于零给1分）当时，令，得，且在上单调递减，在 上单调递增，在时取得极小值，即在上最多存在两个零点（）若函数在上有2个零点，则，解得；11分（）若函数在上有1个零点，则或，解得或； 12分（）若函数在上没有零点，则或，解得 13分 综上所述， 当时，在上有2个零点；当或时，在上有1个零点；当时，在上无零点 14分 解法二： 当时，对恒成立，所以函数在上无零点8分y=exy=kxyx0图1当时，在上的零点就是方程在上的解，
12、即函数与在上的交点的横坐标 9分当时，如图1，函数与只在上有一个交点，即函数在上有一个零点 10分y=exy=kxyx0图24当时，若相切时，如图2，设切点坐标为，则 即切线的斜率是所以，解得，即当时，只有一个交点,函数 在上只有一个零点；11分由此，还可以知道，当时，函数在上无零点 12分y=exy=kxyx0图34当过点时，如图3，所以时，在上有两个交点，即函数在上有两个零点；时，在上只有一个交点，即函数在上只有一个零点 13分综上所述，当时，函数在上有2个零点；当或时，函数在上有1个零点；当时，函数在上无零点 14分21（本小题满分14分）解：（1）因为，当时，解得； 1分当时，有，由-得，（）.而，所以（），即数列是等差数列，且. 2分又因为，且，取自然对数得，由此可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以， 4分所以. 5分（2）由（1）知， 6分所以，由-得， 7分所以. 8分 （3）由，得，由可得 ，即使得对于任意且，不等式恒成立等价于使得对于任意且，不等式恒成立. 10分. 11分（或用导数求在上的最大值.）令，由可得 ，化简得：，解得,所以当时，取最小值，最小值为,13分所以时，原不等式恒成立. 14分
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