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1、 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2014届第三次模拟考试理科数学试题注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效第I卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是
2、符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若复数是纯虚数，则实数的值为( )(A) 或 (B) (C) (D)或2.已知集合,则( )(A) (B) (C) (D)3等差数列中，如果，则数列前9项的和为( )(A)297 (B)144 (C)99 (D)664.圆上的点到直线的距离最大值是( )(A)2 (B)1+ (C) (D)1+5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )(A)45 (B)50 (C)55 (D)606.若下框图所给的程
3、序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ) (A) (B) (C) (D) 7.下列命题正确的个数是 ( )命题“”的否定是“”；函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；在上恒成立在上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.(A)1 (B)2 (C)3 (D)48.已知外接圆的半径为，且，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形9.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)10.定义域为的
4、函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为( )(A) (B) (C) (D) 第卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .12.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是 .13.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为 .14.观察下列等式：；则当且时， .（最后结果用表示）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(A)（不等式选讲选做题）己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 .(B)（几何
5、证明选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆心，绕点逆时针旋转到，则的长为 . (C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知函数.（）求函数的单调增区间；（）在中，分别是角的对边，且，求的面积.17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数（）证明：数列是等比数列；（）当时，数列满足，求数列的通项公式18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，
6、为等腰直角三角形，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求锐二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分）一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖()试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；()若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；()记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.20.（本小题满分13分）已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上（）求椭圆的标准方程；（）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；（）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个
7、定值21.（本小题满分14分）设函数（）求的单调区间；（）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；（）证明：当时， 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2014届第三次模拟考试数学（理）答案第I卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CCCBBDBBAB 第卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）题号1112131415ABC答案三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小
8、题，共75分）16.（本小题满分12分）【解析】（）=.3分函数的单调递增区间是.5分（），.又，. 7分在中，,即. 10分 12分17.（本小题满分12分）【解析】（）证明：因为,则，所以当时，整理得-4分由，令，得，解得所以是首项为，公比为的等比数列 -6分（）当时，由（）知，则，由，得 ， - 8分当时，可得， -10分当时，上式也成立 数列的通项公式为 - 12分18.（本小题满分12分）【解析】（）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. -2分设，则.，. -4分又， 平面.-6分（）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.-8分由（）知，
9、平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取.-10分设锐二面角的大小为，则.所求锐二面角的余弦值为.-12分19.（本小题满分12分）【解析】()一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率.- 4分()若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. - 8分()设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是， ，在是增函数，在是减函数，当时，取最大值. -10分由.时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大-12分20.（本小题满分13分）【解析】（）由点在直线上，得，故， 从而 2分所以椭圆方程为 4分（）以为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径6分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离所以，解得所求圆的方程为9分（）方法一：由平几知：，直线，直线，由得所以线段的长为定值 13分方法二：设，则又所以，为定值 13分21.（本小题满分14分）【解析】（）时，在上是增函数-1分当时，由，由，在上单调递增，在上单调递减. -4分（）当时，由（）知，在上单调递增，在上单调递减，又， -6分当时，方程有两解 -8分（）.要证：只需证只需证： 设， -10分则由（）知在单调递减， -12分，即是减函数，而，故原不等式成立 -14分
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