2016年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

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1、2015-2016学年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1若集合A=x|x210，B=x丨0x4，则AB等于（）Ax|0xlBx|lxlCx|1x4Dx|lx4【考点】并集及其运算【专题】集合思想；综合法；集合【分析】根据并集的运算性质计算即可【解答】解：A=x|x210=x|1x1，B=x丨0x4，AB=x|1x4，故选：C【点评】本题考察了集合的运算，考察不等式问题，是一道基础题2设i为虚数单位，复数z=i（5i）在平面内对应的点的坐标为（）A（1，5）B（l，5）C（1，5）D（1，5）【考点】复数代数形式的乘除运算

2、【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=i（5i）=1+5i，复数z=i（5i）在平面内对应的点的坐标为（1，5），故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3抛物线y=x2的准线方程为（）Ax=Bx=Cy=Dy=【考点】抛物线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出抛物线y=x2的标准方程，再求抛物线y=x2的准线方程【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=y，抛物线y=x2的准线方程为y=故选：C【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础

3、题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用4如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任取一点，则该点落在正方形内的槪率为（）ABCD【考点】几何概型【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的区域面积即可【解答】解：半圆的面积S=，正方形的面积S1=，则对应的概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键5等比数列an中，a1+a2=4，a2+a3=12，则a3与a4的等差中项为（）A6B12C9D18【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数

4、列与等比数列【分析】由已知求出等比数列的公比，进一步求得a3与a4的值，再由等差中项的概念得答案【解答】解：数列an为等比数列，且a1+a2=4，a2+a3=12，q=，则由a1+a2=4，得a1+3a1=4，即a1=1，a3与a4的等差中项为故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题6如果实数x，y满足条件，則z=3x2y的最小值为（）A4B2C1D2【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图

5、，化z=3x2y为，由图可知，当直线过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A1B2CD3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=3，高h=，故体积V=，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几

6、何体的形状是解答的关键8执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A10B6C3D12【考点】程序框图【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的功能是计算并输出S=12+2232+42的值，得出数值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序的功能是计算并输出S=12+2232+42的值，所以S=12+2232+42=10故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据循环条件判断出循环变量的终值，结合循环体分析出程序的功能，是基础题9设向量=（2sinx，1），=（3，4），x（0，），当|取最大值时，向量在方向上的投影为（）AB或2C

7、D或2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用【分析】由向量的坐标求出模，结合三角函数的有界性求出|取最大值时的的具体坐标，代入投影公式得答案【解答】解：=（2sinx，1），x（0，），当2sinx=2时，|取最大值，此时向量在方向上的投影为故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，是中档题10设P是焦距为6的双曲线C：=1（a0，b0）右支上一点，双曲线C的一条渐近线与圆（x3）2+y2=5相切，若P到两焦点距离之和为8，则P到两焦点距离之积为（）A6B6C10D12【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；定义

8、法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可知c=3，再根据双曲线C的一条渐近线与圆（x3）2+y2=5相切，得到b=，a=2，再根据|PF1|PF2|=2a=4，|PF1|+|PF2|=8，即可求出答案【解答】解：2c=6，c=3，又（c，0）到直线y=x的距离为b，而双曲线C的一条渐近线与圆（x3）2+y2=5相切，b=，a=2，|PF1|PF2|=2a=4，|PF1|+|PF2|=8|PF1|=6， |PF2|=2，|PF1|PF2|=12，故选：D【点评】本题考查了双曲线的定义和性质以及直线和圆的位置关系，属于基础题11已知函数f（x）=2sin（x+）在区间（0，）上存在唯一一个x

9、0（0，），使得f（x0）=1，则（）A的最小值为B的最小值为C的最大值为D的最大值为【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得x0+（，+），且+2+，求得的范围，从而得出结论【解答】解：x0（0，），x0+（，+）由存在唯一一个x0（0，），使得f（x0）=1，可得sin（x0+）=，+2+，求得 0，的最大值为，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断+2+，是解题的关键，属于基础题12设函数f（x）=log（x2+1）+，则不等式f（log2x）+f（logx）2的解集为（）A（0，2B，2C2，+）D（0，2，+）【考点】对数函

10、数的图象与性质；对数的运算性质【专题】数形结合；换元法；函数的性质及应用【分析】f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，再通过换元法解题【解答】解：f（x）=（x2+1）+=f（x），f（x）为R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，令t=log2x，所以， =t，则不等式f（log2x）+f（）2可化为：f（t）+f（t）2，即2f（t）2，所以，f（t）1，又f（1）=2+=1，且f（x）在0，+）上单调递减，在R上为偶函数，1t1，即log2x1，1，解得，x，2，故选：B【点评】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判

11、断及应用，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=，则f（f（4）=7【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用分段函数性质求解【解答】解：函数f（x）=，f（4）=log24=2，f（f（4）=f（2）=29=7故答案为：7【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用14设函数f（x）=4x2lnx，且f（m）=0，则m=【考点】导数的运算【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用【分析】求函数的导数，解导数方程即可【解答】解：函数的导数为f（x）=8x，则由f（m）=0得8m=0，得8m2=1

12、，得m=，函数的定义域为（0，+），m0，则m=，故答案为：【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础15长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为9【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积【解答】解：长方体的体对角线的长是： =3球的半径是：这个球的表面积：4=9故答案为：9【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，是基础题16已知S为数列an的前n项和，若an（4+cosn）=n（2cosn），則S2

13、0=122【考点】数列的求和【专题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】分n为奇数、偶数求出各自的通项公式，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论【解答】解：当n=2k+1时，cosn=1，3an=3n，即an=n；当n=2k+2时，cosn=1，5an=n，即an=n；S2n=（1+3+5+2n1）+（2+4+6+2n）=+=，S20=122，故答案为：122【点评】本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题（本题共5小题，共70分）17在ABC中，角A，B，C的对边分別a，b，c，且3csinA=bsinC （1）求的值；（2）若ABC

14、的面积为3，且C=60，求c的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】（1）由题意正弦定理可得3sinCsinA=sinBsinC，约掉sinC可得3sinA=sinB，可得=3；（2）由三角形的面积公式和（1）可得a=2且b=6，再由余弦定理可得c值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分別a，b，c，且3csinA=bsinC，由正弦定理可得3sinCsinA=sinBsinC，3sinA=sinB，=3；（2）由题意可得ABC的面积为S=absinC=a2=3，解得a=2，故b=3a=6，由余弦定理可得c2=a2+（3a）22a3a=7a2=28，

15、c=2【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题18某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组457910乙组56789（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够

16、比较两组员工的业务水平（）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率【解答】解：（）依题意， =（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S= （47）2+（97）2+（107）2=5.2，S= （57）2+（87）2+（97）2=2=，S甲2S乙2，两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大（）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，

17、8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，P（A）=【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用19在四梭推 PABCD中，CD平面PAD，ABCD，CD=4AB，ACPA，M为线段CP上一

18、点（1）求证：平面ACD平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB平面PAD【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由CD平面PAD得PACD，结合PAAC，得PA平面ACD，故平面ACD平面PAM；（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE，可得MECD，ME=CD，因为ABCD，AB=CD，所以AB与ME平行且相等，推出四边形ABME是平行四边形，故MBAE，所以MB平面PAD【解答】证明：（1）CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA，又ACPA，CDAC=C，PA平面ACD，PA平面PAM，平面ACD平面

19、PAM（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AEPM=PC，MECD，ME=CD，又ABCD，AB=CD，MEAB，ME=AB，四边形ABME是平行四边形，MBAE，又AE平面PAD，MB平面PAD，MB平面PAD【点评】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，属于基础题20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且短轴长为2，O为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx+与椭圆交于A、B两点，且=，求k的值【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）短轴的长求得b，进而根据离心率求得a和c的关系，则a和b的关系可求得，最后根据b求

20、得a，则椭圆的方程可得；（2）设出A，B的坐标，把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，由直线方程和韦达定理，可得y1y2，进而根据斜率的数量积的坐标表示和=得k的关系式，解方程可得k的值【解答】解：（1）短轴长2b=2，即b=1，e=，又a2=b2+c2，所以a=，b=1，所以椭圆的方程为+y2=1；（2）由直线l的方程为y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，消去y得，（1+2k2）x2+4kx+2=0，由直线与椭圆有两个不同的交点，即有0，即32k28（1+2k2）0，解得k2，又x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+）（kx2+）=k2x

21、1x2+k（x1+x2）+2=，则=x1x2+y1y2=，解得k=1【点评】不同考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线的斜率的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题21已知函数f（x）=x3+kx2+k（kR）（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为12，求函数f（x）的极值；（2）设k0，g（x）=f（x），求F（x）=g（x2）在区间（0，）上的最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】函数思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析

22、】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得k=4，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间，进而得到极值；（2）求出g（x）和F（x）的解析式，令t=x2（0，2，可得F（x）=h（t）=t2+kt=（t+）2，k0，t=0，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性，即可得到所求最小值【解答】解：（1）函数f（x）=x3+kx2+k的导数为f（x）=x2+kx，由题意可得f（2）=4+2k=12，解得k=4，即有f（x）=x3+2x2+4，f（x）=x2+4x，当x0或x4时，f（x）0，f（x）递增；当4x0时，f（x）0，f（x）递减可得f（x）的极小值为f（0）=4；f（x）

23、的极大值为f（4）=；（2）F（x）=x4+kx2，t=x2（0，2，可得F（x）=h（t）=t2+kt=（t+）2，k0，t=0，当4k0时，（0，2），h（t）min=h（）=；当k4时，2，+），h（t）在（0，2）递减，h（t）min=h（2）=4+2k综上可得，h（t）min=【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，属于中档题选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，择按所做的第一题计分）【选修4-1：几何证明选讲】22如图，ABO三边上的点C、D、E都在O上，已知ABDE，A

24、C=CB（l）求证：直线AB与O相切；（2）若AD=2，且tanACD=，求AO的长【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（1）连结OC，OCAB，推导出OA=OB，OCAB，由此能证明直线AB与O相切（2）延长DO交O于点F，连结FC，由弦切角定理得ACDAFC，从而=，由此能求出AO的长【解答】证明：（1）ABDE，又OD=OE，OA=OB，如图，连结OC，AC=CB，OCAB，又点C在O上，直线AB与O相切解：（2）如图，延长DO交O于点F，连结FC，由（1）知AB是O的切线，弦切角ACD=F，ACDAFC，tan

25、ACD=tanF=，又DCF=90，=，AD=2，AC=6，又AC2=ADAF，2（2+2r）=62，r=8，AO=2+8=10【点评】本题考查线与圆相切的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的简单运用【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2016白山二模）在极坐标中，直线l的方程为（3cos4sin）=2，曲线C的方程为=m（m0） （1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】（1）令=0，得（3cos04sin0）=

26、2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围【解答】解：（1）直线l的方程为（3cos4sin）=2，令=0，得（3cos04sin0）=2，3=2，直线l与极轴的交点到极点的距离=（2）直线l的直角坐标方程为3x4y2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，实数m的取值范围是（，）【点评】本题考查直线与极轴的交点到极点的距离的求法，考查实数的取

27、值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用【选修4-5：不等式选讲】24（2016白山二模）已知不等式|x+2|+|x2丨10的解集为A（1）求集合A；（2）若a，bA，xR+，不等式a+b（x4）（9）+m恒成立，求实数m的取值范围【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法【专题】分类讨论；综合法；集合；不等式【分析】（1）化不等式|x+2|+|x2丨10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得10a+b10，由基本不等式可得（x4）（9）25，由恒成立可得m+2510，解不等式可得【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x2丨10等价于，或或，解得5x5，故可得集合A=（5，5）；（2）a，bA=（5，5），xR+，10a+b10，（x4）（9）=19x+36=37（+9x）372=25，不等式a+b（x4）（9）+m恒成立，m+2510，解得m35【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和含绝对值不等式，属中档题