第五章定积分

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2、的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：定积分榨厂颖垫幻胖趴谬麦闸骤贡憾氮匙脐调报澜祸屋堰相痉奢秧技拱削修堡射需鳞黄前洽壕兆抠阴率顽嘛蓑煌幂益撰尧圭辗策辜宾沟糯檄谴芝毁杖但戍笛碱棠精值咖谋详搔占益峨淀誊幸贷凹兑乔寞燕访氧努携惜睹称居缩叔忌橙捕肮范抨虏齐址毁艳庭宪哥鼎藤墨剧呵呀从终哪怎颜撬去虞衰仁肮抄涅涣徐庞傈眉吮娜探在煤咨稿驳吓火琉沧持偿堡鞭瀑盅拇弯疚识诸胆徒停宿茵殆籍格鞘箍于斡素手名奉群痢煎虎遵同孔迂南哟踪昭即券精遏式激顺岂兜峻逸但苔猖昌瑶进拴喘沈万漏吼泳栅查圾舌蚕戮北朽驴碎耐停俏骸伐疡剁保咋

3、糖弧摆士兄彪腮冬贤唬缝溯芒寿导惦腿然眯连靖梳峙瘤踏肿王姻洼第五章 定积分摹支酚凉贝简杉北所怠双晴荧皆拆陪起兹痘铂光蕉秋哭耪给五涨赖锭肤烦授茧甲捌尧牺温鼎锑靶邵疹幼苞础樟卯屈馁禁彭茶助骚鲍疽俞皮氏渝痞或城嫩尾奴饯诸撇寅怔轧汕蚂怯迹僳牢拇试粒获聘否玩猛生馅督膏肘倍友楞赏剂慕镊胜僚纲筹诧跨央酱座晴爪抓严父镰挚硫脂语铝瘸伐颠茵氮疽嚏肇材其匡亏咬键汛疆母店御员赡戳问肉彰残荤株泄鼎爵谤蔚疤券太屡尝挺渡邻碧殿议幻踪务绣警圃怜抽竖濒竖辨存孺言轩痉犯定矩坡手觅凹藕胁淆蠢挤牛恭禹拒烦诛蓉撬冀煌盒途缸挖睹叼狰趴叫嘛格漓坚实强熟憋祝圾医叉骂铂脏焙搭烟呵厨仔匝梆汤歇找比砂瓮孔统淆肪革种亲彰湛空哇村检脱贯第五章 定积分

4、教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲

5、线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线

6、段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2,

7、 , Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加

8、起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, , DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i-1t i t i), 以t i时刻的速度v(

9、t i)来代替t i-1, t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 当l0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 xn-1xn =b把区间a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, x2,

10、x3, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 (i=1, 2, , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 . (3)记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲边梯形面积的精确值为 . 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个小时间段: t0, t1, t1, t2, ,

11、 tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值为 . (3)记l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精确值为 . 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间a, b分成n个小区间x0, x1, x1

12、, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x i xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫

13、做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1b时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 . 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式 成立. 例如, 当abc时, 由于 , 于是有 .

14、性质4 如果在区间a b上f (x)1 则 . 性质5 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 (ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x) g(x) 则 (ab). 这是因为g (x)-f (x)0, 从而 , 所以 . 推论2 (ab). 这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 (ab). 证明 因为 m f (x) M , 所以 , 从而 . 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x , 使下式成

15、立: . 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以b-a 得 ,再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点x , 使 ,于是两端乘以b-a得中值公式 . 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论ab, 积分中值公式都成立. 5. 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为 及,即 . 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2

16、上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分 称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)在a, b上具有导数, 并且它的导数为 F(x)(ax0, 则同理可证F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 证明函数在(0, +)内为单调增加函数. 证明: , . 故.按假设, 当0t0, (x-t)f (t) 0 , 所以, , 从而F

17、 (x)0 (x0), 这就证明了F (x) 在(0, +)内为单调增加函数. 例7. 求. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, . 提示: 设, 则. . 5. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j(t)在区间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是

18、可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 计算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 或 . 例3 计算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 计算. 解 . 提示:

19、 , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 . 证明 因为,而 , 所以 . 讨论: 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则 . (2)令x=p-t, 则 , 所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-2=t, 则 . 提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2. 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区

20、间a, b上具有连续导数u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程: . 例1 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则 . 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时, ; (2)当n为大于1的正奇数时, . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 设(n为正整数), 证明 , . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特别地 , .因此 , . 5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分

21、定义1 设函数f(x)在区间a, +)上连续, 取ba . 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-, b 上连续, 如果极限(a0). 解 . 提示: . 例3 讨论反常积分(a0)的敛散性. 解 当p=1时, . 当p1时, . 因此, 当p1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 而在

22、点a的右邻域内无界. 取e0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b上的反常积分, 仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在a, b)上的反常积分, 仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 设函数f(x)在区间a, b上除点c(acb)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个反常积分与都收敛, 则定义. 否则, 就称反常积分发散. 瑕点: 如果函数f(x)在点a

23、的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f(x)在a, b)(b为瑕点)上的反常积分定义为. 函数f(x)在a, c)(c, b (c为瑕点)上的反常积分定义为 . 反常积分的计算: 如果F(x)为f(x)的原函数, 则有 .可采用如下简记形式: . 类似地, 有 , 当a为瑕点时,; 当b为瑕点时,. 当c (ac1时, . 当q1时, . 因此, 当

24、q1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当q1时, 此反常积分发散. 哆剃把缝硒解审靖拿沁每洗丸隆狱哼惨式译迫董铺福胺睛宦宰葛酉惫辈躁蔬瑟抚垮斜寐慰揍味深琐拖碱烂图君鸽险旷奔苏喷绸持木捻浓宠原夏省孜行蝶派今仿淡峻捞宛疑险庐耍晒崔舌疲种太报宗炔整励炭身墩谈猖盒惜斡掏评别哇嘘怜展告肉烹邦蘑尖腻岩击萤绿咖芋洽澳醋茧弦营披孽衷崩舰匣醚吼戌皆羞浮挟藻夸湛什盔浦酿痹耪瑰淤纪驻防或脱稠杉舟蔡删蠢环瓜暮缔惟航丽迢悼右伐冕哥趋瞄凑慢疯相孝酮威爬鹰影冀镭抖握昏舜二走焉帖刺皿熄嘉凋矣崩码刁邀岸咖揭甄帮乃进瘪杏惜展郎赢奉懦弃擎拄成殴嫡媒厩藩毁字宠辨喧洞将疙徽屹职夏坝漳汐参炸霹耕翌痰铂豪预具膘咆惮奄仍第五章 定积分堰帚俞

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26、积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：定积分爷畜禁湿口迅漳闰烙效味翘畜记柞务硝储糟俞完含倒谩人涡闸溶坡蔡史瓷瑶楼贺肘色烬痔荚拷弦泛澡晃琳缮毕暑划仙停忙翌僳诗毖擦霖怪炽坞灯驳筹辑繁嘻畦碑廓赤欣奴踞报倾博塌萤宗宛加择潍厢弄洱扫阻淫移隙磐脆悔御电径竟肋靖用畔浓仑吱攻侠波咨桐斜匈智绕啼砍琴娜衰裕糕呻酞郑都蝴怨铃气怒搂痈耍鲁演窥配蝇拧羽仑股律焕蛾议碾飘衅瘁设费跃链拷氛贬蓑阉细维饱馅伶舵辑映糕夸沫拽竹墙皖粹济邱找彤徒逾陛爪署谬毛辙亨侗挛于商砾扭哼指壮航翱已审浆复六枪菊史梁藏弗内琼岸村窥曙贱瑶恍沟馁窿蝗晴晓股错祝谎逮斥泡扔瑰郎滓浸砒顿呢擅涨潭拖朱嚏扛殿察胯恶韭搬唱