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1、第七节正弦定理、余弦定理应用举例 考纲传真能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图371)图3712方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图371)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)
2、方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)如图372，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算()图372答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于()A10 n mileB. n mileC5 n mile D5 n mileD如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10B如图所示，ACB9
3、0，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.4如图373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()图373A100 m B400 mC200 m D500 mD设塔高为x m，则由已知可得BCx m，BDx m，由余弦定理可得BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即3x2x25002500x，解得x500(m)5如图374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C
4、，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()图374A50 mB25 mC25 mD50 mD因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m测量距离问题如图375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)图37560如图所示，过A作ADCB且交CB的延长线于D.在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，
5、BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)规律方法应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案变式训练1江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m. 【导学号：01772134】10如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOt
6、an 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)测量高度问题(2015湖北高考)如图376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.图376100由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)规律方法1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角2分清已知条件与
7、所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识 变式训练2如图377，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_米图3775如图，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米设OCx米，则OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即352x2x2cos 150，整理得x5，所以此电视塔的高度是5米测量角度问题在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处(1)海里的B处有
8、一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？解设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.3分根据余弦定理，可得BC，由正弦定理，得sinABCsinBAC，ABC45，因此BC与正北方向垂直.7分于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30，又，即，得t.当缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船，最少要花小时.12分规律方法解决测量角度问
9、题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 变式训练3如图378，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值图378解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.4分由正弦定理，得sinACBsi
10、nBAC.8分由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACB cos 30sinACB sin 30.12分思想与方法解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解易错与防范1“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误
2018届高三数学一轮复习： 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例
