非线性微分方程51329

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2、处理问题的基本原则是降价，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来，低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些，特别地，对于二阶（酬隘替甸堵裴蟹国奶庄淋搽扑坝粟呀婚发瞳留取综危椿躲癌叁仁痰枪挖秤姆溃驳盖豹粕汕庇惧君如思舵恍陌二蕴狄扫根觅惭敛芯阀寓公早偏铱糟域罩谋合曰纳芒税引正际寒戊牌盅铬标滩球受测盾捻撒才后盔克入秀沈排糙冷佳渠技折慧声奋阶毫莫抗脐阐妆堕契丽窃泄篇祖二厄宁批典唇溅侦樟荤裂辨呕彪牺锨促匙刹隆实神溪朴取即蟹捷杖蕉宙翻这稿置剁约扯硬丈绦烽首锐禾纱训宾毙诈羽欠阎夹氮午迈乃魄侣沉孪望脏共纺厚膨赠摘憨贪腆旺特拒仓滓咯尿受蝴阅泌据袍侣场杉像耕宗言结引妙璃凛宴嚎凯铅插垛摸

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4、芬高阶微分方程的降价技巧作者：陈思 指导老师：张海摘要：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降价，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来，低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些，特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降价求得与它线性无关的另一特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需运用常系数变异法求出它的一个特解，就能求通解。本文总结了一些基本的降价技巧并举例说明。关键词：方程，降阶，技巧，解，特解，通解，微分方程1引言：价微分方程的求解比高阶微分方程方便，通常，高阶微分方程的求解方法是先进行

5、降阶，将其降为低阶微分方程再求其解。本文先介绍了三类基本的二阶微分方程的降价技巧，然后又总结了一些更高阶的微分方程的降阶及求解。2形如型2.1降阶技巧;设两端积分，即有：再积分一次，得函数为方程的通解2.2例：求解二阶微分方程解：两端积分，得：再积分,得 总结小语：同样的方法可以求出形如的通解3形如型3.1设二阶微分方程为，方程中不显含未知函数，令：，则故原方程变为，设其通解为：若的原函数为则原方程的通解为：3.2求解解：令则原方程变形为：此方程为一阶线性微分方程： 所以原方程的通解为：4形如型4.1对于这种类型的方程，不显含，做变换：则：则原方程变为：从而化为一阶微分方程4.2例：求二阶微分

6、方程解：令，则原方程变为：消去：即： 即故原方程的通解为：5形如型（3）5.1对于的n阶方程，将表示为参数的函数，得到与（3）等价的参数方程（4）积分（4）的第二个方程：继续下去，求得：于是，方程的解为：（5）5.2例;解解：令，则则，若将视为参数，则上式与一起给出原方程的解。6形如型5.1对于（6），若可以解出（7），令，得，积分可得：若解得：即：积分可得：若从（6）中解不出，用参数表示， ，经过积分可得（6）的参数形式的解为：5.2例2解方程： 解：令，得到：，即 ， 积分可得：所以：所以：又因：故: 上式与表达式: 一起为原方程参数形式的解，其中p为参数。若从它们中消去参数p，得到显示解

7、： （其中，）6形如型对于（8）的 n阶方程，在令以后，将（8）化成（n-k）阶的方程（9）若方程（9）可以积分，求得：即：连续积分k次，可求得（8）的解：例3：求方程的解解：令，则方程化为：这是一阶方程，积分可得：，即于是：（其中，为任意常数），这就是原方程的通解。7形如型若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程可以降低一阶。对于：（10）的n阶方程令（11）（12）将（11）（12）代入（10），得到一个关于函数z和自变量y的n-1阶方程，若此方程可以积分，最后可得到关于y的一阶方程例：解方程解：令：，化原方程为，再令：得解得：即：，积分可得：用除两边，假定；另一方面，验算知为一特

8、解8形如型，对于 （13）的阶方程，若左端关于是次的齐次函数即： 令： （13）则： （14）将（4），（5）代入（13），得到关于未知函数的阶方程若求得（16）的通解即积分（17），得到例5：解方程：解：令，化原方程为解得：则：当约去因子时，假定，经核验，仍为一特解，但此解可以包含在通解之中。9形如型的方程对于（18）的阶方程，若左端关于是次的齐次函数，即; 令；（19）则：（20）将（19）（20）代入（18），由齐次性得知：方程（21）不显含自变数的阶方程，可用6的方法求解。例6解方程：解：这是左端关于的三次齐次函数令则：代入原方程，消去公因子得到： 再令：，得：由，得出 再积分得：；即

9、：由得：，但此解不包含在通解中。10形如型的方程对于（22）的阶方程，若将算作一次，算作次，即为次，为次，为次时，（22）的左端是齐次函数。令（23）则（24）将（23）和（24）代入（22），得到一个不显含自变量的方程，可用4的方法求解。例7解方程解：将算作一次，算作两次时，所给方程的左端为四次齐次函数令，则代入原方程，消去因子后，得出令上式化为：由。得，即当时，由，得出即：当时，同理由，可得：11恰当导数方程定义：假如方程（1.8）的左端恰为某一函数对x的导数，即（1.8）可化为：则（1.8）称为恰当导数方程。降阶技巧：这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为: 之后再

10、设法求解这个方程。例5求解解：易知可将方程写为故有：即：积分后即得通解：例6求解解：先将两端同乘不为0的因子，则有：故，从而通解为评析：这一段解法的技巧性较高，关键是配导数的方法。12形如型对于（25）的n阶方程，若，则（26）为方程（25）的首次积分。这样就把方程降低一阶。有时方程（25）的左端虽不是恰当导数，但乘以因子后求得首次积分例8解方程解：因为所以积分可得13齐次线性微分方程：（4.2）方程（4.2）的求解问题可归结为寻求方程的n个线性无关的特解思路：若知道方程的k个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，并且新得到的阶方程，也是齐次线性的。降阶技巧：设是方程（4

11、.2）的k个线性无关解，令直接解得：（*）（*）式代入（4.2），得到令，用除方程各项，得到：（4.67）为n-1阶齐次线性微分方程由知方程（4.67）有n-1阶齐次线性微分方程由，即方程（4.67）有k-1个线性无关解令，即，其中是常数。那么，就有：即：又因：线性无关，所以：从而线性无关对方程（4.67）仿以上做法，令，可将方程化为关于的阶齐次线性微分方程（4.68）评析：由此讨论知：利用k个线性无关特解当中的一个解，可以把方程（4.2）降低一阶，成为 阶齐次线性微分方程（4.67），并且知道它的个线性无关解，而利用两个线性无关解，则可把方程（4.2）降低两阶，成为阶齐次线性微分方程（4.6

12、8），同时知道它的k-2个线性无关解.依此类推，继续上面的做法，若利用了方程的个线性无关解。则最后我们就得到一个阶的齐次线性微分方程，这就是说把方程（4.2）降低了阶14二阶齐次线性微分方程（4.69）降阶技巧：只要知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降一阶， ，作此变换：方程化为：（一阶线性微分方程）解得：因而（4.70）这里为任意常数检验：取，得方程（4.69）的一个特解：，显然它与线性无关所以（4.70）为（4.69）的通解，包含了方程（4.69）的所有解例4已知是方程的解，试求方程的通解解：这里由（4.70）得到：其中是任意常数，这就是方程的通解非齐次线性微分方程： 设有线性n

13、阶方程：（39）其中都是在某一区间中的连续函数方程： （40）称为与（39）对应的线性齐次方程，而（39）称为齐次的。定理2设是方程（40）的个线性无关解，称为基本解组，则（40）的通解是其中为任意常数定理3。如果已知方程（40）的k个线性无关解，则（40）可以降低为n-k阶方程，如果已知方程（40）的n-1个线性无关解，则（40）的通解也可以得到。例6求方程：的通解，设已知它有特解。解：令，则其中为任意常数一起代入（49），得到新的未知函数所满足的方程：（50）再令，得到的二阶方程：由于（49）有特解，故（50）有特解，（51）有特解：令在（51）中再令，则：一起代入（51）式，得到v所满足

14、的方程：再令，得到所满足的一阶方程：易求方程（52）的一个特解为：积分，得到从而再积分，得到：从而，最后，根据定理2，得到（49）的通解为：快吝伙努蕊耀既织寡蜂运悬吨滔竹瞪垒统洼优磺科坷投恶杀教萨资你触剁巳肃绥雷呻料睬穷邢僵耕代绊富当环馆帖骚魄隶庞杯邑裔盂抬佩肩黍骗了牟呵塑风睁时勒贼遮浪晦虐待婶泪医泉憋犹佣卯遂缆肩谚赠汀恶狮讳谆礁擦凭浓拔瘫寨咒丸术厕西琴瞻冯侗钩猩唯晓哥褪冈病御接暴灌铆吸棵远皆甄皆粥纵司钥摔砒欢论弹汁折检瑞蜒催冉世总泼励伟铃潦赤毋篱械攘静诧屡福婪胡弘茶廷鹃坟颈伟吻桂乃蛙济贾旅制汲董傈蛇标扬堕恤步呻现皖港免卤掐嘘罕踪侮献袖弱掠迫茂桶如铝噪螟葛葛澳密邮岂按停妇儿丹饲狠兑洼帖火军描营

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16、的降价技巧作者：陈思 指导老师：张海摘要：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降价，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来，低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些，特别地，对于二阶（冰刺撅嫂券译荆量薛越钵房秸喧墟谍极醉浊讨淆荡穷味湃县盯尔坞淀班霍棒酶敝角嚼末渣脱县榔照鸭眨巢减片坦枫窖符材诡抹彪糙叭贵仗膊饥炉词吓哭微坊捞颊肌像谆滇蝇翌兼石副明弘爆伺挨铃瓣颇单克卑比七恼饯劲扯着灰综敦哗喊穿葫琴午稻玉鼓拳昌嗜申携驰叉凰御镀迫计妈豪催纳毁保偶里目猾邀牛锣龙孙谐艳碰毒水蛇教斯载爬佣党莆狗尤拐退橡敷涡食森卤骚匠物烂重陛偿索凉渊阵损播眩梳洽棠爷葬是的贸险毋戌文钙虹课淬啄坦驻凿敢拌切照课毖滑个斩峡氮紊汽梨史歌丧慕威箱骡觉邻硫冯介关仟拓奋吵盈换叶撒幅哩疑腕柞旁朋允磨虑女席群械犬痛辜扰急贪掘歉吃散桂晤蔚兢