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1、最新精品数学资料21.1 锐角三角函数名师导学典例分析例1 如图21l3所示,在ABC中,ACB=90,CDAB,D为垂足,AD=2,BD=3.填写下列空格并回答：(1)CD=_,AC=_,BC=_.(2)cos A=_,sin A=_,sin B=_,cos B=_.(3)观察上面结果,你能发现什么?思路分析：(1)观察发现RtACD和RtCBD具有相似关系,从而可通过这两个三角形的相似比来求出CD；(2)在求sinA,cosA,sinB,cosB时应分别在RtACD,RtABC和RtBCD中用不同的直角边的比求得sinA和cosA,sinB和cosB的值,都有三种不同的求法；(3)通过观察
2、图形和计算结果,会得出一些规律性的结论.解：(1).(2),.(3)在ABC中,当A+B=90时,就有sinA=cosB,cosA=sinB.例2 a、b、c是ABC的三边,a、b、c满足等式(2b)2=4(c+a)(ca),且5a3c=0,求sinA+sinB的值.思路分析：由等式(2b)2=4(c+a)(ca),整理得出a、b、c三边的关系式,进而确定三角形的形状(直角三角形),由等式5a3c=0,探求两直角边的关系,结合勾股定理表示出斜边,根据三角函数定义便可作出最后的解答.解：由(2b)2=4(c+a)(ca),得b2=c2a2,即c2=a2+b2.ABC为直角三角形,且C=90,由5
3、a3c=0得:,即sinA=.设a=3k,c=5k,所以.sinB=.sinA+sinB=.例3 如图2114所示,ABC中,D是AB的中点,DCAC,且tanBCD=.求sinA,cosA,tanA的值.思路分析：在本题题设中出现了tanBCD=,由于BCD所在的三角形并非是直角三角形,而根据三角函数的定义,应想方设法构造出一个与之相关的直角三角形,这也是常见的解题方法和规律.另外,三角形的中位线的判定及性质在本题中得到了充分地利用.解：过点D作DECD交BC于点E.在RtCDE中,tanBCD=,故可设DE=k,则CD=3k.又CDAC,DEAC,D为AB的中点,E为BC的中点,AC=2D
4、E=2k,在RtACD中,.所以,.突破易错挑战零失误规律总结善于总结触类旁通1 方法点拨：通过一个锐角正弦、余弦的定义确定相应函数值是解决本题的关键.要深刻领会正、余弦的定义,弄清是哪两边的比的关系.由本胚我们还可以看出,在RtABC中,当ACB=90时,A的正弦值与B的余弦值是相等的,A的余弦值又恰好是B的正弦值这一有趣的特征.2 方法点拨：解题时易出现不能准确地求出相应的两个内角的三角函数的思维障碍,排除障碍的办法是：(1)先由第一个条件(等式)人手,探求三角形的形状.由等式化简可得a2+b2=c2直角三角形.(2)结合第二个条件(等式)可得直角边与斜边间的关系,这样三边之间的倍分关系便全部明朗化,问题得解.另外,该类题的做法一般都是通过整理已知条件,进一步明确已知条件和结论之间的关系,而使问题得解.3 方法点拨：在解涉及三角函数方面的问题时,一般应把它放在直角三角形中去解决.若原题已知条件中没有直角三角形,应通过作辅助线构造出直角三角形,因为锐角的三角函数都是定义在直角三角形中的.最新精品数学资料
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