第六章　多元函数微积分

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1、 第六章多元函数微积分一、考核内容、知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。、知道偏导数的概念及偏导数与一元函数的导数的关系。知道全微分的概念及二元函数可微的条件。、熟记复合函数中下列三种类型的复合函数求导法则： 、了解隐函数，掌握由一个方程确定的一元或二元隐函数求导法则、知道二阶偏导数的的概念，会求初等函数的二阶偏导数。、知道二元函数取得极值的充分必要条件，会求二元函数的极值，并会解决比较简单的应用问题。、知道二重积分的概念和几何意义，会在直角坐标系下将二重积分化为两次定积分，并会计算二重积分。二、基本概念、重要定理和公式、典型例题 空间直角坐标系简介（1）空间直角坐标系在空间取

2、一点o，过o作三个互相垂直的数轴ox，oy，oz两两互相垂直构成空间直角坐标系。过空间中任一点P分别作oxy平面及oz轴的垂线并交于xy平面于点 ，交oz轴于点R，若 在 平面上的坐标为（x,y），R在 轴上的坐标为 ，就说点P在空间直角坐标系中的坐标为（x,y,z），记作P（x,y,z），其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫立坐标。（2）空间中的平面方程若动点P（x,y,z）的坐标满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0则动点P（x,y,z）的轨迹是空间的平面，反之，若动点P（x,y,z）的轨迹是空间的平面，则动点P（x,y,z）的坐标必满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0所以得到下面的结论

3、：在空间，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示空间的平面，记作三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的系数不能同时全为0特别情形：当D=0时，方程Ax+By+Cz+D=0表示平面 经过原点O（0,0,0）。A=0时，By+Cz+D=0方程表示平面平行于x轴；B=0时，方程Ax+Cz+D=0表示平面平行于y轴；C=0时，方程Ax+By+D=0表示平面平行于z轴。例如方程x+y-2=0在空间表示平面而不是直线，而且该平面平行于z轴，其图形如图所示： 例如：x-2=0在空间不是直线，而是平行于yz平面的平面（见下图示）z-2=0在空间也是平面，它平行于xy平面（见下图示）（3）空间的曲面由等式F（

4、x,y,z）=0确定的空间动点的轨迹是空间的曲面。特别情形： 方程，确定的空间的动点的轨迹是以点为中心，R为半径的球面。表示以原点O为中心，R为半径的球面。方程F（x,y）=0表示空间中以xy面上的曲线为准线，母线平行于z轴的柱面。例如：表示以xy面上的圆为准线，母线平行于z轴的圆柱面；（图形见下图）；又如：表示空间中以抛物线为准线，母线平行于z轴的抛物柱面。（图形见下图）。 旋转曲面：方程表示空间中心以yz面上的曲线绕z轴旋转而生成的旋转曲面。 例如 表示空间中以yz面上的抛物线y2=2pz绕z轴旋转而生成的旋转抛物面（见下图）表示空间中以yz面上的直线z=y绕z轴旋转而生成的旋转锥面（见下

5、图）同学们要特别注意：在空间：一个方程F（x,y,z）=0表示曲面，而绝不是曲线。（）二元函数的的概念定义：设有两个独立的变量x和y在给定的区域D中任取一值时，变量z按某一法则有唯一确定的值与之对应，就说变量z是变量x和变量y的二元函数，记作：z=f（x,y） 其中x,y叫自变量，z叫因变量或函数。自变量x,y的取值区域D叫定义域。例一：求下列函数的定义域，并画出它们的图形 在平面直角坐标系中它是以原点为圆心，半径为R，包括边界的圆，其图形见上图。 在平面直角坐标系中，它是以原点为中心，半径为R的不包括边界的圆，其图形见上图。 在平面直角坐标系中，它表示位于直线x+y=0的右上方的不包括直线x

6、+y=0的半平面，其图形见上图。如果一个平面连通区域包含边界，就说该区域是闭的，如果平面区域不包含边界，就说该区域是开的。如果平面连通区域中任意两点的距离都小于某常数M，就说该区域是有界（限）的，否则就说该区域是无界（限）的。显然，在上例中（1）的图形是有界闭区域；（2）的图形是有界开区域；（3）x+y0的图形是无界开区域。定义：若点P（x,y）以任何方式与定点无限接近时，二元函数f（x,y）的值与二元函数f（x,y） 在点的值无限接近时，即 就说二元函数f（x,y）在点连续 与一元函数相似，二元初等函数在它的定义域内处处连续。定理：二元初等函数在它的定义域内处处连续 二元函数的偏导数和全微分

7、（1）二元函数的偏导数定义：设点是二元函数z=f（x,y）在其定义域内的一点，把变量y固定在时而将x逐渐接近于，设，x0当时若极限存在，就说此极限是二元函数z=f（x,y）在点处对x的偏导数，记作 同样，若将x固定在，而让y与无限接近， 时，若极限存在，就说此极限是二元函数z=f（x,y）在点对变量y的偏导数，记作： 若二元函数f（x,y）在点 处的两个偏导数都存在，就说二元函数f（x,y）在点处可导。 如果二元函数f（x,y）在区域D上每一点都可导，就说二元函数f（x,y）在区域D上可导。这时，两个偏导数都存在。其中：从偏导数的定义可以看出：二元函数f（x,y)对x的偏导数是将y固定而将二元

8、函数f（x,y）看作x的一元函数的导数。所以可用一元函数求导的方法求二元函数的偏导数。同理，f（x,y）对y的偏导数是将 固定而将f（x,y）看作 的一元函数的导数。所以也可用一元函数求导的方法求二元函数的偏导数。 典型例题：解：先求偏导数把y看作常数，f（x,y）看作x的一元函数 把x看作常数，f（x,y）看作y的一元函数 表示偏导函数在点（0，1）处的值=0+1=1表示偏导函数在点（0，1）处的值偏导数值也可如下计算： 可见两种方法的结果相同。 解：对x求偏导数时，应将y看作常数，所以这时是x的幂函数。对y求偏导数时，应将x看作常数。所以这时应是y的指数函数。 （3）解：对x求偏导数时，y

9、应看作常数，所以是幂函数。 对y求偏导数时，应将x看作常数。所以是y的指数函数。 （2）二元函数的二阶偏导数二元函数的偏导数，一般仍是二元函数，将它们再求偏导数称为二元函数的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四种，记作：其中，叫二元函数的二阶混合偏导数。可以证明，如果 连续，则有。 例一：的二阶偏导数 本例说明 连续，则有例二：若， （3）二元函数的全微分。符号dz叫二元函数的全微分，它与z的接近，当，只相差一个高阶无穷小量。下面不加证明的介绍下面两个定理：定理一：如果二元函数的两个偏导数存在且在点处连续，则二元函数在点可微。如果二元函数的两个偏导数在区域D上处处连续，则二元函数在区域D上可微

10、，而且全微分 定理二：如果二元函数在点处可微，则二元函数在点处连续且有偏导数及由定理一与定理二得到下面结果：二元函数的偏导数在点连续是二元函数在点微分存在（可微）的充分条件。二元函数在点处可微是二元函数在点连续的充分条件，也是二元函数在点可导的充分条件。我们用图形描述它们的关系： 注意：上面的结果都是单方向的（即都是充分条件而不是必要条件），反之不一定成立，即二元函数可导并不能可导不能得到二元函数一定可微的结果。只有二元函数的两个偏导数存在且连续才能得到二元函数可微的结论。甚至于二元函数可导并不能得到二元函数连续的结果，即二元函数可导都有可能不连续；只有二元函数可微才一定连续。这一点与一元函数

11、是有区别的。 幸而二元初等函数在它的定义域上一般都有导数而且偏导数都连续。所以对二元初等函数而言，公式：成立，同学们可以放心使用。与一元函数相似，二元函数在点的全微分：例一：求下列函数的全微分dz 二元复合函数的导数公式下面我们不加证明地给出二元复合函数的导数公式定理：若函数可微，且和可导，则复合函数 作为x,y的二元函数可导，且 特别情形例一：求下列复合函数的偏导数 例二：求下列函数的导数 例三：求下列函数的偏导数 例四： ，其中f（u）可微，验证：例五：求下列函数的全微分 隐函数及隐函数的偏导数的求法。前面我们介绍经过的一元函数y=f（x），二元函数z=f（x,y）叫显函数。但在实际问题中

12、有时函数隐藏在等式中，例如等式： 使函数隐藏在等式中，这样的等式可以确定y是x的函数，在函数y未显示出来之前，它隐藏在等式中时，我们将它叫隐函数。一般地，在本教程中的隐函数有下面两种情形：（1）如果由等式F（x,y）=0可以确定y=f（x），就说y是x的隐函数。（2）如果由等式F（x,y,z）=0可以确定z=f（x,y），就说z是x,y的二元隐函数。下面介绍隐函数求导数的公式：（1）若等式F（x,y）=0可以确定y=f（x），则其中表示二元函数F（x,y）对x的偏导数，表示二元函数F（x,y）对y的偏导数。证：因为由F（x,y）=0可以确定y=y（x）。所以有：两边对x求导，根据复合函数求导公

13、式有： 例二：求下列等式确定的隐函数z=z（x,y）的各偏导数 二元函数z=f（x,y）的极值的求法 定义：若二元函数z=f（x,y）在点处的函数值大于点的邻近点的函数值，就说函数值是二元函数z=f（x,y）的极大值，点叫极大值点；若二元函数z=f（x,y）在点处的函数值小于点的邻近点的函数值，就说函数值 是二元函数z=f（x,y）的极小值，点是极小值点。下面我们用定理的形式介绍二元函数的极值的求法。定理一：若二元函数z=f（x,y）在点可导且在点取极值，则必有定理一的正确性是明显的。因为是二元函数z=f（x,y）的极值，则必然是一元函数f(x,y0)的极值，所以。同理，它也是一元函数的极值，

14、所以fy(x0,y0)=0。我们把导数为零的点叫驻点，则定理一说明在可导点中只有驻点才可能是极值点。定理二：设二元函数z=f（x,y）在其柱点处有二阶连续偏导数。记 例三：欲加工一个容积为32立方米的无盖长方体容器，问它的长、宽、高各为多少时，容器的表面积最小？解：设容器的长为x，宽为y，高为z。因为只有一个驻点，所以这个柱点x=4,y=4是最小点。这时，且最小面积为：例四：生产甲、乙两种产品，甲种产品的价格与售量的关系为=26-；乙种产品的价格与售量的关系为。问甲乙两种产品的产量，分别为多少时，利润最多？二重积分数学符号叫二元函数函数在平面区域D上的二重积分。二重积分是一个数，在几何上它表示

15、曲面（0）在区域D上曲顶的柱体的体积V（见下图所示）。 即：例一：若区域D为，则二重积分表示空间中的平面z=5在区域D：的柱体体积V。下面分三种情况介绍二重积分的计算公式：（1）若积分区域D是长方形，即D可以表示为：或说D是所围的长方形，则有其中表示将f（x,y）看作y的一元函数（即将x先看作常数），在区间c,d上对y的定积分。然后再将含有x变量的函数作为被积函数，在区间a,b上对x定积分，所以等号右边是两次计算定积分，叫二次积分。故等号右边表示二次定积分，准确地说等号右边是先对y的定积分，再对x的定积分。除此下面等式也成立其中表示先将f（x,y）看作x的一元函数（将y看作常数）在区间a,b上

16、的定积分。然后再将含有变量y的函数在区间c,d上第二次对y定积分。区域也可记作Da,b,c,d。总结上面的结果，有下面结论与求偏导数相似，二元函数f（x,y）对x求定积分时，要把y看作常数；对y求定积分时，要把x看作常数。例二：求解一：将二重积分表示为先对y后对x的二次定积分解二：将二重积分表示为先对x后对y的二次定积分可见两种方法结果相同。例三：求解：将二重积分表示为先对y后对x的二次积分若表示为先对x后对y的二次积分则第一次积分需用分部积分法，难度加大。所以两种次序有时难度不同，这时学员应学会采用最优次序计算。（2）若积分区域D由所围时，则D可表示为这时，二重积分可表示为先对y后对x的一种

17、二次积分注意：这时只有一种次序，由于x的取值区间端点是常数，所以对x必须最后积分。（3）若积分区域D由所围。这时区域D可表示为则二重积分可表示为先对x后对y的一种二次积分 注意：由于y的取值范围是常数，所以对y必须后积分。例四：将下列二重积分表示为两种不同次序的二次积分（1）所围解：图形见下图作垂直于x轴且穿过图形D的穿线L，让穿线左右平行移动。知在（0，1）内任一点x作的穿线L上，y的取值范围为。作垂直于y轴且穿过图形D的穿线L，让穿线L上下平行移动，知在（0，1）内任取一点y作的穿线L上， 的取值范围为在（0,1）内任取一点y作的穿线L上， 的取值范围为（2）所围。解：图形见下图作垂直于x

18、轴的穿线L，让穿线左右平移，得作垂直于y轴的水平穿线上下平移，得（3）所围。解：图形见下图例五：计算下列二重积分（1）所围解：D的图形见下图（2）所围解：D的图形见下图。三、同步练习题1.求下列函数的定义域并画出其图形，并说明定义域的类型。2.求下列函数的偏导数和全微分3.求下列函数在指定点的偏导数4.求下列函数的二阶偏导数5.求下列函数的偏导数6.求下列方程确定的隐函数的导数dy/dx7.求下列方程确定的隐函数的一阶偏导数 8.验算下列等式是否正确9.求的极值10.将正数a分解为三个正因子，使它们的倒数之和最小。11.加工一个容积为8米3的有盖长方体容器，问它的三边长分别为多少米时可使它的表

19、面积最小？12.在曲面上求一点，使它到原点的距离最小。13.生产产品A需用甲、乙两种材料，甲种材料每公斤进价为2万元，乙种材料每公斤进价为1万元；当投入甲种材料x公斤，乙种材料y公斤时可生产A种产品z公斤，且知A种产品每公斤售价5万元。问：甲、乙两种材料的投入量分别为多少时，利润最多？求最大利润。14.将下列二重积分表示为两种不同次序的二次积分15.计算二重积分（三）同步练习题1.求下列函数的定义域并画出其图形，并说明定义域的类型。 ； ； ； 解：x0，图见下图它是坐标平面的右半平面，是一个无界开区域。xy10，图见下图，它是直线xy10的右下平面，是一个无界开区域。（x2y2）41 x2y

20、24，图见下图，它是圆x2y24及其内部的圆形区域，是有界闭区域。x2y29，图见下图，它是圆x2y29内部的圆形区域，是一个有界开区域。2.求下列函数的偏导数和全微分3.求下列函数在指定点的偏导数4.求下列函数的二阶偏导数 5.求下列复合函数的偏导数6.求下列方程确定的隐函数的导数7.求下列方程确定的隐函数的一阶偏导数8.验算下列等式是否正确等式正确等式正确9.求的极值解：第一步求驻点第二步：判别x10，y10时A0，B3，C0；B2AC90x10，y10不是极值点x21，y21时A6 B3 C6B2AC936 0且A0x21，y21是最小值点极小值为z（1，1）-110.将正数a分解为三个

21、正因子，使它们的倒数之和最小。 解：设三个因数为x，y，z。xyza z=a/xy （x0， y0）求驻点因为只有一个驻点，所以这个驻点是最小值点，即时，三个因式的倒数和最小。11.加工一个容积为8米3的有盖长方体容器，问它的三边长分别为多少米时可使它的表面积最小？ 解：设三边长分别为x，y，zxyz8 z=8/xy设表面积为AA2（xyxzyz） （x0，y0）求驻点因为只有一个驻点，所以驻点x=2，y=2，z=2是最小值点，最小表面积是：A（2，2，2）=2（4+4+4）=2412.在曲面 上求一点，使它到原点的距离最小。解：设所求点是M（x，y，z），因为点M在曲面上，所以，设M与原点0

22、的距离是d，则当d2最小时，d也最小，求驻点。只有一个驻点x=0，y=0，这时z2=1，z=1，x=0，y=0，z=1时，到原点的距离的平方d2最小，最小距离是：d113.生产产品A需用甲、乙两种材料，甲种材料每公斤进价为2万元，乙种材料每公斤进价为1万元；当投入甲种材料x公斤，乙种材料y公斤时可生产A种产品z公斤，且知A种产品每公斤售价5万元。问：甲、乙两种材料的投入量分别为多少时，利润最多？求最大利润。解：成本C=2 x+y收入R=5z=5（20-x2+10 x-2y2+5y）驻点是：驻点是：（4.8，1.2） 因为只有一个驻点，所以这个驻点是最大值点，而投入甲种材料4.8公斤，乙种材料1.2公斤时利润最大，最大利润是L（4.8，1.2）=229.6（万元）14.将下列二重积分表示为两种不同次序的二次积分15.计算二重积分