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1、考点规范练45椭圆考点规范练A册第34页基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案C解析若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,由ca=45,即5-k3=45,得
2、k=-1925;若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.1a1bC.0abD.0b1b0,所以0ab.4.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:x2a2+y23=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为()A.34B.1C.2D.4导学号74920325答案C解析圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.6.(20
3、16全国乙卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34导学号74920326答案B解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=142b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=12.7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率等于13,其焦点分别为A,B,C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC中,sinA+sinBsinC的值等于.导学号74920327答案3解析在ABC中,
4、由正弦定理得sinA+sinBsinC=|CB|+|CA|AB|,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sinA+sinBsinC=2a2c=1e=3.8.(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.导学号74920328答案63解析由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因为BFC=90,所以BFCF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2
5、=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.9.(2016山西朔州模拟)已知F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.(1)求ABF2的周长;(2)若AF2BF2,求ABF2的面积.解(1)F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42.(2)设直线l的方程为x=my-1,由x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.设A(x1,y1),B(x
6、2,y2),则y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.AF2BF2,F2AF2B=0,F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-(m2+1)m2+2-2m2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.m2=7.ABF2的面积S=12|F1F2|(y1+y2)2-4y1y2=89.导学号7492032910.(2016北京,文19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线
7、PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.(2)证明设P(x0,y0)(x00,y00),则x02+4y02=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.所以四边形ABNM的面积S=12|AN|BM|=122+x0y0-11+2y0x0
8、-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.从而四边形ABNM的面积为定值.导学号74920330能力提升组11.已知P是椭圆x225+y2b2=1(0bb0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.32B.22C.12D.14导学号74920332答案C解析因为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c
9、,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化为c2a2=14,所以e=ca=12.13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.导学号74920333答案22解析设Q(x0,y0),则y0x0-c=-cb,bcx0+c2=y02,解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.因为点Q在椭圆上,所以c2(c2-b2)2a4a2+4b2c4a4b2=1
10、,化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=22.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+y24=1.(2)证明设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,
11、yM).将y=kx+b代入x28+y24=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOMk=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.导学号74920334高考预测15.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点为A,P43,b3是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在
12、,说明理由.解(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知FAFP=0,得c2-43c+b23=0,又点P在椭圆C上,可知169a2+b29b2=1,即a2=2.又b2+c2=a2=2,联立解得,c=1,b2=1.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)因为方程(*)有且只有一个实根,又2k2+10,所以=0,得m2=2k2+1.假设存在M1(1,0),M2(2,0)满足题设,则由d1d2=|(1k+m)(2k+m)|k2+1=|12k2+(1+2)km+2k2+1|k2+1=(12+2)k2+(1+2)km+1k2+1=1对任意的实数k恒成立,所以12+2=1,1+2=0,解得1=1,2=-1或1=-1,2=1.当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.综上,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.导学号74920335
高考数学专题复习练习：考点规范练45
