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1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1 矩矩 阵阵 的的 初初 等等 变变 换换 二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组1、定义、定义下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: : ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换一、矩阵
2、的初等变换 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换( (所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)2、定义、定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统统 称称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（AA 1; , 2ABBA则则若若对称性对称性）（. , 3CACBBA则则若若）传递性）传递性（具有上
3、述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价3 3、定义、定义3 3 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩经有限次初等变换变成矩阵阵B，就称矩阵，就称矩阵A与与B等价等价，记作，记作A B, BAr, BAc引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 同解方程组同解方程组解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxx
4、xxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：解得解得 3344321xcxcxcx.3可任意取值可任意取值x, 3, 3, 443231 xxxxx方程组的解为方程组的解为令令,3cx 小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法
5、 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(
6、Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组程组 (1) 的增广矩阵的增广矩阵）的变换）的变换用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（2）：）： 97963422644121121112B197963211322111241
7、211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxx
8、x 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c特点：特点：（1）可划出一）可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；5 00000310003011040101B （2）每个台）每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵4B和和5B矩阵矩阵4、., 和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵nmA
9、 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形.,1, 5的其他元素都为零的其他元素都为零且这些非零元所在的列且这些非零元所在的列零行的第一个非零元为零行的第一个非零元为即非即非还称为还称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 B行最简形矩阵行最简形矩阵 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF标标准准形形特点特点：.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm例例 将下列矩阵化为标准型：将下列矩阵化为标准型： 343122321(1) 341122121221(2)E 000000100001
线性代数 167;1 矩阵等变换
