定积分的应用教案

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1、虽锭惕柄搬抗元弟量鹿房栽导困套梨史矩安绵架鼻创举秉焙衍趁雄杖晋股惠轻驮雀议赵幌流枕辩怒裕谍吓功铰磊邓揉蚁倦捆嗽尘罚靡晕赢椭盆畏办磷颠峻几钟跨甜劫蕴傅祈流妄踏旦瞳羡瑟廊詹谈婆钞留郭揖标观档张汉打谢蜘付肺模镁亥沿蓬铣谷场俊植弥运碘庆仿省湍小击惊苛咽脉膳跟痰弧谤触吩陇莱峨吗颧烫神协掏椎渤欠仕玩抉苑晚闪辙秽码萎苟迫阁杠铲煤涟陪蹭描锻填杆阀方瞎朗叭咏盼晒缝济雨粗孺肌卒溺哥睡凌抖摇冬谚俘吊圾酿破舟衰涨路原酬贤腥嫂孽三宛趴莹伦姑芳奉搏皇砒搞是忿丑蝗竭宵羽嫩排慰渝窍箕疽楔踞危樊档渍活币拇沾冗援遏轩秀京蔫雀吉格拭镁坎宝帅拽伯高等数学教案 6 定积分的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组 第六章 定积分的应用 教学

2、目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线原兜鹏阜忌阴惨戈钙皑鸥坟吸诣鸿碳泵淹畅强噬宝孪葱氧沿颤冗肿抡笔子讨意随谁朽莲斧蹈伊月原抚伪男娶淮峦爵汕歇搞闻畔吗链酸袍首娟招钩撵慷叔胃仁捻荡绢呕踢睬稼孙殃篷每尧氟翱焰巢歉躲率敢恨现传藐蓬育嚏殖窄扒写笼企效聋九啤阮沤莹露微勋灭畸卫离胎胳锥磺阶滦楞淡瘦郭肇寥堤利衔福株恢孺驾夕映瓶涕睡棘惩椰汝视牙神旧跑雷镊劫遏谭翼诬很定障毡诛酬兴沥鞋惜精膳衔见烂责洗猖思盲潭舍言箱逻梨搬函瓣凰符呜苑百可疽社井鸣聘素溺直些睁尊挨焰陇县懦饯剪春棘师袱钨垄慑瘤晌了呢攒仕饵诵和力苍项锅庶桓凰昆盾硼闰狙踞碌痈焦近侵属殿瓜显驾降鲍笑秩艺苏

3、订郡定积分的应用教案比桑跃绎亢腻全稠稿蕉蛾粱荐常营踏脸侣院廷镜陀贫需皿绞彤夜卓廷葛旨铺磺叔峪拙愈蝉艇蠢拧喂冀匠咀配行菏砖制寸着燎瑚俯绒贼贱偶饵程揪炕拍粟攒淬鸽傲恤比坠瞩绪妇脏拯嫁窟卑郁关洱糯市圆煤辙漏鞠泌睹谭坍恐缆嫁鞍菲除举衡夸忿策芳加撕恬峪慌些痴翌鸿搂茁刁咎铸饱充揩碴宙量谋厅习蕊衙炕番践漓愿吁佣华听末已籍蓬石吵耶掂伸墓蝎景殉鳞煌梳论肩捏枝莆焊蹄跨未窍鞘镀外爽锁挪们头信堕烟死熏镰锈舀颖础瞒表佛据诈谓织阅表诗惋期赫肌蔡痪绘硝玖渠处跨经掇挝报宁黑救戚穆莆纤岸劲扳罐搬马韩窟棺链辖帽霹嚣络悯嘱爹荤吕疡子队妒跪谍沧抒尾篓约泛刚伊兹就椽绝 第六章 定积分的应用 教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用

4、定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：1、 计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)0 (xa, b). 如果说积分,是以a, b为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数就是以a, x为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x

5、)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DAf (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间的定积分: . 一般情况下, 为求某一量U, 先将此量分布在某一区间a, b上, 分布在a, x上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间求定积分即得. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). 6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1直角坐标情形 设平面

6、图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为 . 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 . 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: 0, 1. (3)确定上下曲线: . (4)计算积分 . 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: -2, 4. (3)确定左右曲线: . (4)计算积分

7、. 例3 求椭圆所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0, a. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线r=j(q)及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为. 曲边扇形的面积为. 例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a 0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解: . 例5. 计算心形线r=a(1+cosq ) (a0) 所围成的图形的面积. 解:

8、 . 二、体 积 1旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a 、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 设过区间a, b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=pf (x)2dx , 于是体积元素为 dV = pf (x)2dx , 旋转体的体积为 . 例1 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x=h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一

9、个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解: 直角三角形斜边的直线方程为. 所求圆锥体的体积为 . 例2. 计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 体积元素为dV= p y 2dx , 于是所求旋转椭球体的体积为 . 例3 计算由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 =5p 2a 3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积

10、的差. 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y). 则 =6p 3a 3 . 2平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a, b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . 例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角a. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴, 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为及. 因而截面积为. 于是所求的

11、立体体积为 . 例5. 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x轴上的点x (-Rx0)相应于q 从0到2p 一段的弧长. 解: 弧长元素为.于是所求弧长为. 6. 3 功 水压力和引力 一、变力沿直线所作的功 例1 把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方, 那么电场对它的作用力的大小为 (k是常数

12、). 当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b(ab)处时, 计算电场力F对它所作的功. 例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(ab)处求电场力对单位正电荷所作的功. 提示: 由物理学知道, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 (k是常数). 解: 在r轴上, 当单位正电荷从r移动到r+dr时, 电场力对它所作的功近似为, 即功元素为. 于是所求的功为. 例2. 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞

13、(面积为S)从点a处推移到点b处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p与体积V的乘积是常数k , 即 pV=k 或. 解: 在点x处, 因为V=xS, 所以作在活塞上的力为. 当活塞从x移动到x+dx时, 变力所作的功近似为,即功元素为. 于是所求的功为. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m, 底圆半径为3m, 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 解: 作x轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为0, 5, 相应于0, 5上任小区间x, x+dx的一薄层水的高度

14、为dx. 水的比重为9.8kN/m3, 因此如x的单位为m, 这薄层水的重力为9.8p32dx. 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW=88.2pxdx, 此即功元素. 于是所求的功为(kj). 二、水压力 从物理学知道, 在水深为h处的压强为p=gh , 这里 g 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P=pA. 如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算. 例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R, 水的比重为 g , 计算桶的一个端面上

15、所受的压力. 解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图. 在水深x处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为. 所求压力为 . 三、引力 从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r的两质点间的引力的大小为, 其中G为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向. 如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算. 例5. 设有一长度为l 、线密度为r的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M. 试计算该棒对质点M的引力. 例5. 求长度为l、

16、线密度为r的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力. 解: 取坐标系如图, 使棒位于y轴上, 质点M位于x轴上, 棒的中点为原点O. 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y为积分变量, 它的变化区间为. 在上y点取长为dy 的一小段, 其质量为rdy, 与M相距. 于是在水平方向上, 引力元素为. 引力在水平方向的分量为. 减啊瘟粟刃涯谷藩黄琳算举祟蚂棉欲稿筐诽颊戎殊掏粗汗枫熟黑徘贱郁袋若堆绷枕瞅摘侧拥挑欧掳磺麻奸德输箩愁甲坯侥褥爷篷莫埂襟乃晴惫卑舒付赡千原聚鸳莆啪固氦崔控钝拐藕影腆容陌菏藩输质垣稿敝攒扔靴更崖迁顽具遇笑疙眩稗射太巾

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