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1、第二章 静电场静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的 电场一.主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的 静电场问题。本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如 何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程， 求解很难，并不直接求解静 电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和 边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最 后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。知识体系：1.静电场的微分方程:边值关系：
2、n E2r rnD2静电场的能量：W2EV2rDi11 ndV2 .静电边值问题的构成:1 S 2 s2121 -n s n s-微分方程边值关系边界条件(由唯一性定理给出)3 .静电边值问题的基本解法:(1)镜像法(2)分离变量法条件：电势满足拉普拉斯方程:(3)电多极矩 (4)格林函数法二.内容提要:1 .静电场的电势及其微分方程:(1)电势和电势梯度因为静电场为无旋场，即 E0,所以可以引入标量函数电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义选空间有限两点P QQQ P E dl p(1)电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点0 (Q )p pE dl(2)电荷分布在无限区
3、域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。电荷分布在有限区域时的几种情况的电势(1)真空中点电荷r Qr(P)3P 4 0r 3r dlQ4 0r无限大均匀线性介质中点电荷(2)电荷组：(P)Qi40U(3) 连续分布电荷：无穷远处为参考点(P)(x)dV0r（2）电势满足的微分方程和边值关系泊松方程：2其中 仅为自由电荷分布，适用于 均匀各向同性线性 介质对 0的区域：电势满足拉普拉斯方程：2 0边值关系A.两介质界面上边值关系1s 2 S（S为分界面）（n 由 1 一2）B.导体与介质界面上的边值关系const.nsEn TsQ 蜒 T严 s dsC.导体与导体界面上的边值关系1 S 2
4、 S22 一 n s11n Is其中1, 2是导体的电导率(3)静电场的能量1 r r W - E DdV2，而则是空间所有电若V边界上 S已知,当S或一|已知,nls1用电势表小：W dV2 V注意：。工 不是静电场的能量密度； 是自由电荷密度 2荷的电势W - dV只适用于静电场。2 V2 .唯一性定理：A.均匀单一介质当区域V内自由电荷分布（力）已知，满足2或V边界上一 已知，则V内场（静电场）唯一确定。 n sB.均匀单一介质中有导体当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布 （v）,每个导体电势i或带电量，则V内电场唯一确定静电边值问题的构成:微分方程21边值关系边界条件3 .静电
5、边值问题的基本解法：（1）镜像法：理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。1. 镜像法概念、条件镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电荷分布，然 后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。条件：所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。导体边界面形状规则，具有一定对称性。给定边界条件。要求：做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。
6、坐标系根据边界形状来选择。（2）分离变量法：条件：电势满足拉普拉斯方程：20A.空间处处0,自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。B.在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的 势0为已知，则区域V中电势可表示为两部分的和0不满足2 0,但表面上的电荷产生的电势使20满足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：边值关系还要用IS而不能用1“拉普拉斯方程20的通解：轴对称 通解： (R, )(anRn -bn1)Pn (cos )nRn 1Pn (COS )为勒让德函数，P0 1 P(COS ) COS12P2 (cos ) - (
7、3cos 1)2球对称通解：若 与，均无关，即 具有球对称性，则通解为:(R) a解题步骤1. 选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2. 分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3. 根据具体条件确定常数(1) 外边界条件：电荷分布有限0导体边界可视为外边界，S给定，或给定总电荷Q,或给定(接地 S 0)电荷分布无限，一般在均匀场中， E EoezEor cosEoz (直角坐标或柱坐标)(2) 内部边值关系：介质分界面上表面无自由电荷S4. 电多极矩讨论电荷分布在小区域内，而场点又距电荷分布区较远，即lr5. )电势的多极
8、展开：urr 1 xx dv40V40r2Q 1 u 1111 ,Pij L4 oR 40 R 40 6 ij Dij xi Xj R式中Qdv体系的总电荷V inirP V xdv体系的电偶极矩 irDu V3x iX j x dv 电四极矩(1)意义：小区域内电荷体系在远处的电势可以看成是位于原点的点电荷，偶极子，电四极子， 电八极子等产生的势的叠加。inirir(2)电偶极矩Pxdv依赖于原点的选取，但当系统中正、负电荷数量一样多时，P与原点无关、inMirir(3)对点电荷系统P qx, D 3 qxxi ur (4)当电荷分布关于原点对称时P 0(2)小区域电荷体系在外电场中的相互作用能 r Wfx edv012WfWfWfL Lm其中Wi q e 0 ,q x dV是点电荷在外电场中的相互作用能 1 urir urWfpe 0 p Ee 0是电偶极子在外电场中的相互作用能21 tWi1D:e 0是电四极子在外电场中的相互作用能i6e电偶极子在外电场中受的力 ir 1iririrrnFWi1pEepEeir 若外电场均匀F 0 电偶极子在外电场中受的力矩 1rHm L p Ee三.重点与难点本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点：镜象法、分离变量法（柱坐标）、电多极矩
电动力学第二章知识总结
